Sciences statistiques - Travaux pratiques 18, Exercices de Mathématiques et dstatistiques
Emmanuel_89
Emmanuel_8930 May 2014

Sciences statistiques - Travaux pratiques 18, Exercices de Mathématiques et dstatistiques

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Sciences statistiques - Travaux pratiques 18 Les thèmes principaux abordés sont les suivants: la probabilité, le sens de variation de la fonction.
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Concours Geipi-Eni 2006

Terminale S mai 2009

Concours Geipi et ENI

Correction sur http://www.geipi.org/resultats-corriges/index.htm

Première épreuve Geipi et ENI

1 h 30 ; calculatrice autorisée, téléphone interdit.

1. Exercice 1 (8 points)

Pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2, on considère la fonction fn définie sur [0 ;  [ par :

  n xnf x x e  .

Soit Cn la courbe représentative de fn dans un repère orthogonal ( ; , )O i j , l'unité sur l'axe des abscisses

étant de 1 cm et sur l'axe des ordonnées de 2 cm.

1. a. Déterminer  lim n x

f x 

.

b. En déduire que Cn admet une asymptote n , au voisinage de  , dont on donnera une équation.

2. a. Déterminer  'nf x ,pour  0 ;x  , où 'nf désigne la dérivée de fn.

b. Dresser le tableau des variations de fn. Préciser les valeurs de  0nf ,  ' 0nf et  nf n .

3. La fonction 2f est définie sur [0 ;  [ par :   2

2 xf x x e .

a. Tracer la courbe C2représentative de f2 dans le repère ( ; , )O i j .

b. Déterminer les coordonnées des points d'intersection B1et B2 des courbes C2 et C3.

c. Montrer que pour tout entier n > 2, la courbe Cn passe par les deux points B1et B2.

4. a. Donner la valeur exacte de l'intégrale : 2

0

xJ e dx  . On indiquera les calculs intermédiaires.

b. À l'aide d'une intégration par parties, calculer l'intégrale : 2

0

xK xe dx  . On indiquera les calculs intermédiaires et on donnera la valeur exacte de l'intégrale.

c. À l'aide d'une intégration par parties, exprimer, en fonction de K l'intégrale : 2

2

0

xI x e dx  . On indiquera les calculs intermédiaires.

d. On note Q la partie de plan délimitée par les axes du repère, la courbe C2et la droite d'équation x = 2.

Donner une valeur approchée à 10–2 près de l'aire A(Q)de la partie Q, en unités d'aire, puis en cm2.

e. Hachurer la partie Qsur le graphique de la question 3. a.

2. Exercice 2 (4 points)

Dans cet exercice, pour chaque probabilité demandée, on donnera sa valeur exacte, écrite sous forme de fraction irréductible.

Dans une classe de Terminale S, comprenant 39 élèves, on relève les voeux d'orientation suivants :

30 élèves veulent faire des études scientifiques dont 22 envisagent des études longues.

6 élèves souhaitent s'engager dans des études de droit dont 2 envisagent des études courtes.

3 élèves veulent faire des études d'arts (études longues).

Toutes les filles veulent faire des études longues.

Il y a autant de filles que de garçons qui souhaitent faire des études scientifiques.

Il y a autant de filles que de garçons qui souhaitent faire des études de droit.

Un seul garçon envisage de s'engager dans des études d'arts.

1. Compléter le tableau à l'aide des informations données en hypothèse.

Etudes de Sciences Droit Art

Longues Courtes Longues Courtes Longues Courtes Total

Filles

Garçons

Total

2. On interroge un élève pris au hasard dans la classe.

a. Donner la probabilité p(F) que l'élève interrogé soit une fille et la probabilité p(G) que ce soit un garçon.

b. Sachant que l'élève interrogé veut faire des études longues, quelle est la probabilité p1 que ce soit une fille qui envisage de faire des études scientifiques ?

c. Sachant que l'élève interrogé n'envisage pas de faire des études scientifiques, quelle est la probabilité p2qu'il se destine à des études d'arts ou envisage des études courtes ?

3. Deux filles et un garçon sortent de la classe.

a. Quelle est la probabilité q1que ce soient trois élèves qui envisagent des études scientifiques ?

b. Quelle est la probabilité q2qu'il y ait au moins un élève envisageant des études d'arts ?

3. Exercice 3 (8 points)

On se place dans le plan rapporté au repère ( ; , )O i j

orthomormé, direct. Soit A le point d'affixe 1 et B le point d'affixe 2.

On considère le cercle (C)de centre A et de rayon 1 et la droite (T), tangente à (C) en B,d'équation x = 2.

Pour tout réel  vérifiant      , on pose :

    cos 1 sinz i     .

On désigne par Mle point du plan d'affixe z.

1. Où se trouve le point Mlorsque :    ,   ,

0  ?

2. Soit  ;    .

a. Déterminer, en fonction de  l'affixe du vecteur

AM .

b. Justifier que Mappartient au cercle (C).V

U

(T)

N

M

i

j

(C)

BA

y

xO

3. Pour la suite de l'exercice, on pose 2

3

   . On désigne par M le point d'affixe :

1 3

2 2 z i  . On note

N le point du cercle (C) diamétralement opposé au point M (N est le symétrique de M par rapport à A).

Déterminer l'affixe Z du point N.

4. Déterminer une équation cartésienne de la médiatrice (D)du segment [MN].

5. On considère U le point d'intersection de la droite (OM)et de la tangente (T) et V le point d'intersection de la droite (ON)et de la tangente (T).

a. Déterminer l'affixe u du point U et l'affixe v du point V.

b. Déterminer l'affixe k du milieu K du segment [UV].

c. En déduire une équation cartésienne de la médiatrice ( ) du segment [UV].

6. a. Déterminer l'affixe  du point  d'intersection des droites (D)et ( ).

b. Tracer les droites (D)et ( ) ainsi que le cercle (C’)de centre  passant par M.

Quels sont les trois points cités dans cet exercice, autres que M, qui appartiennent à ce cercle (C’) ?

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