Sciences statistiques – Travaux pratiques 3 - correction, Exercices de Mathématiques et dstatistiques
Emmanuel_89
Emmanuel_8930 May 2014

Sciences statistiques – Travaux pratiques 3 - correction, Exercices de Mathématiques et dstatistiques

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Sciences statistiques - Travaux pratiques 3 - correction. Les thèmes principaux abordés sont les suivants: le changement de variable, les coordonnées
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Concours Fesic

Terminale S mai 2008

Concours Fesic

Calculatrice interdite ; traiter 12 exercices sur les 16 en 2 h 30 ; répondre par Vrai ou Faux sans justification. +1 si bonne réponse, −1 si mauvaise réponse, 0 si pas de réponse, bonus d’1 point pour un exercice entièrement juste.

Exercice 1

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé  ; ,O u v .

On considère trois points A, B et C d’affixes respectives 1 3Az i  , 1Bz i  , et

2 cos sin 12 12

Cz i i   

    

.

a. On a  arg 12

Cz   .

b. L’écriture algébrique de A

B

z

z est :

3 1 3 1

2 2 i

   .

c. L’écriture trigonométrique de A

B

z

z est : 2 cos sin

12 12 i

    

  .

d. On a : 2

OA OC

OB  .

Exercice 2

On considère deux réels a et b et l’équation [E] : 4 3 2 1 0z az bz az     dans .

a. Si 0z est solution de [E] alors 0z et 0

1

z le sont aussi.

b. Si 1 2i est solution de [E] alors 1

1 2i aussi.

c. Le changement de variable 1

Z z z

  conduit à résoudre [E’] : 2 0Z aZ b   .

d. On peut factoriser l’expression 4 3 2 1z az bz az    par deux polynômes de degré deux à coefficients réels.

Exercice 3

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé  ; ,O u v .

On appelle A le point d’affixe 2, B le point d’affixe 3 i  et C le point d’intersection de (OB) avec la médiatrice de [OA].

On considère dans les équations suivantes [E1] et [E2] :

[E1] : 2z z  et [E2] :    arg arg 3z z i   .

a. L’ensemble des points M du plan dont l’affixe z vérifie [E1] est la médiatrice de [OA].

b. L’ensemble des points M du plan dont l’affixe z vérifie [E2] est le segment [OB], exclusions faites de O et B.

c. L’affixe du point C vérifie simultanément [E1] et [E2].

d. Le point C a pour coordonnées 1

1 ; 3

     

.

Exercice 4

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal.

Soient a , (C) la courbe représentant la fonction exponentielle et (T) la tangente à (C) au point d’abscisse a.

Soient f la fonction définie sur par :    1x af x e e x a    et ( ) sa courbe représentative dans le même repère.

a. Une équation de (T) est :  1ay e x a   .

b. La dérivée 'f de f est croissante sur .

c. (C) est au-dessous de (T) avant le point  ; aA a e et au-dessus de (T) après A.

d. A tout réel 0x on associe les points 0M de (C) et 0N de ( ) d’abscisse commune 0x .

0x étant fixé, il existe une valeur de a telle que (C) et (  ) possèdent des tangentes parallèles

respectivement en 0M et 0N .

Exercice 5

Dans le repère orthonormal ci-dessous sont représentées les courbes des fonctions logarithme népérien,

exponentielle et identité  x x.

C1

J

C

I

B

A

C2

K

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

x

y

a et b sont deux réels strictement positifs et A et B sont deux points de C1d'abscisses respectives a et b.

On appelle I le milieu de [AB].

On notera ceci : J , 2CK , les droites (IJ)et (KC)sont parallèles à l'axe des abscisses ; la droite

(JK)est parallèle à l'axe des ordonnées.

a. Le point I a les coordonnées  ; ln 2

a b ab

     

.

b. L'abscisse de C est abe .

c. La tangente à C1 au point d'abscisse 2

a b est parallèle à la droite  si et seulement si a + b = 2.

d. Le symétrique de A par rapport à  a pour coordonnées  ln ;a a .

Exercice 6

a. Afin de résoudre l'inéquation 2 0x xe e  , on utilise le raisonnement suivant :

« Si x est une solution, alors x et on a 2

0x x

e e   . Le changement de variable xX edonne

2 0X

X   , soit

2 2 0

X

X

  . Or on a 0xX e  . Il faut donc 2 2 0X   , soit aussi   2 2 0X X   .

On en déduit 2 2X   , donc 2 2xe   .

ln étant une fonction croissante, on obtient ln 2x  . Ces conditions nécessaires sont suffisantes.

Solution : ln 2x  .

Ce raisonnement est exact.

b. On considère la suite définie par : 0 1

2 u  et

pour tout n par 21 1

8 n nu u   .

On désigne par C la courbe représentant la

fonction f définie sur  par :   2 1

8 f x x 

et on désigne par  la droite d’équation y x .

Afin de construire les 4 premiers termes de la suite u, on a réalisé la construction ci-contre.

Cette construction est exacte.

u 0 u 1 u 2 u 3

C

0

1

0 1

x

y

c. On considère la suite u et la fonction f présentées à l'item b.

Afin de montrer que u est croissante, on utilise le raisonnement par récurrence suivant :

« Soit  P n l'inéquation : 1 0n nu u   .

Initialisation : on a 1 0 0u u  , donc P(0) est vraie.

Hérédité : Soit p tel que P(p) soit vraie. Alors 1 0p pu u   . Comme f est croissante sur  et ne

prend que des valeurs positives, alors      1 0p pf u f u f   , soit 2 1 0p pu u   . Donc P(p + 1) est vraie.

Conclusion : De ces deux assertions et d'après le théorème de raisonnement par récurrence, je déduis que quel que soit n , P(n) est vraie.

On obtient, pour tout n , 1n nu u  ,ce qui prouve que u est croissante.»

Ce raisonnement est exact.

d. On considère la fonction f définie sur    ; 3 1 ;    par :   2 2 3f x x x   .

On cherche à savoir si la courbe C représentant f possède une tangente au point  1 ; 0A . On utilise

pour cela le raisonnement suivant :

« Une équation de la tangente à Cen A est donnée par      1 ' 1 1y x f f   .

Or on a   2

1 '

2 3

x f x

x x

 

  ,donc  ' 1f n'existe pas et donc f n'est pas dérivable en 1. On en déduit

que C ne possède pas de tangente en A »

Ce raisonnement est exact.

Exercice 7

Soit f la fonction définie par :   1x xf x e e  . On appelle D l'ensemble de définition de f.

a. f est dérivable sur  0 ;D   .

b.  lim x

f x 

  .

c. Quel que soit x D ,   1

0 ; 2

f x       

.

d. L'équation   1

2 f x  admet une unique solution sur D.

Exercice 8

Soit f la fonction définie par :   1 1

ln 1f x x x

     

  . On appelle D l'ensemble de définition de f et C sa

courbe représentative dans un repère du plan.

a.  ; 1D   

b. f admet des primitives sur  ; 1  ; l'une d'elles est la fonction F définie sur  ; 1  par

       1 ln 1 1 lnF x x x x x     .

c.  lim 1 x

xf x 

d. Soit *n . On a :    

  1

2 ln 1

1

n

k

f k n n n

    .

Exercice 9

Soit f une fonction continue et positive sur  0 ;  .

Soient F et G les fonctions définies sur  0 ;  respectivement par :

    1

x

F x f t dt  et    1 x

G x x f t dt  .

On désigne par  la représentation graphique de f dans un repère du plan.

a.    0 1G G .

b. G est dérivable sur  0 ;  et pour tout  0 ;x  , on a      'G x F x xf x  .

c. On ne peut pas prévoir le sens de variation de G sur  0 ;  avec les seules hypothèses de l'énoncé.

d. L'aire de la surface limitée par les droites d'équations 0x  , 2x  , 0y  et la courbe  se calcule par

   2 0F F .

Exercice 10

a. La solution de l'équation différentielle 2 ' 0y y  qui prend la valeur 5 en 1 est la fonction f définie sur

 par   1

25

x

f x e

 .

b. L 'ensemble des solutions de l'équation  ln 4 1x  est  4 ;e  .

c. Soient *a  et C la courbe représentant la fonction ln dans un repère orthonormal du plan d'origine O. Soient A le point de C d'abscisse a, B le projeté orthogonal de A sur l'axe des abscisses et C le point d'intersection de la tangente à C en A avec l'axe des abscisses.

C est le milieu de [OB] si et seulement si a e .

d. Soit a . Soient trois points A, B et C deux à deux distincts et non alignés. Soit G le barycentre de

      , ; , ; ; 2a aA e B e C .

Dans le repère  ; ,A AB AC le point G a les coordonnées  ,x y telles que  

2

1

1a x

e

et

  2

2

1

a

a

e y

e

.

Exercice 11

Soitf la fonction définie sur  par :   4

3 2

f x x

  

.

On considère la suite u définie pour n par :  

0

1

4

n n

u

u f u

 

 . On admettra que la suite u est bien

définie.

a. f est croissante sur  .

b. u est croissante.

c. Quel que soit n , 2nu  .

d. u est convergente.

Exercice 12

Soit f la fonction définie sur  par :   4

3 2

f x x

  

.

On considère les suites u et v définies pour n par :  

0

1

4

n n

u

u f u

 

 et

1

2

n n

n

u v

u

  

.

On admettra que les suites u et v sont bien définies.

a. v est géométrique de raison 4.

b.

15 10

5

5

4 1

3 k

k

v v

   .

c. Pour tout n , 2 1

1

n n

n

v u

v

 

 .

d. La suite u converge vers −1.

Exercice 13

Soient b et n deux entiers naturels tels que 2b  et 2n  .

Une urne contient 2 boules blanches et (b − 2) boules noires, indiscernables au toucher. On tire au hasard une boule de l'urne, on repère sa couleur et on la remet dans l'urne. On répète ainsi n fois cette expérience.

On désigne par np la probabilité de tirer une boule blanche et une seule lors des  1n premiers tirages et une boule noire au n-ième tirage.

a. 2 2 2

1p b

  .

b.   12 1 2

1

n

n

n p

b b

   

    

.

c.  lim ln n n

p 

  .

d. lim 1 1

n

n

p

n 

 .

Exercice 14

Un jeu consiste à lancer trois fois de suite et de façon indépendante un dé cubique équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6. On obtient ainsi une partie complète en trois manches, chaque lancer constituant une manche.

Le joueur gagne la partie s'il obtient « 1 » ou « 2 » à chaque lancer. Il perd dans les autres cas.

La partie coûte 1 euro ; le joueur reçoit 27 euros s'il gagne la partie.

a. La probabilité de gagner une partie est 1

27 .

b. Ce jeu est équitable.

c. La probabilité pour un joueur de gagner au moins une fois en trois parties est 1

9 .

d. La probabilité qu'un joueur gagne une partie sachant qu'il a gagné la 1ère manche est la même que la probabilité qu'il gagne la 1ère manche sachant qu'il a gagné la partie.

Exercice 15

L’espace est muni d’un repère orthonormal. On considère le système [S] :

2 3 1

3 2 3

2 3 2

x y z

x y z

x y z

            

.

On appelle P le plan d’équation cartésienne 2 3 1x y z   et D la droite définie par le système

d’équations : 3 2 3

2 3 2

x y z

x y z

        

.

a. Le système [S] admet pour unique solution en  ; ;x y z le triplet  2 ;1 ;1 .

b. La droite D est contenue dans le plan P.

c. Le système 1

0

x y

y z

    

est un autre système qui permet de définir la droite D.

d. Le vecteur  2 ;1 ;1u est un vecteur directeur de la droite D.

Exercice 16

L’espace est rapporté à un repère orthonormé  ; , ,O i j k . On considère par leurs coordonnées les

points  1 ; 1 2 ; 2A   ,  3 ; 1 2 ; 4B   et  2 ; 1 ; 3C  . On appelle  l’ensemble des points de

coordonnées  ; ;x y z tels que :         1 3 1 2 1 2 2 4 0x x y y z z           .

P est le plan d’équation cartésienne : 2 3 2 1x y z    .

a.  est une sphère dont un diamètre est [AB].

b.  est une sphère de centre C.

c. La distance de C à P est  3 1 2

2

 .

d. P est tangent à  .

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