Sciences statistiques – Travaux pratiques 5, Exercices de Mathématiques et dstatistiques
Emmanuel_89
Emmanuel_8930 May 2014

Sciences statistiques – Travaux pratiques 5, Exercices de Mathématiques et dstatistiques

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Sciences statistiques - Travaux pratiques 5 Les thèmes principaux abordés sont les suivants: les courbes, la limite.
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Concours Fesic

Terminale S mai 2011

Concours Fesic

Calculatrice interdite ; traiter 12 exercices sur les 16 en 2 h 30 ; répondre par Vrai ou Faux sans justification. +1 si bonne réponse, −1 si mauvaise réponse, 0 si pas de réponse, bonus d’1 point pour un exercice entièrement juste.

Exercice 1

Soit f la fonction définie sur  par   sinxf x e x.

a.  lim 0 x

f x 

 . b.  lim x

f x 

  . c.  

0 0

lim x x

f x

x 

  . d.

 lim x

xf x 

  .

Exercice 2

Soit f la fonction définie sur  D 1 ; 1   par   1

ln 1

x f x x

x

     

  .

On appelle C la courbe représentant f dans un repère du plan.

a. C est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

b. Quel que soit Da ,   0 a

a

f x dx

 .

c. f est dérivable sur D et, quel que soit Dx ,   2

2 ' 1

1 f x

x  

 .

d. Un énoncé peut demander, sans erreur de rigueur mathématique, d’« étudier le sens de variation de

 f x ».

Exercice 3

Soient f1 la fonction définie sur  par    1 ln 1xf x e  et f2 la fonction définie sur  par

   2 ln 1xf x e  . On appelle C1 et C2 les courbes représentant respectivement f1 et f2 dans un même repère du plan et on appelle  la droite d'équation y = x.

a. Au voisinage de  , C1 possède l'asymptote d'équation 1y x  .

b. Quel que soit x  , on a  2 1f f x x .

c. Soient a  et   . On suppose qu'au point   1,A a f a , C1 possède une tangente de coefficient

directeur  . II existe un point de C2 en lequel C2 possède une tangente de coefficient directeur 1

 .

d. Pour montrer que  est asymptote à C2 au voisinage de  , un élève peut écrire, sans erreur de

rigueur mathématique, « je vais montrer que   2lim 0 x

f x 

   ».

Exercice 4

Soit f1 la fonction définie sur  0 ;  par    1 ln 1f x x x  .

Soit f2 la fonction définie sur  0 ;  par  2 lnf x x x si 0x  et  2 0 0f  .

On appelle C1 et C2 les courbes représentant respectivement f1 et f2 dans un même repère orthogonal du plan d'unités 3 cm en abscisses et 2 cm en ordonnées.

a. f2 est continue en 0.

b.     1 2lim 0 x

f x f x 

  .

c. On considère la surface délimitée par les courbes C1 et C2 d'une part et les droites d'équations

respectives x = 1 et x = e d'autre part. L'aire de cette surface en cm2 est 1

1 ln 1

e

x dx x

   

  .

d. C1 et C2 possèdent deux tangentes parallèles entre elles au point d'abscisse 0.

Exercice 5

On considère l'équation différentielle [E] :  ' 2 2 1 xy y x e   .

On appelle f la solution de [E] qui s'annule en 0.

a. La courbe représentant f dans un repère du plan possède une tangente au point d'abscisse 0 d'équation y x .

b. Quel que soit x ,       0 0

2 2 1 x x

tf x f t dt t e dt    .

c. Si  f x possède une limite finie quand x tend vers  , alors  f x possède une limite finie quand x tend vers  .

d. La fonction f, définie par    2 2 1x xf x e x e   , est la fonction définie dans l'énoncé.

Exercice 6

a. On considère la fonction f définie sur  par   1

xf x e

si 0x  et  0 0f  .

On cherche à savoir si f est continue en 0. On tient pour cela le raisonnement suivant : « On a

0

1 lim x x

  , donc 0

1 lim x x    . On en déduit  

0 lim 0 x

f x

 .

Comme on a posé  0 0f  , on en déduit que f est continue en 0. » Ce raisonnement est exact.

b. On considère la fonction f définie sur  par   lnf x x xsi x > 0 et  0 0f  .

On cherche à savoir si f est dérivable en 0 à droite. On tient pour cela le raisonnement suivant : « f est

définie et dérivable sur  0 ;  . Pour tout x > 0, on a  ' 1 lnf x x  . Or la limite de  f x quand x tend vers 0 (x > 0) n'est pas un nombre réel. Cela suffit pour en déduire que f n'est pas dérivable en 0 à droite. » Ce raisonnement est exact.

c. On cherche à calculer la limite éventuelle de 1

1

n

n

   

  quand n tend vers  . On tient pour cela le

raisonnement suivant :

« Soit f la fonction définie sur  1 ;  par    ln 1f x x  . On sait que f est dérivable sur  1 ; 

et que, pour x > –1,   1

' 1

f x x

 

. Or, en utilisant le changement de variable 1

x n  , on obtient :

   

ln 11 lim ln 1 lim ' 0 1

n x

x n f

n x 

      

  .

De plus, pour tout n  ,

1 ln 11

1

n n ne

n

   

      

. Compte tenu de ce qui précède, on déduit que

1

1 lim 1 lim

n t

n t e e

n 

     

  . Conclusion : la limite cherchée existe et vaut e. » Ce raisonnement est exact.

d. Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal ( ; , )O u v ,on considère les points A d'affixe

1z i  , B d'affixe 3 3Bz i  et C tel que ABC soit équilatéral direct. Pour calculer l'affixe Cz de C,on

rédige de la façon suivante :

« C est l'image de B par la rotation de centre A et d'angle 3

 , donc 3

i

AC e AB

. On en déduit :

 3 i

C A B Az z e z z

   ,soit, après calculs,    2 2 3 1 3Cz i    . » La rédaction utilisée est rigoureuse.

Exercice 7

On a représenté, ci-dessous, la droite  d'équation y = x et les courbes C, C’ et C’’ représentant

respectivement une fonction f sa dérivée f  et la dérivée ''f de f  .

a. La tangente à C au point d'abscisse 1 a pour équation 1

1 2

y x  .

b. Quel que soit le point M de C, le coefficient directeur de la tangente à C en M est inférieur à 3

2 .

c.   0

1

' 1f x dx

 .

d. L'aire, en unités d'aire, de la surface limitée par les courbes C’ et C’’ d'une part, et les droites

d'équation 1x   , 0x  d'autre part, vaut    ' 1 0f f  , soit 2,5.

Exercice 8

Pour tout n , on considère les fonctions fn, définies sur  par

  3 2 1nf x x nx   et on appelle Cn la courbe associée à fn, dans un repère du plan.

On admet que, quel que soit n , l’équation   0nf x  possède une

et une seule solution dans [0 ; 1] ; cette solution (dont la valeur

dépend de n) sera notée n.

À titre d'exemple, on a schématisé ci-contre deux courbes Cn et Cm.

a. Quel que soit n , Cn est au-dessus de Cn+1.

b. La suite  n n est décroissante.

c. La suite  n n est convergente.

d. On a lim 2 0n n

n 

 .

Exercice 9

On considère les suites u et v définies respectivement sur * par: 1

0

1

1 n n

u dx x

  et

1

0 1

n

n n

x v dx

x

 .

a. La suite u est croissante.

b. La suite u + v est constante.

c. Quel que soit *n , on a  

1 1

2 1 1 nv

n n  

  .

d. La suite u converge vers 1.

Exercice 10

a. On suppose que u est une suite réelle croissante.

On peut écrire, sans erreur de rigueur mathématique, que « quel que soit n , un est croissant ».

b. On suppose que u est une suite réelle strictement croissante.

On peut écrire, sans erreur de rigueur mathématique, que « quel que soit n ,    1n nn nu u  ».

c. On suppose que u et v sont deux suites réelles qui possèdent la même limite.

Alors on a nécessairement:  lim 0n n n

v u 

  .

d. On suppose que u est une suite réelle. u est bornée si et seulement si la suite de ses valeurs absolues est majorée.

Exercice 11

Soit f l'application définie sur  par   4 2 2f z z iz   .

a. L'équation   0f z  possède les solutions 1 + i et 1

2

i .

b. Le produit des solutions de l'équation   0f z  est égal à 2.

c. Quel que soit z ,    f z f z .

d. Si   et si z  , alors   4 2 2f z     .

Exercice 12

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal ( ; , )O u v . Soient 2a i  et 1b i   .

On considère les points U, A, A’ et B d'affixes respectives 1

2 , a, a et b.

On appelle C le point d'affixe c tel que B soit l'image de A par la rotation de centre C et d'angle 2

 .

a. L'homothétie de centre U et de rapport –1 transforme A en B.

b. On a 1c i   .

c. Le quadrilatère AABC est un rectangle.

d. Les points A, A’, B et C sont sur un même cercle.

Exercice 13

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal ( ; , )O u v . On appelle A le point d'affixe –i.

À tout point M d'affixe z, distinct de A et de O, on associe le point M’ d'affixe ' z

z z i  

.

a. On a ' OM

OM AM

 .

b.     ; ' ; 2u OM OM AM  . c. Si M’ est un point du cercle de centre O et de rayon 1, alors M est sur une droite parallèle à l'axe des ordonnées.

d. Si M’ est sur l'axe des ordonnées, alors M est sur le cercle de diamètre [OA].

Exercice 14

Soit n , 3n  .

Une urne contient:

n boules blanches, dont 2 sont numérotées 1, les autres étant numérotées 2 ;

n + 1 boules rouges, dont 3 sont numérotées 1, les autres étant numérotées 2 ;

n + 2 boules noires, dont 4 sont numérotées 1, les autres étant numérotées 2.

Toutes les boules sont indiscernables entre elles au toucher.

On prélève successivement, avec remise intermédiaire, 3 boules de l'urne.

On appelle A l'événement: « les trois boules tirées sont de la même couleur ».

a. La probabilité d'obtenir A est    

 

3 33

3

1 2

27 1

n n n

n

   

 .

b. L'événement contraire de A est : « les trois boules tirées sont de couleur deux à deux distincte ».

c. La probabilité que les trois boules tirées soient rouges est constante.

d. La probabilité que les trois boules tirées soient de couleur différente et portent chacune le numéro 1

est 2 3 4

1 2n n n    

.

Exercice 15

a. La durée de vie d'un appareil électronique est une variable aléatoire qui suit une loi sans vieillissement de paramètre 0,03.

Soient t et h deux réels positifs. Sachant que l'appareil fonctionne à l'instant t, la probabilité qu'il

fonctionne encore à l'instant t + h est 0,031 he .

b. Une variable aléatoire X suit une loi exponentielle de paramètre  . On sait que la probabilité d'avoir

5X  est 0,2. On a ln 0,8

ln 5   .

c. Une variable aléatoire X suit une loi sans vieillissement de paramètre 1

2 . La probabilité d'avoir X

supérieure ou égale à ln 4 est égale à la probabilité d'avoir X inférieure à ln 4.

d. Soient deux réels a et b, a < b. Une variable aléatoire X suit une loi de répartition uniforme sur  ,a b .

On sait que la probabilité d'avoir X compris entre 0 et 5 est 0,2. On a nécessairement a = 0 et b = 25.

Exercice 16

L'espace est muni du repère orthonormal ( ; , , )O i j k . On considère le plan P d'équation

2 2 1 0x y z    , les points A(1, 1, 1), B(–1, 5, –3) et C(3, 0, 5).

a. Une équation du segment [AB] est

1

1 2

1 2

x t

y t

z t

    

  

, avec  0, 1t .

b. La distance de B à P est égale à la norme du vecteur AB.

c. La sphère de centre A passant par B coupe le plan P en un cercle de centre A et de même rayon.

d. L'isobarycentre de {A, B, C} est un point de P.

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