Sciences statistiques - Travaux pratiques 23 - 1° partie, Exercices de Mathématiques et dstatistiques
Emmanuel_89
Emmanuel_8930 May 2014

Sciences statistiques - Travaux pratiques 23 - 1° partie, Exercices de Mathématiques et dstatistiques

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Sciences statistiques - Travaux pratiques 23 - 1° partie. Les thèmes principaux abordés sont les suivants: Méthodes d’intégration, Les substitutions trigonométriques, Les substitutions algébriques, Les fonctions trigonom...
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MPSI/PCSI/ESC

Intégration SUP/ESC 1. Méthodes d’intégration 1

1-1 : Intégrale immédiate 1 1-2 : Somme ou différence de fonctions 1 1-3 : Composée de fonction 2 1-4 : Décomposition en fractions rationnelles 2 1-5 : Par substitution (changement de variable) 3 1-6 : Réductions à des formes particulières 6 1-7 : Intégration par parties 7 1-8 : Décomposition en série 8

2. Intégration numérique 8 2-1 : Méthode des rectangles 8 2-2 : Méthode des trapèzes 8 2-3 : Méthode de Simpson 9

3. Diverses questions 9 3-1 : Introduction à la loi normale 9 3-2 : Extension de la notion d'intégrale. 9 3-3 : Suites définies par une intégrale. 10 3-4 : Comparaison série et intégrale 11 3-5 : Sommes de Riemann 12

4. Ecole Supérieure de commerce de Lyon 13 4-1 : escl 88 13 4-2 : escl 89 13 4-3 : escl 90 14 4-4 : escl 91 14 4-5 : escl 92 14 4-6 : escl 93 15 4-7 : escl 94 15 4-8 : escl 95 15 4-9 : escl 96 16 4-10 : escl 98 16 4-11 : escl 98 bis (sujet de secours) 16

4-12 : escl 2000 17 4-13 : escl 2001, extrait 18 4-14 : escl 2002 18 4-15 : escl 2004, extrait 18

5. Annales E.S.C. 19 5-1 : esc 97 19 5-2 : esc 98 19 5-3 : esc 2001, extrait 19 5-4 : esc 2002 20 5-5 : esc 2004 20

6. Annales EDHEC 21 6-1 : edhec 96, exercice 1 21 6-2 : edhec 96 21 6-3 : edhec 98, extrait du problème 22 6-4 : edhec 2002 22 6-5 : edhec 2003 22 6-6 : edhec 2004 23

7. Annales ECRICOME 23 7-1 : ecricome 91 23 7-2 : Ecricome 93 24 7-3 : D'après ecricome OG 93 24 7-4 : ecricome 98 (extrait) 25 7-5 : ecricome 99 (extrait) 25 7-6 : ecricome 2002 25 7-7 : ecricome 2004 26

8. Annales ISC-ESLSCA 27 8-1 : eslsca 93 27 8-2 : eslsca 95 27 8-3 : eslsca 96 28 8-4 : eslsca 98 28 8-5 : eslsca 99 29

1. Méthodes d’intégration

Nous reprenons les principales méthodes classiques d’intégration. Chaque cas est illustré par un ou plusieurs exemples. Certains exemples sont volontairement assez compliqués, dans le sens qu’ils font intervenir plusieurs méthodes. En effet, il est important de comprendre que toutes ces méthodes forment un ensemble, et qu’il faut savoir utiliser toutes les armes disponibles.

Notons enfin que souvent plusieurs méthodes sont possibles et qu’il n’y a pas de recette magique qui fonctionne à tous les coups. On doit donc simplement s’en servir comme outils et aide-mémoire.

1-1 : Intégrale immédiate

Il s’agit de l’application simple et immédiate des formules que l’on peut trouver dans n’importe quel formulaire.

Exemple 1 : 1

1

m m xx dx C

m

  

Exemple 2 : cos sinx dx x C 

Exemple 3 : x xe dx e C  .

1-2 : Somme ou différence de fonctions

Soit à intégrer la fraction rationnelle : f(x)/g(x) où f(x) est un polynôme de degré m et g(x) un polynôme de degré n avec m > n, on effectue la division euclidienne de f(x) par g(x). Puis on intègre.

Exemple 4 : 3 3 2

22 1 23 3 2ln 1 1 1 3 2

x x x x dx x x dx x x C

x x

              

    .

Exemple 5 :   5 5 4 3 2

4 3 2 11 ln 1 1 1 5 4 3 2

x x x x x dx x x x x dx x x C

x x

                

   

1-3 : Composée de fonction

Si on peut arriver à identifier un facteur comme étant la dérivée de l’autre, la solution est presque

immédiate :        ' 'h g x g x dx h g x C  .

Exemple 6 :      

3 2

3 2

1 2 1 1

4

x x x x x dx C

       car

   

   

3

4 3

' 2 1 1

' 4

g x x g x x x

x h x x h x

        

   

.

On pouvait également procéder comme suit :

         

3 2

3 3 2 2 2

1 2 1 1 1 1

4

x x x x x dx x x d x x C

             .

Exemple 7 :  ln 1 1

x x

x

e dx e C

e   

 car de la forme 'u dx

u .

Exemple 8 : 2 1

x I dx

x x

  : on remarque que   2 1 ' 2 1x x x    d’où

     

2

2

2 2 2

1 1 2 1 11 1 1 3 2 3 12 2 ln 1 arctan

2 2 2 3 3 21 1 1

x d x x dx I dx x x x C

x x x x x x

               

          .

(voir plus bas pour la dernière intégrale).

Exemple 9 :   2 2 2 2cos cos cos 2 cos1 1 1sin 2 sin cos cos

2 4 4

x x x xI e x dx e x x dx e d x e C         .

Exemple 10 :   2 2

tan 1 tan 'tan tan

2cos

x dx x xdx x C

x     .

1-4 : Décomposition en fractions rationnelles

Pour toute forme  

 

f x

g x f et g sont des polynômes en x (si le degré de f est supérieur à celui de g on

effectuera d’abord la division euclidienne).

Exemple 11 : 3 2

1

4 4 I dx

x x x

   . On décompose :

   

   

   

2

3 2

3 2 2 41 1

2 2 1 2 2 1 2 2 14 4

a b c x a b x a b ca b c

x x x x x x x x xx x x

            

           d’où

le système

0 1 1 1

3 0 , , 12 4 3

2 2 4 1

a b c

a b a b c

a b c

               

et 3 2

1 1 1 1 1 1 1

12 2 4 2 3 14 4 x x xx x x   

     .

Enfin    

 

1 1

12 4

1

3

2 21 1 1 ln

12 2 4 2 3 1 1

x xdx dx dx I C

x x x x

      

   

   .

Exemple 12 :   

2

22

8 3

211 2

x ax b c I dx dx dx

xx xx x x

    

      . On cherche et on trouve a, b, c :

2 2 2

3 1 5 2 1 5

2 21 1 1

x x x I dx dx dx dx dx

x xx x x x x x

      

           . Il reste à intégrer :

   2 2 1 3 2 3 1

ln 1 1 arctan 5ln 2 2 3 2 2

I x x x x x x  

            

    3

52 2 3 2 3 1

ln 1 2 arctan 3 2 2

I x x x x C  

         

.

Exemple 13 :  

2

3

2

1

x x I dx

x

  

 :

     

 

   

       

22

3 2 3 3

2 3 2 2

1 1 22

2 1 1. 11 1 1 1

22

1 1 2 ln 1 ln 1 .

1 11 1 1 1

a a ax a b x a b cx x a b c

a b b xx x x x

ca b c

dx dx dx x I x x C

x xx x x x

          

                      

                   

1-5 : Par substitution (changement de variable)

C’est une des méthodes les plus efficaces et donc la plus utilisée ; elle est basée sur la dérivation des

fonctions composées :       'f x dx f g t g t dt  .

Exemple 14 :   5

1I x x dx  : posons    1 1 ' 1t x x t g t g t        . On en tire

        

7 6 67 6 5 6 5 1 1 6 1 11

7 6 7 6 42

x x x xt t I t t dt t dt t dt C C C

                  .

Exemple 15 : 1x

dx I

e

 : posons x x

x

dy dy y e e dx dy dx

ye       . On a alors

2

1 11

1 1 ln ln ln 1

1 11

x x

x

y dydy d

y y y y e I e x C

y yy y e

y y

          

    .

Les substitutions à opérer ne sont pas toujours évidentes. Cependant certaines sont assez classiques.

Les substitutions trigonométriques

 

2 2

2

2 2 2

2

2 2

Re

1 sin

cos cos

tan tan 1 cos

sin cos

Pour les formes en mplacer x par Donc dx

x a a a d

a x a a a d d

a x a a d

 

 

    

  

  

Exemple 16 :

2 2

2

2 2

2

34 9 3

x x

I dx x x

   

      . On pose

2 2 sin cos

3 3 x dx d     , soit

 

2 2

2 2 2

2 1 sin

2 cos 133 cos 3 3 1 3 cot 3 sin sin2

3

I d d d

 

       

   

              

   

   ,

or 2 3 9

sin cos 1 2 4

x x     donc

2 2

1 4 9

3 4 9 323 3 arcsin 3 arcsin 3 2 2

2

x x

I x x C x

x

 

       .

Exemple 17 : 2

2

2x I dx

x

   ;  

22 tan 2 tan 1x dx d      ;

  2 2

2

2 2 2 2

2 tan 1 tan 1 cos 2 tan 1

cos cos2tan cos .tan cos .tan sin

d d d I d d d

         

      

              .

On a deux intégrales à calculer :

2

1 2 2

cos sin 1 2

sinsin sin

d x I d

x

  

 

        car 2 2

2 sin sin arctan

2 2 2 1

2

x x x

x x

     

   

.

2 cos

d I

 

 : posons 2

2 2

2 1 tan , cos

2 1 1

t t d dt

t t

  

    

  ;

2

2 2 2 2

tan 1 1 2 2 1 1 cos sin2. ln ln ln

1 1 1 1 cos sin1 1 1 tan 1 2

t dt dt dt t I dt

t t tt t t

  

  

    

              

   

car 1 cos

tan 2 sin

   

 et comme

2

2 cos cos arctan

2 2

x

x

     

   , on a donc

     

2 2 2 2

2 2 2 2

2

2 2 2 2 2 2 2

ln ln ln 22 2 2 2 2 2

ln 2 .

x x x x x x x x

I x x x x x x

x x C

          

           

   

Et enfin 2

2 1 2

2 ln 2

x I I I x x C

x

         .

Les substitutions algébriques

* Pour les formes du type   1

na bx , on pose ny a bx  .

Exemple 18 :

  1

43 4

xdx I

x

  ;

4 33 4 4 4y x y dy dx    d’où

     

4 3

7 3 7 3 2 4

4 4

3

1 1 3 1 14 3 3 4 3 4 4 4 7 4 3 28 4

y y dy

y y I y y dy C x x C

y

            .

Exemple 19 : 2 3 1I x x dx  ; on pose 3 21 3x t dx t dt    et

        10 7 42

3 2 10 7 4 3 3 3

3 6 3 3 6 3 1 . .3 . 1 1 1

10 7 4 10 7 4 I t t t dt t t t x x x C            .

* Pour les formes en n ax b

cx d

 , on pose n

ax b t

cx d

  

.

Exemple 20 : 1x

I dx x

   ; on pose

   

2 2

2 2 2 2 2

1 1 2 2

1 1 1

x t t t x dx dt I dx

x t t t

         

   

soit après décomposition en éléments simples :

     

2

2 2 2 2

2

1 11

t at b ct b

t tt

      

, 1 1

, 0, , 0 2 2

a b c d     ,

       

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 2 2 2

2 2

2 2 2 2

2

2 2

1 1 1 2 2 2 2 2 2

2 2 41 1 1 1

1 1 1 11 2 2

4 1 1 1 1

11 2 2 1 1 ln ln

4 1 1 2 1 11

1 1 1

1 1 ln ln 2 1

2 21 1 1 1

t t t t I dt dt dt dt

t t t t

d t d t d t d t

t t t t

t t t

t t t tt

x x

x x x

x x

x x

         

     

         

     

        

     

  

       

   

   

1 1 2 .

x x x x C

x x

    

Les fonctions trigonométriques

Fonctions rationnelles en cos x,sin x et tan x, on utilise les substitutions suivantes :

2

2 2 2 2

2 1 2 2 2arctan tan , cos , sin , tan

2 1 1 1 1

x t t t x x t dx dt x x x

t t t t

        

    .

Exemple 21 :   2

tan

sin cos tan 1 1

sin cos tan 1 1 1 t x

x x x t I dx dx dt

x x x t t

     

      or

   22 1 1 1

1 11 1

t

t tt t

      

donc

  2 2

2

tan tan

1 1 tan 1 ln 1 ln 1 ln ln ln sin cos

2 1 tan 1t x t x

t x I t t x x

t x 

          

  .

* Cas particulier : Produit de facteurs cos ax et sin ax

Utiliser les formules de Simpson inverses :

   

   

   

1 sin cos sin sin

2

1 sin sin cos cos

2

1 cos cos cos cos

2

ax bx a b x a b x

ax bx a b x a b x

ax bx a b x a b x

     

     

     

Exemple 22 :

  1 1 1 1 1 1

sin 3 sin 7 cos 4 cos10 sin 4 sin 10 sin 4 sin 10 2 2 4 10 8 20

I x x dx x x dx x x x x  

           .

* Cas particulier : Puissances de cos et sin

Linéariser, c’est à dire utiliser les formules d’Euler et le binôme de Newton pour passer de termes de la forme cosnx à cos(mx) ou sin(mx).

Exemple 23 :

  3

3 3 2 2 3 3 31 1cos 3 3 3 2 8 8

ix ix ix ix ix ix ix ix ix ix ix ixe exdx dx e e e e e e dx e e e e dx

                

      ,

soit 1 1 3

2cos3 6 cos sin 3 sin 8 12 4

x xdx x x C     .

1-6 : Réductions à des formes particulières

On peut souvent arriver à revenir à une forme particulière. Plusieurs exemples seront donnés ci-après. De façon générale, on utilisera les tables de primitives qui donnent les solutions pour une série de formes particulières.

Les fonctions hyperboliques

 

 

  2 2

Fonct ion hyperbolique Dérivée

sinh sinh ' cosh 2

cosh cosh ' sinh 2

1 tanh ' 1 tanhtanh

cosh

x x

x x

x x

x x

e e x x x

e e x x x

e e x xx

xe e

  

  

   

et leurs réciproques, les fonctions arguments hyperboliques sont souvent utiles.

     

     

   

1 2

2

1 2

2

1

2

Fonct ion argument hyperbolique Dérivée

1 argsinh sinh ln 1 argsinh '

1

1 argcosh cosh ln 1 argcosh '

1

1 1 1 argtanh tanh ln argtanh '

2 1 1

x x x x x x

x x x x x x

x x x x

x x

     

     

   

 

Un petit résumé :

Fonction Primitive Fonction Primitive

2 2

1

x a  2 2ln x x a  2 2

1

x a  2 2ln x x a 

2 2

1

a x arcsin

x

a

2 2

1

a x

1 ln

2

x a

x a

2 2

1

a x

1 arctan

x

a a

2 2x a

2 2 2 2 2ln

2 2

x a x a x x x a    2 2a x

2 2 2 arcsin

2 2

x a x a x

a  

* Formes en 2

1

x px q 

− Si 2 4 0p q  , transformer en 2

1

1 u .

Exemple 24 : 2 2 2

1 1 4

31 1 1 2 1 1 1

2 4 23

dx I dx dx

x x x x

                 

    

   ; on pose :

2 1 2 3

2 23 3 u x du dx dx du

        

  d’où

2 2

3

4 2 3 2 3 2 3 2 3 12 arctan arctan 3 3 3 3 3 21 1

du du

I u x C u u

        

     .

En utilisant les remarques précédentes on pouvait écrire :

2 2

1 1 1 1 1 2 3 2 3 1 arctan arctan

2 3 3 23 31 1 3

4 42 4

I dx dx x x C x x

x

             

         

 

  .

− Si 2 4 0p q  , décomposer en fractions rationnelles (le dénominateur peut se factoriser)

Exemple 25 :

  2

1

4 4 4 4 4 2ln 11 7 7 3 7 32 5 3

2 3 22

x dx dx

I dx C x xx x xx x

            

 

    .

* Formes en 2 2

ou en Ax B

ax bx c ax bx c

  

 

On fait les transformations nécessaires pour revenir à une forme connue.

Exemple 26 : 2

2 2 1 1 1 31 1 4 4 2 4

I x x dx x x dx x dx  

                .

On pose 2 1 3

2 4 u x dx du I u du       ; avec les formules :

2 2 2 23 3 2 1 3 1 1ln 1 ln 1 2 4 8 4 8 2 2

u x I u u u u a x x x x x x

                

  .

Exemple 27 : 2 2

27 1 12 2 4 2 2 2 2 2 2

I x x dx x dx x dx    

                  ;

1

2 u x du dx    ;

2 22 2 1 7 2 12 2 arcsin 2 2 2 arcsin 2 2 4 2 2 22

u u x I u x x x

               

     .

Exemple 28 :

 2 2

2 2 2 2 2

12 3 2 1 2 2 2 1 2

1 1 1 1 1 5

2 4

d x xx x dx dx I dx dx x x

x x x x x x x x x

           

            

 

     et

2 212 1 2ln 1 2

I x x x x x C         .

1-7 : Intégration par parties

C’est une méthode très puissante et donc très souvent utilisée.

           . ' . ' .f x g x dx f x g x f x g x dx  

Exemple 29 :  sin lnI x dx  : ln sin y ydxy x dy dx x dy e dy I y e dy

x          ;

par parties : sin ' cos

sin cos '

y y

y y

u y u y I e y e y dy

v e v e

    

   ;

par parties de nouveau : cos ' sin

sin cos sin sin cos '

y y y y y

y y

u y u y I e y e y y e dy e y e y I

v e v e

         

   ,

d’où enfin       2 sin cos sin ln cos ln 2

y xI e y y I x x     .

Exemple 30 : arcsinI x dx  :    

   

2

1 arcsin '

1

' 1

f x x f x x

g x g x x

   

  

d’où

2

2 2

1 2 arcsin arcsin arcsin 1

21 1

x x I x x dx x x dx x x x C

x x

           

     .

Vous avez de très nombreux exemples dans les exercices.

1-8 : Décomposition en série

Exemple 31 : 2xI e dx  ; comme

4 6 2 2 1 ......

2! 3!

x x xe x      l’intégration terme à terme donne

4 6 3 5 7 2 ..... ...

2! 3! 3 5.2! 7.3!

x x x x x I dx x dx dx dx x C              .

2. Intégration numérique

Comme très souvent on ne sait pas calculer les intégrales, on recourt à des méthodes de calcul approchées et/ou numériques : on en utilise trois principalement suivant le degré de précision souhaité.

2-1 : Méthode des rectangles

On divise l’intervalle d’intégration [a ; b] en n intervalles de longueur identique b a

h n

  , et on

considère la somme des aires des rectangles au-dessus et la somme en dessous ; on obtient alors les encadrements suivants :

1

0 1

( ) ( ) ( )

n nb

k k a

k k

hf x f x dx hf x

 

  

avec kx a hk  lorsque la fonction est monotone croissante. L’erreur commise est de l’ordre de 2

b a M

h

où [ , ]

max '( ) x a b

M f x

 . Le lien avec les séries est évidemment très fort et on remplacera fréquemment une

question d’intégrale par une question de série et réciproquement.

2-2 : Méthode des trapèzes

Beaucoup plus rentable ; on joint chaque point ( , ( ))k kx f x et on regarde l’aire sous chaque trapèze dont

les bases sont ( )kf x et 1( )kf x  , la hauteur h. On fait donc la somme

1 1 1

1

0 1 1

( ) ( )1 ( ( ) ( )) ( ) 2 ( ) ( ) ( )

2 2 2

n n n

k k k k

k k k

f a f bh h f x f x f a f x f b h f x

  

  

         

     

qui donne ( ) b

a

f x dx avec une erreur inférieure à 3

2 [ , ]

( ) ; max ''( )

12 x a b

b a M M f x

n

  .

x0=axn=bxk

f(xk)

Cette méthode est très facile à appliquer en informatique, et la précision est en général très bonne. Une

variante consiste à utiliser la dérivée f’ et la tangente au milieu de deux valeurs 1,k kx x  .

2-3 : Méthode de Simpson

On prend des arcs de paraboles au lieu de segments de droite entre deux points successifs (en fait on peut même travailler avec le développement de la fonction à l’ordre 2 au voisinage de chaque point) ; il

faut alors diviser [a ; b] en 2n intervalles et la formule obtenue est avec 2

b a h

n

  :

1

2 2 1

1 1

( ) ( ) ( ) 2 ( ) 4 ( ) 3

n nb

k k a

k k

h f x dx f a f b f x f x

 

         

  et la précision est en 4h :

4 (3) (3)

4

( ) ( ) ( )

2880

b a f b f a

n

  .

En fait avec l’informatique la plupart du temps on peut se contenter de calculer la somme des valeurs de f sur l’intervalle choisi en multipliant par la différence des abscisses ; si cette différence est constante, il suffit de le faire à la fin.

3. Diverses questions

3-1 : Introduction à la loi normale

1. Etudier  2: expf x x  . Déterminer les points d'inflexion de Cf. Tracer Cf.

2. Montrer que f est de classe C sur et que pour tout entier naturel n il existe Pn polynôme de degré

n tel que x  ,       2n x

nf x P x e  . Ces polynômes s’appellent polynômes d’Hermite.

3. Soit   2 1

exp( ) x

F x t dt  . Montrer que F est croissante sur . Montrer que pour tout 1t  , on a

   2exp expt t   . En déduire que F est majorée sur .

Montrer que les intégrales 2

0

exp( )t dt 

 , 2exp( )t dt





 sont convergentes.

4. On admet que 2

0

exp( ) 2

t dt 

  . Calculer 2exp( )t dt





 .

Calculer 2exp( / 2)t dt 



 (changement de variable 2 t

y  ) puis 2

2 0

( ) exp

2

t m dt

       

 (changement

de variable linéaire).

5. Soit   2 0

exp( ) x

G x t t dt  . Calculer G(x). En déduire que l'intégrale 2

0

exp( )t t dt 

 est

convergente. Montrer que l'intégrale 2exp( )t t dt 



 est convergente et vaut 0.

6. Montrer que l'intégrale 2 2exp( )t t dt 



 est convergente et calculer sa valeur à l'aide d'une intégration par parties.

Le résultat du 4., 2

exp 2 2

t dt





    

   est à connaître.

3-2 : Extension de la notion d'intégrale.

Exercice 1

Justifier l'existence de 1

2

0

ln( )I x x dx  et calculer sa valeur. Mêmes questions pour 1

0

ln( )x dx ,

2 2 0 ( 1)

x dx

x



 .

Exercice 2

Rappel : une fonction f majorée sur [a ; b[ et croissante sur [a ; b[ admet une limite finie en b (b étant un nombre réel > a ou  ). Faites un dessin pour vous en convaincre.

Démontrer : pour tout t de [1 ;  [, 2 2

1 1

1 t t

 .

En déduire que la fonction  :  1 ;   , définie par 2

1

1

1

x

x dt t

  admet une limite finie en  ,

puis que l'intégrale 2

0

1

1 I dt

t



  est convergente.

Exercice 3

Soit n un entier naturel. Etablir successivement

* Pour tout y différent de 1 : 1

0

1

1 1

n n k

k

y y

y y

    ;

* x  2 1

2

2 2

0

1 ( ) ( )

1 1

n n k

k

x x

x x

   

   ;

* 2 11

2 0

0

( 1) ( )

4 2 1 1

n k n

k

x dx

k x

 

   

    (on admet que

1

2 0 41

dt

t

 

 ) ;

*

0

( 1) 1

4 2 1 2 3

n k

k k n

  

  .

Déduire de ce dernier résultat la belle formule : 1 1 1

1 ... 4 3 5 7

      et un algorithme rédigé en turbo-

pascal destiné à calculer une valeur approchée de  à une précision donnée près.

3-3 : Suites définies par une intégrale.

Exercice 1

Soit 1

2

1

( 1)nnI x dx

  .

1. Démontrer que pour tout entier n supérieur ou égal à 1 :   12 1 2n nn I nI    .

2. En déduire l'expression de In en fonction de n.

Exercice 2

p et q étant deux nombres entiers positifs ou nuls, on pose :   1

0

, (1 ) p q

B p q t t dt  .

1. Comparer B(p, q) et B(q, p).

2. Etablir la relation : ( , ) ( 1, 1) 1

p B p q B p q

q    

( 1p  ).

3. Calculer B(0, n) pour tout n appartenant à ; en déduire B(p, q).

Exercice 3

Pour n entier naturel, on pose : 1

2

0

1nnI x x dx  .

1. Quelle est la signification géométrique de I0 ? En déduire la valeur de I0.

2. Calculer I1.

3. Montrer que pour tout 2n  , on a : 2 1

2 n n

n I I

n

  

. En déduire la valeur de In en fonction de n (on

distinguera suivant la parité de n).

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