Sciences statistiques - Travaux pratiques 23 - 3° partie, Exercices de Mathématiques et dstatistiques
Emmanuel_89
Emmanuel_8930 May 2014

Sciences statistiques - Travaux pratiques 23 - 3° partie, Exercices de Mathématiques et dstatistiques

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Sciences statistiques - Travaux pratiques 23 - 3° partie. Les thèmes principaux abordés sont les suivants: extrait du problème, l'encadrement, l'intégrale.
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2. Etude d'une suite d'intégrales impropres.

On pose pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2 : 0

( )n nI f t dt 

  (Il est démontré dans le a. que chacune de ces intégrales est convergente).

a. Montrer que pour tout réel t strictement positif , 1

( )n nf t t  . En déduire la convergence de l'intégrale

1

( )nf t dt 

 , puis de l'intégrale nI .

b. Montrer que 1

lim ( ) 0n n

f t dt 

  .

c. Montrer que pour tout réel t positif , 0 ( )t nne f t t    .

d. En déduire 1

0

1 lim ( ) 1n

n f t dt

e   .

e. Déterminer lim n n

I 

.

3. Etude d'une fonction définie par des limites.

a. Pour tout réel t positif, déterminer lim ( )n n

f t 

. (On distinguera 1t  , 1t  , 1t  ).

b. Dès lors, on définit sur  une fonction h par ( ) lim ( )n n

h t f t 

 .

Donner la courbe représentative de h dans un repère orthonormé ( 1 0,37e  ). h est-elle continue ?

c. Etudier l'intégrale 0

( )h t dt 

 . A-t-on ici 0 0lim ( ) lim ( )n nn nf t dt f t dt  

    ?

6. Annales EDHEC

6-1 : edhec 96, exercice 1

On considère la suite (dn) définie par d0 = 1, d1 = 0 et *n   1 1n n nd n d d   .

1. a. Calculer d2, d3, d4, d5.

b. Montrer que : n      1

1 1 1 n

n nd n d

     .

2. On considère, pour tout entier naturel n, l'intégrale 1

0

1

!

n t nI t e dt

n   .

a. Calculer I0, puis exprimer, pour tout entier naturel n, In+1 en fonction de In.

b. En déduire que : n  ,   ! 1 1n ned n nI   .

c. Montrer alors que : n  , ! 1

1 n

n d

e n  

 .

d. Vérifier que cette dernière inégalité détermine parfaitement dn pour 2n  , puis retrouver la valeur de

d5 obtenue à la deuxième question et calculer d10. On donne 5!

44,15 e  et

10! 1334960,92

e  à 5.10−3

près.

6-2 : edhec 96

1. Montrer que pour tout t > 0 :  ln 1 1

t t

t  

 .

2. Soit f la fonction définie pour tout réel x par :    ln 1x xf x e e  .

a. Pour tout réel x, calculer  f x et en déduire les variations de f.

b. Calculer  lim x

f x 

et  lim x

f x 

.

3. a. Pour tout réel x, vérifier que    1 1

x

x

e f x f x

e   

 . En déduire, en fonction de f, une primitive F

de f sur .

b. Montrer que l'intégrale  f x dx 

 est convergente et donner sa valeur.

4. Soit a un réel et g la fonction définie par   0g x  si x < 0 et    g x af x si 0x  . Déterminer a

pour que g puisse être considérée comme densité d'une variable aléatoire X.

6-3 : edhec 98, extrait du problème

On considère la fonction définie pour tout 0x  par   1 xf x e  .

1. a. Dresser le tableau de variation de f.

b. Montrer que : x  ,  f x x , l'égalité ayant lieu seulement pour x = 0.

2. a. Montrer que, pour tout entier naturel n et pour tout réel x : 1

0 0

( 1) ( ) ( 1)

! !

n k k nx x n t

k

x x t e e dt

k n

  

      .

b. En écrivant l'égalité précédente pour n = 2, puis pour n = 3, montrer que :

2 3 2

, ( ) 2 6 2

x x x x x f x      .

6-4 : edhec 2002

On note f la fonction définie sur  par : 2

ln 0, ( )

1

(0) 0

x x x f x

x

f

   

  

.

1. a. Vérifier que f est continue sur  .

b. Etudier le signe de f(x).

2. Montrer que l'on définit bien une fonction F sur  en posant : 0

, ( ) ( ) x

x F x f t dt    .

3. Pour tout x de  , on pose : g(x) = F(x)  x.

a. Montrer que g est dérivable sur  et que, pour x > 0, on peut écrire g'(x) sous la forme

2

( ) '( )

1

x h x g x

x

  

.

b. Etudier les variations de h, puis en déduire son signe (on donne 5 1

ln 0,48 2

   ).

c. En déduire le signe de g(x).

4. On définit la suite (un) par la donnée de son premier terme u0 = 1 et la relation de récurrence, valable

pour tout n de :  1n nu F u  .

a. Etablir par récurrence que : n  ,  1 0 ;1nu   .

b. Montrer, en utilisant le résultat de la troisième question, que (un) est décroissante.

c. En déduire que la suite (un) converge et donner lim n n

u 

.

6-5 : edhec 2003

On note f la fonction définie, pour tout réel x strictement positif, par :  

1

2

xe f x

x  .

1. a. Pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, montrer que l’intégrale ( )n n

I f x dx 

  est convergente et exprimer In en fonction de n.

b. En déduire que 1

~nI n

.

2. Montrer que la série de terme général  nu f n est convergente.

3. a. Établir que : *k  ,     1

1 ( ) k

k

f k f x dx f k

   .

b. En sommant soigneusement cette dernière inégalité, montrer que : 1/

2

1 1

n

k n k

k n k n

e u I u

n

 

   

    .

4. Déduire des questions précédentes un équivalent simple de

1

2

1

. k

k n

e

k



 

6-6 : edhec 2004

Le but de cet exercice est de calculer 0

1 lim

1 nn dt

t t



 

  .

Pour tout n de , on pose 1

0

1

1 n n

u dt t t

   et on a, en particulier,

1

0 0

1

2 u dt

t

 .

1. Pour tout n de , justifier l’existence de un.

2. Calculer u0 et u1.

3. a. Montrer que la suite (un) est croissante.

b. Montrer que : n  , ln 2nu  .

c. En déduire que la suite (un) est convergente.

4. a. Pour tout n de , écrire ln 2 – un sous la forme d’une intégrale.

b. En déduire que : n  , 1

ln 2 1

nu n

  

.

c. Donner la limite de la suite (un).

5. Pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2, on pose 1

1

1 n n

v dt t t



   .

a. Justifier la convergence de l’intégrale définissant vn.

b. Montrer que : 2n  , 1

0 1

nv n

  

.

c. En déduire lim n n

v 

puis donner la valeur de 0

1 lim

1 nn dt

t t



   .

7. Annales ECRICOME

7-1 : ecricome 91

Pour n appartenant à on pose : 1

3

0

1 nnu x dx  .

1. Calculer u1.

2. Montrer que la suite  n nu  est croissante et convergente.

3. Montrer que pour tout X appartenant à [0 ; 1], on a : 1  X  3 1

1 1 1 3

X X X     . Interpréter

graphiquement.

4. En déduire un encadrement de un et la limite de un quand n tend vers  .

7-2 : Ecricome 93

Soit x un réel strictement positif. On pose pour tout entier naturel n :

  0

1 1 1 ( 1) ( 1)

1 1 2 1

n n k

n

k

S x k x x x n x

      

      .

On se propose d'étudier la limite S(x) de la somme Sn(x) lorsque n tend vers  .

1. Pour tout entier naturel p on pose :   si 0 1

1

0 si 0

x p

p

t t

f t t

t

  

    

, et   1

0

( )p pI x f t dt  . Montrer que,

pour tout entier naturel p, l'intégrale Ip(x) existe.

2. Montrer que pour tout réel t  [0 ; 1] , on a : 1 1

0

1 ( 1) ( 1)

1 1

n n n k k

k

t t

t t

 

   

  .

3. Déduire de ce qui précède que l'on a 1

0

( ) ( ) 1

x

n n

t dt S x R x

t  

 où 11

1

0

( ) ( 1) 1

n x n

n

t R x dt

t

   

 .

4. Démontrer que l'on a pour tout entier naturel n : 0  11

0

1 0

1 2

n xt dt

t n

 

    .

5. Conclure que l'on a :   1

0 1

xt S x dt

t

 .

6. Etude du cas particulier où 1

2 x  .

a. En utilisant le changement de variable 1/ 2u t , calculer S(1/2) (indications : u2 = 1 + u2  1 et on

admet que 1

2 0 41

dt dt

t

 

 ).

b. En déduire que l'on a :

0

1 lim ( 1)

2 1 4

n

k

n k

k

 

   .

7-3 : D'après ecricome OG 93

1. Soit f la fonction définie sur ]0 ; 1] par   ln x

f x x

  .

Montrer que f est continue, décroissante, positive ou nulle sur ]0 ; 1]. f est-elle prolongeable par continuité en 0 ?

2. Pour n entier naturel supérieur ou égal à 2, on pose :

1

1 n

n

k

k S f

n n

    

   .

a. Pour  2, ...,k n , montrer que /

( 1)/

1 ( )

k n

k n

k f f x dx

n n

   

   .

b. Pour  1, ..., 1k n  , montrer que ( 1)/

/

1 ( )

k n

k n

k f x dx f

n n

     

  .

c. Déduire du a. et du b. que 1 1

1/ 1/

1 1 ( ) ( )n

n n

f x dx S f x dx f n n

      

   .

3. a. Soit a > 0. A l'aide d'une intégration par parties, calculer l'intégrale 1

( ) a

f x dx . En déduire que

l'intégrale 1

0

( )f x dx est convergente et calculer sa valeur.

b. Quelle est la limite quand n tend vers  de 1 1

f n n

     

?

c. Déduire alors du 2. c. la limite de Sn quand n tend vers  .

4. Ecrire en turbo-pascal un programme qui :

- déclare la fonction f ;

- utilise cette fonction pour calculer et afficher la valeur de Sn, n étant un entier naturel supérieur ou égal à 2 fourni par l'utilisateur.

5. Déduire du 3. c. la limite de Pn = 1/

1

n kn

n

k

n P

k

    

   quand n tend vers  .

7-4 : ecricome 98 (extrait)

1. Soit g l'application de ]0 ;  [ dans définie par :   ln(1 )

ln 1

x x x g x

x x

     

  .

a. Montrer que g est dérivable sur ]0 ;  [ et expliciter sa dérivée.

b. Dresser le tableau de variation de g avec ses éventuelles limites aux bornes.

2. Soit f l'application de dans définie par    ln 1x xx f x e e   . A l'aide d'un changement de

variable, montrer que pour tout réel x positif, on a   0

( ) 2ln 2 x

xf t dt g e  .

7-5 : ecricome 99 (extrait)

On rappelle que l’intégrale généralisée 2

0

ue du 

 converge et vaut 1

2  . Soit  un réel strictement

positif ; si x est un élément de  , on pose :   22

0

2 x

uI x u e du  et   2

2

0

t x

J x t e dt        .

a. A l’aide d’un changement de variable, exprimer, pour tout élément x de  , J(x) en fonction de

x I

     

.

b. A l’aide d’une intégration par parties, montrer que, pour tout élément x de  :

  2 2

0

x u xI x e du xe   .

c. En déduire que l’intégrale généralisée

2

2

0

t

t e dt       converge et vaut

3

4

  .

7-6 : ecricome 2002

On considère la famille de fonctions   *n n

f

définies sur ]1 ;  [ par    ln 1nnf x x x  .

I. Etude des fonctions fn

Soit *n , on note hn la fonction définie sur ]1 ;  [ par ( ) ln(1 ) . 1

n

x h x n x

x   

1. Etudier le sens de variation des fonctions hn.

2. Calculer hn(0), puis en déduire le signe de hn.

3. Etude du cas particulier n = 1.

a. Après avoir justifié la dérivabilité de f1 sur ]1 ;  [, exprimer f1'(x) en fonction de h1(x).

b. En déduire les variations de la fonction f1 sur ]1 ;  [.

4. Soit  *\ 1n .

a. Justifier la dérivabilité de fn sur ]1 ;  [ et exprimer fn'(x) en fonction de hn(x).

b. En déduire les variations de fn sur ]1 ;  [ (on distinguera les cas n pair et n impair). On précisera les limites aux bornes sans étudier les branches infinies.

II. Etude d'une suite.

On considère la suite   *n n

U

définie par : 1

0

( )n nU f x dx  .

A. Calcul de U1

1. Prouver l'existence de trois réels a, b, c tels que : 2

[0 ;1], 1 1

x c x ax b

x x     

  .

2. En déduire la valeur de l'intégrale 21

0 1

x dx

x  .

3. Montrer que U1 = 1/4.

B. Convergence de la suite   *n n

U

1. Montrer que la suite   *n n

U

est monotone.

2. Justifier la convergence de la suite   *n n

U

(on ne demande pas sa limite).

3. Démontrer que : *n  , ln 2

0 1

nU n

  

.

4. En déduire la limite de la suite   *n n

U

.

C. Calcul de Un pour 2n

Pour x  [0 ; 1] et *n on pose    2

0

1 ... 1 ( 1)

n n n k k

n

k

S x x x x x

        .

1. Montrer que 11 ( 1)

( ) 1 1

n n

n

x S x

x x

    

.

2. En déduire que 11

0 0

( 1) ln 2 ( 1)

1 1

n k n n

k

x dx

k x

   

   .

3. En utilisant une intégration par parties dans le calcul de Un, montrer que :

ln 2 ( 1) 1 ( 1) ( 1) ln 2 1

1 1 2 1 1

n k n

nU n n k n

                     

.

7-7 : ecricome 2004

Soient f la fonction numérique de la variable réelle définie par : x  , 2

1 ( )

1 f x

x

 , et (un) la suite

de nombres réels déterminée par :

1

0 0

1

0

( )

, ( )nn

u f x dx

n N u x f x dx

 

     

 .

A. Etude de f

1. Montrer que la fonction f est paire sur .

2. Etudier les variations de f sur l’intervalle [0 ;  [.

3. Déterminer la limite de f lorsque x tend vers  .

4. Montrer que f est bornée sur .

5. Donner l’allure de Cf.

6. Montrer que f réalise une bijection de l’intervalle [0 ;  [ sur un intervalle J à préciser.

7. Pour tout y de l’intervalle ]0 ; 1], déterminer l’unique réel x appartenant à l’intervalle [0 ;  [ tel que f(x) = y.

8. Déterminer alors la bijection réciproque f−1.

B. Calcul d’aire

On considère la fonction numérique F de la variable réelle x définie par :    2ln 1F x x x   . Pour tout réel  strictement positif, on note  A  l’aire (exprimée en unité d’aire) du domaine

constitué par l’ensemble des points M(x, y) tels que : 2x   et  0 y f x  . Ainsi

  2

( )A f x dx

    .

1. Montrer que : x  , 2 1 0x x   . En déduire l’ensemble de définition de F.

2. Montrer que F est une primitive de f sur .

3. Montrer que F est impaire sur son ensemble de définition.

4. Déterminer la limite de F lorsque x tend vers  . En déduire la limite de F quand x tend vers  .

5. Exprimer  A  en fonction de  et calculer la limite de  A  lorsque  tend vers  .

C. Etude de la suite (un)

1. Calculer u0 et u1.

2. Effectuer une intégration par parties et calculer u3 (on pourra remarquer que 3

2

2 21 1

x x x

x x

  ).

3. Déterminer le sens de variations de la suite (un) .

4. Montrer que la suite (un) est convergente (on ne cherchera pas sa limite dans cette question).

5. Justifier l’encadrement suivant :  0 ;1x  , n  , 2

0 1

n nx x

x  

 .

En déduire que : *n  , 1

0 1

nu n

  

.

6. Déterminer alors la limite de la suite (un).

8. Annales ISC-ESLSCA

8-1 : eslsca 93

On pose   2

ln

x

x

dt f x

t   et  

2

ln

x

x

dt g x

t t   .

1. Montrer que ces intégrales ont un sens lorsque x est un nombre réel strictement positif et différent de 1.

2. Déterminer explicitement la fonction g.

3. a. Montrer que la fonction f est dérivable sur son domaine de définition et déterminer sa fonction dérivée f’.

b. Que vaut   1

lim x

f x   ?

c. Déterminer les limites de f en 0 et en  .

4. a. Déterminer     1

lim x

f x g x

   et en déduire   1

lim x

f x

.

b. Montrer que f ainsi prolongée est dérivable en 1.

5. Soit (C) la courbe représentative de f dans le plan rapporté à un repère orthonormé. Déterminer l'allure de la branche infinie de (C) et enfin donner l'allure de (C).

8-2 : eslsca 95

1. Pour tout réel x > 1 et pour tout entier naturel n, on pose   1

0

( )

(1 )

nx

n n

x t I x dt

t  

  .

a. Montrer, à l'aide d'une intégration par parties, que, pour tout entier n et tout réel x > 1, on a :

    1

1 1

n

n n

x I x I x

n

    

.

b. Calculer I0(x), en déduire I1(x), puis I2(x).

2. Prouver par récurrence que, pour tout réel x > 1,et pour tout entier n > 0 :

  2 3 4

1

1 0

( 1) ( ) ln 1 ( 1)

2 3 4 (1 )

n n nx n

n

x x x x x t x x dt

n t

          

 .

(Remarque : ces deux questions prouvent en fait la formule de Taylor avec reste intégral dans un cas particulier ; celle-ci étant dorénavant au programme, entraînez--vous à l'appliquer pour obtenir directement le 2.)

3. Pour x compris entre 0 et 1, on considère la suite un(x) définie par   1

0

( 1) ( )

(1 )

n nx

n n

x t u x dt

t   

  .

Montrer que pour tout entier n de :   1

1

n

n

x u x

n

 

, en déduire la limite de la suite un(x).

4. Pour x compris entre 0 et 1, on considère la suite (vn(x)) définie pour n > 0 par

  2 3 4

1( 1) 2 3 4

n n

n

x x x x v x x

n

       .

Montrer que la suite (vn(x) ) converge et déterminer sa limite.

8-3 : eslsca 96

Partie 1

Pour n dans et x dans * on pose :   1

1 expn nxnf x x e x

x

      

  .

1. Montrer que la restriction de fn à ]0 ;  [ peut être prolongée par continuité en 0. Ce prolongement est-il dérivable ?

2. Déterminer les limites éventuelles de fn en  ,  et en 0 par valeurs inférieures.

3. Etudier, suivant les valeurs de n les variations de fn. En désignant par (Cn) la courbe représentative de fn dans le plan rapporté à un repère orthonormé, préciser les positions relatives de (Cn) et (Cn+1). Tracer dans le même repère (Co), (C1 ),(C2), (C3).

Partie 2

Pour n dans , on pose 1

0

( )n nI f x dx  .

1. Montrer que pour tout n dans ,In est bien défini. Etudier la monotonie de la suite (In).

2. A l'aide d'un encadrement simple, montrer que la suite (In) est convergente et déterminer sa limite.

3. Pour n dans , déterminer une relation entre In et In−1. En déduire un équivalent simple de In lorsque n tend vers  .

8-4 : eslsca 98

m et n étant deux entiers naturels quelconques, on pose : Im,n = 1

, 0

(1 )m nm nI x x dx  .

1. A l'aide d'une intégration par parties, montrer que pour 1m , on a , 1, 1 1

m n m n

m I I

n  

 .

2. Calculer I0, m+n et en déduire la valeur de Im, n pour tout couple d'entiers naturels m et n.

3. a. Calculer, pour tout entier naturel n, In, n.

b. Montrer que l'on a : , 1

, 4

n n n n I   .

8-5 : eslsca 99

On considère la fonction f définie sur  par ( ) ln( ) si 0

(0) 0

f x x x x

f

   

 .

On pose, pour n entier naturel non nul,   1

0

( ) n

nI f x dx  .

1. a. Montrer que, pour tout entier naturel non nul, l'intégrale In est bien définie.

b. Calculer I1 (on pourra, pour 0  , effectuer une intégration par parties dans l'intégrale   1

f x dx  ,

puis faire tendre  vers 0).

2. On pose, pour h et k entiers naturels non nuls, 1

, 0

(ln )h kh kJ x x dx  et 1

, 0 0

h hJ x dx  .

a. A l'aide d'une intégration par parties, montrer que, pour 1h  et 1k  , on a , , 1 1

h k h k

k J J

h  

 .

b. Calculer Jh, 0. En déduire la valeur de Jh, k.

c. Calculer In.

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