Sciences statistiques – Travaux pratiques 5 - correction, Exercices de Mathématiques et dstatistiques
Emmanuel_89
Emmanuel_8930 May 2014

Sciences statistiques – Travaux pratiques 5 - correction, Exercices de Mathématiques et dstatistiques

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Sciences statistiques - Travaux pratiques 5- correction. Les thèmes principaux abordés sont les suivants: les courbes, la limite.
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Concours Fesic

Terminale S mai 2013

Concours Fesic Corrigé

Exercice 1 : Bases en Analyse

a. Faux : la dérivée du produit donne  1 xx e .

b. Faux : ln 1 ln 1

lim lim lim 0 0 0 x x x

x x

x x x  

      (croissances comparées).

c. Faux : 0 est bien telle que 0' 0 mais il existe d’autres fonctions comme toutes les fonctions de la forme xCe .

d. Vrai : A et B sont incompatibles si A B  .

En utilisant        P A B P A P B P A B     , on trouve   0,2 0,5 0,7 0P A B     .

Exercice 2 : Bases en Géométrie

a. Faux : Attention au –6 :

2 5

3 36 6 6 6 i i

i ie z e e e

        ,    

5 arg 2

3 z

  .

b. Faux : Si z x iy  , on a z x iy z x iy       donc symétrie par rapport à l’axe (Oy).

c. Faux : on peut remarquer que

3 4 6 10 3 0 2 3 5

2 x y z x y z

         et

8 8 6 9 15 8 0 2 3 5

3 3 x y z x y z

          

 ,

les deux équations sont incompatibles, les plans sont strictement parallèles.

d. Faux : on cherche t,

2 2 1 1 / 2

3 3 6

5 5 1 4 / 5

t t

t t

t t

             

      

, ce qui est impossible.

Exercice 3 : Lecture graphique

Nombre dérivé = coefficient directeur de la tangente :

a. Vrai :  ' 0 1f .

b. Faux :  ' 1 0f .

c. Vrai : l’intersection de y=x avec C a une solution.

d. Vrai : on compte 4 carreaux pour une unité : l’aire hachurée est supérieure à 8 carreaux et inférieure à 16 carreaux.

Exercice 4 : Volume d'un parallélépipède rectangle

a. Vrai :        2 3 212 12 12 12 24 144V x x x x x x x x x x         .

b. Faux : la fonction change de sens de variation.

c. Faux :    V x f x .

d. Vrai : On a un cube si 312 6 6 216x x x V       .

Exercice 5 : Utilisation d'une suite dans un algorithme

a. Faux : le dernier terme est –24/8.

b. Vrai : vérifiez à la main.

c. Vrai : n n n nv u n u v n     et 1 1 1n nu v n    d’où en remplaçant :

   1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 2 2 2 2

n n n n n n nu u n v n v n n v v n n v                   . 0 0 1nv u   .

d. Faux : 0 1 1

2 2

n n n nn n

v v q u v n n       .

Exercice 6 : Utilisation d'un algorithme avec les nombres complexes

a. Faux : 3 1

' 2

a

 . 3

   , a = 1 et b = 1 :

1 ' cos

3 2 a a

     

  puis

1 3 1 3 ' 1

2 2 2 a

     .

b. Vrai :   3

' sin 2

b a    puis 3 1 3 1

' 1 2 2 2

b

    .

c. Vrai : si 3

   , a = 1 et b = 1 alors

2 2

2 2 3 1 3 1 3 2 3 1 3 2 3 1' ' ' 2 2 2 4 4

z a b         

                

.

d. Vrai :    ' cos sina a b   ,    ' sin cosb a b   . D’un autre côté on a :

    ' cos sin cos sin sin cosiz e z i a ib a b i a b              .

Exercice 7 : Bases de logique

La contraposée de ( p q ) est ( non nonq p ). Ces deux phrases ont même valeur de vérité.

a. Faux :    0 Re 0 et Im 0z z z    donc par contraposée :    0 Re 0 ou Im 0z z z    .

b. Faux : la contraposée est « si Re(z)  0 alors z ».

c. Faux : Il faut également que f soit continue…

d. Faux : si f est constituée de plusieurs morceaux non continus, elle peut très bien avoir une primitive sur chaque intervalle et donc une primitive partout sans être continue.

Exercice 8 : Calculs de limites

a. Faux :  lim exp 0 x

x 

 .

b. Faux :  22 1

lim ln lim ln x x

x x 

      

  .

c. Vrai :   2 2

1 1 1 lim lim lim 0 lim 0

1x x x x

x x f x

x xx x   

      

 , alors  lim 0

x f x

  .

d. Faux : la limite proposé eest le nombre dérivé de sin en 2

 , soit

 

2

sin 1 lim cos 0

2

2 x

x

x

 

     

 

.

Exercice 9 : Calculs d'intégrales

a. Faux : 4 4

22

1 2 2 4 2 2 4 2 2dx x

x         .

b. Vrai :   1 1 1

2

2 00 0

2 ' ln 1 ln 2 ln 1 ln 2

1

x u dx dx x

ux           .

c. Vrai : dérivons  2 2 2 2xx x x e    :    2 22 2 2 2x x xx e x x e x e     .

d. Faux : on utilise le résultat précédent :   1 1

2 2

00

2 2 2x xx e dx x x e e        .

Exercice 10 : Notions de bases sur les nombres complexes

a. Vrai : 3 1 3

2 2 3 4 4 2 2

i

Ez i i e

  

        

.

b. Faux : E est situé sur le cercle de centre O et de rayon R = 4.

c. Vrai :  2 2z i z i AM     ,  2 2z z BM     ; on a AM BM , ce qui caractérise la médiatrice du

segment [AB].

d. Faux : On rappelle que 2 1 1

2 2 z z z z z z     . Cercle de centre O, de rayon

1

2 .

Exercice 11 : Utilisation des nombres complexes en géométrie

a. Vrai :  1 3 1

' 1 1 1 2 2 2

A

i ii z i

i

      

 .

  2 2

2 2 2 2 2 2 ' 1 1 1

i x iy x y yi i x z i

z x iy x y x y x y

          

    d’où

b. Vrai :   2 2

2 2 Re ' '

x y y z x

x y

   

 . c. Faux :  

2 2 Im ' '

x z y

x y  

 .

d. Vrai : z’ est imaginaire pur si   2 22 2

2 2 2

2 2

1 1 1 Re ' ' 0 0

2 4 2

x y y z x x y y x y

x y

                    

     (on

enlève O pour éviter d’avoir 0 au dénominateur).

Exercice 12 : Étude d'une fonction logarithme

a. Vrai : signe du trinôme.

b. Faux :  D 1 ; 1  .

c. Faux :   2

' 2 '

1

u x f x

u x

  

 .

d. Faux :   2 21 1 1f x x e x e       ce qui est impossible donc pas de solutions.

Exercice 13 : Étude d'une fonction exponentielle

a. Faux :  lim 0 x

e f x



   

.

b. Vrai :  lim x

f x 

  par croissances comparées ( lim x

nx

e

x   ).

c. Vrai :      

 

 

 

 

 

 

   

2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 '

1 1 1 1

x x x

x x

e x e x e x x x x x x f x

x x e x e x 

           

   

.

d. Faux : Le trinôme 2 1x x  n’a pas de racines, il est du signe de +1, soit + donc f est croissante sur .

Exercice 14 : Bases en probabilités

a. Faux :      

   

   

 

  ;

1 FF

E F E E F E F E E

F FF

      

P P P P P P

P PP . En général ça ne marche pas.

b. Vrai :       1 5 5

4 8 32 BB G G B     P P P .

c. Faux :   5 1 3 1 11

8 4 8 2 32 G     P .

d. Vrai :    

  5 / 32 5

11 / 32 11 G

B G B

G

   

P P

P .

Exercice 15 : Différentes lois de probabilités

a. Faux :

5 1

5 1,521 0,3 2 5 0 5

X

        

  P .

b. Vrai :     0

1 1 1 c

t c cY c e dt e e           P .

c. Vrai :   1

10 110

1 10 1 1 1T e e

e

        P .

d. Faux : Si la loi de Z était la loi normale centrée réduite  0 ;1N , alors on aurait :

    1

0 2 2 0,95 0,48 2

Z Z          P P .

Exercice 16 : Repérage dans l'espace

a. Vrai :

1 2 1 1

2 3 1

3 2 1

x t t

y t t

z t t

               

        

.

b. Vrai :    2 3 2 0 1 2 2 2 3 3 2 0 3 6 2x y z t t t t t                   d’où  1 2 2 3

2 2 2 4

3 3 2 1

x

y t

z t

          

        

c. Vrai :    2 3 2 0 2 2 1 3 2 0 0 0 0x y z k k k k              . D’ est incluse dans P (sécante=intersection

non vide).

d. Faux : les droites D et D’ sont coplanaires ici si elles ont en commun le point B :

3

2 1 4

1

x k

y k

z k

       

   

, impossible.

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