Sciences statistiques - Travaux pratiques 7, Exercices de Mathématiques et dstatistiques
Emmanuel_89
Emmanuel_8930 May 2014

Sciences statistiques - Travaux pratiques 7, Exercices de Mathématiques et dstatistiques

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Sciences statistiques - Travaux pratiques 7 Les thèmes principaux abordés sont les suivants: Combinatoire-Dénombrement, Probabilités, Probabilités continues, Algèbre : Nombres complexes.
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FORMULAIRE

Combinatoire-Dénombrement

   Card A B = Card A+ Card B Card A B    Card A B = Card A Card B

Soit E un ensemble de n éléments :

Nombre d’arrangements de p éléments de E :

   A 1 ... 1pn n n n p    . Nombre de permutations de E :

! 1 2 3 ...n n     ; 0! 1 .

Nombre de sous-ensembles de p éléments de E :

   

 

1 ... 1A ! C =

! ! ! !

p p n n

n n n n p n

p p p p n p

       

 

C Cp n pn n  ; 1 11C C C

p p p

n n n

 

  

0 1 2 1C + C + C + ...+ C C 2n n nn n n n n   

Probabilités Si A et B sont incompatibles :

 P A B  alors      P A B = P A + P B

Dans le cas général :

       P A B = P A + P B P A B  

   P A 1 P A  ;  P 1  ;  P 0  Si A1 ,…, An forment une partition de A,

    1

P A P A n

i

i



Dans le cas équiprobable :   Card A

P A Card 

 .

Probabilité conditionnelle de A sachant que B

est réalisé :  P A| B et      P A B P A| B P B 

Formule des probabilités totales : Si les événements B1 , B2 , …, Bn forment une partition de  alors

       1 2P A = P A B + P A B + ...+ P A Bn  

Variable aléatoire : somme des valeurs de la loi de probabilité = 1

Espérance mathématique :   1

E n

i i

i

x p x

 Fonction de répartition :    F Px X x 

Variance :         2 22

1 1

V E E n n

i i i i

i i

x p x x p x x  

     Ecart-type    VX X 

Bernoulli : X= nombre de réalisations de A sur n épreuves, P(A)=p, alors : ( ) (1 )k k n knP X k C p p   

Probabilités continues

x suit une loi uniforme sur un intervalle de longueur L : 0

1 ( ) ( )P x f t dt dt

L L

   



     , la densité de probabilité est f.

Probabilité que x soit entre  et : 1

( ) ( )P x f t dt dt L L

 

 

   

       .

Moyenne : 2

0 0

1 1 1 . .

2 2

LL L x t dt t dt t

L L L





         .

x suit une loi exponentielle de paramètre  :

0 0 0

(0 ) ( ) 1 ( )

tt t u u tP x t f u du e du e e F t  

 

              .

Moyenne : 0

1ux ue du 

   en faisant une intégration par parties ;

cette moyenne représente la durée de vie moyenne et peut être déterminée expérimentalement.

Algèbre : Nombres complexesForme : algébrique z x iy  trigonométrique  cos sin , 0iz i e       

OM xu yv 

2 2OM z x y   

 OP Re cosx z    

 OP Im siny z    

tan arctan [ ] y y

x x     

Formules d’Euler

  1

cos 2

i ie e   

  1

sin 2

i ie e i

   

Opérations algébriques        z z x iy x iy x x i y y            

       z z x iy x iy xx yy i xy x y              

Conjugué iz x iy e   ; iz x iy e     ; z z z z    ; zz z z  

Inverse : 2 2 2 2 2

1 1 iyz z x i e z zz x y x yz

      

  1

2 x z z  ;  

1

2 y z z

i   ;

22 2zz x y z  

Module et argument d’un produit, d’un quotient

     ii iz z e e e             zz z z   ; arg( . ') arg( ) arg( ')[2 ]z z z z  

  i

i

i

z e e

z e

  

 

 



     

zz

z z   

; arg( ) arg( ) arg( ')[2 ] '

z z z

z  

  nn i n inz e e    , n

Angle de deux vecteurs : ( , ) arg c a

AB AC b a

    

  Distance de deux points : AB b a 

Similitude directe : ( ( ), , ) : '/ ' ( )iS k z z z ke z        ; avec =0 : homothétie, avec k=1 : rotation

Im( ) 0 arg( ) 0[ ]z z z      Inégalité triangulaire : z z z z z z      

Re( ) 0 arg( ) [ ] 2

z i z z       Produit scalaire : . ' . 'p z z z z 

M(z)

P(x)

Q(y)

u

v

Algèbre : Identités remarquables (valables sur et donc sur .)

  2 2 22a b a ab b    ;  

2 2 22a b a ab b   

  2 2a b a b a b    ;   2 2a b a ib a ib   

  3 3 2 2 33 3a b a a b ab b    

  3 3 2 2 33 3a b a a b ab b    

Binôme de Newton :   1 1 ... ... n n n k n k k n

n na b a C a b C a b b        

Algèbre : Trigonométrie OP cos OQ sin

AT tan

2 2cos sin 1  

sin tan

cos

 

  ,

2 k

   

2

2

1 1 tan

cos 

  

sin(ax), cos de période 2/a

tan(ax) de période /a

Angles associés :

cos sin 2

  

    

 

sin cos 2

  

    

 

Equations :

sinx=sina : [2 ] ou - [2 ]x a a  

cosx=cosb : [2 ] ou - [2 ]x b b 

tanx=tanc : [ ]x c

Formules d’addition :  i a b ia ibe e e 

 cos cos cos sin sina b a b a b   .

 cos cos cos sin sina b a b a b  

  tan tan

tan 1 tan tan

a b a b

a b

  

 sin sin cos cos sina b a b a b   .

 sin sin cos cos sina b a b a b  

  tan tan

tan 1 tan tan

a b a b

a b

  

2 2 2 2cos2 cos sin 2cos 1 1 2sina a a a a      sin 2 2sin cosa a a

 2 1

cos 1 cos2 2

a a  ;  2 1

sin 1 cos2 2

a a  2

2tan tan 2

1 tan

a a

a  

si tan 2

t

 : 2

2 tan

1

t

t  

 ;

2

2

1 cos

1

t

t

  

; 2

2 sin

1

t

t  

Formules de transformation

    1

cos cos cos cos 2

a b a b a b     

    1

sin cos sin sin 2

a b a b a b     

    1

sin sin cos cos 2

a b a b a b     

2 2

2 2 2 2

cos sin cos( )

cos ;sin

a x b x a b x

a b

a b a b

 

   

   

cos cos 2cos cos 2 2

p q p q p q

    sin sin 2sin cos

2 2

p q p q p q

   

T

A P

Q

O

+

cos cos 2sin sin 2 2

p q p q p q

     sin sin 2sin cos

2 2

p q p q p q

   

Valeurs remarquables

0

6

4

3

2

Sinus

0

1

2

2

2

3

2

1

0

Cosinus

1

3

2

2

2

1

2

0

–1

Tangente

0

3

3

1 3

0

Formule de Moivre : *n  ,   ni ine e  ou  cos sin cos sin

n i n i n     

Racines nièmes de l’unité : 2ki n

ku e

 où 0,1,2,..., 1k n  ; 1ku

Les solutions de nz a , où ia e , sont 0k kz z u , où 1

0

i n nz e



Algèbre : Equation du second degré

a, b, c des réels, 0a  , et 2 4b ac   . L’équation P= 2 0az bz c   admet :

si 0  , deux solutions réelles :

P du signe de a à l’extérieur des racines, – a à l’intérieur. 1

2

b z

a

    ; 2

2

b z

a

   

si 0  ,une solution réelle double :

P du signe de a 1 2

2

b z z

a

  

si 0  , 2 solutions complexes conjuguées :

P dans du signe de a 1

2

b i z

a

    ; 2

2

b i z

a

   

  2 1 2az bz c a z z z z     S = 1 2 b

z z a

   ; P = 1 2 c

z z a

Analyse : Généralités sur les fonctions f(–x)=f(x): f est paire, symétrie par rapport à Ox

f(–x)=f(–x): f est impaire, symétrie par rapport à O

changement de repère au point (a,b) : X x a

Y y b

 

 

  

nombre dérivé en x0 : 0 0 0

0 00

( ) ( ) ( ) ( ) lim lim x

f x f x f x h f x

x x h

   

. Ttangente en x0 : 0 0 0'( )( ) ( )y f x x x f x  

si f’’(x0) 0, la courbe est au dessus de sa tangente en x0 ; si f’’(x0) 0, la courbe est en dessous de sa tangente.

-  + 

 - 

cos- cos

tan

- sin

sin

- tan

inégalité des accroissements finis : sur [a, b], si '( )m f x M  alors ( ) ( )

, [ , ], f y f x

x y a b m M y x

    

f et g ont des courbes asymptotes ssi lim( ( ) ( )) 0f x g x

  ; leur position dépend du signe de f(x) – g(x)

Analyse : Suites arithmétiques, suites géométriques (formules valables sur et sur )

Suites arithmétiques : 1° termeu0 ; 1n nu u a   ; 0nu u na  ou 1 ( 1)nu u n a   ; diverge.

(nbre de termes)(1 terme+ dernier terme)

2 nS

 

 1 1 2 ...

n n n

n

     ; 2 2 2

( 1)(2 1) 1 2 ...

6

n n n n

    

Suites géométriques : 1° termeu0 ; 1n nu bu  ; 0 n

nu u b ou 1

1

n

nu u b  ; converge vers 0 si 1b

Si 1b  , 1

2 11 ... 1

n n

n

b S b b b

b

      

 tend vers

1 si 1

1 b

b

 ; si 1b  , 1nS n 

Analyse : Propriétés des fonctions usuelles ; fonctions logarithmiques et exponentielle

1

d ln

x t x

t   ( x > 0 )

   e e e e cos sini x x i x x x i x          lnx x aa e ( a > 0 )

Si  ,x   et  0,y  , exp exy x  équivaut à lnx y

ln ln lnab a b 

ln ln ln a

a b b  

ln log

ln 10

x x  ; ln lnxa x a e e ea b a b  ;

e e

e

a a b

b

  ;  e e ba ab

0e 1 ; ln1 0 ; ln e 1 lne xx  ( x > 0 ) ; 0 1x

Fonctions puissances

Si * , 0, 0n x y   ny x équivaut a nx yx x x     ;

x x

x

  

  ;  x x  

Analyse : Limites usuelles de fonctions et de suites

Comportement à l’infini

lim ln x

x 

  ; lim ex x

  ; lim e 0x x

Si 0  , lim x

x 

  ; si 0  , lim 0 x

x 

 ;

Comportement à l’origine

0 lim ln x

x

  ; 0

lim ln 0 x

nx x  

 ;  

0

ln 1 lim 1 h

h

h

 

0  : 0

lim 0 x

x 

 ; 0  : 0

lim x

x 

 

0

e 1 lim 1

h

h h

  ;

0

sin lim 1 h

h

h  ;

     

  0

1 1 0

lim 0 h

h h h h

h

   

 

         

Croissances comparées à l’  0  : e

lim x

x x   ; lim e 0x

x x 

  ;

ln lim 0 x

x

x 

0  : lim n

n 

 

0  : lim 0 n

n 

1a  : lim n n

a 

 

0 1a  : lim 0n n

a 

0  et 1a  :

lim n

n

a

n  

Analyse : Dérivées et primitives

 f x  'f x ( )f x dx  f x  'f x ( )f x dx

k 0 kx u+v u’+v’ u v 

*, nx n1nnx  11

1

nx n

ku ku’ k u

1

x

2

1

x  ln x u.v u’.v+u.v’

x 1

2 x

3

2 2

3 x

u

v

2

' 'u v uv

v

, x  R 1x  *,nu n 1' nnu u

11

1 ' n n

n u u u

 

erx

ir   erxr

1 rx

i e

  u v '.( ' )v u v

ue euu ' u uu e e

*

ln

,

( )u

u

e

 

 1.u u 

ln u 'u

u

ln( )

( )ln

x a

x a x x

 

 

 cos uu’ sin u 'cos sinu u u

tan u 2'(1 tan )u u tan ln cosu u sin uu’ cos u 'sin cosu u u 

Analyse :Calcul intégral

Formules fondamentales : Si F est une primitive de f, alors       b

a

f t dt F b F a 

Si     x

a g x f t dt  , alors    g x f x  et      

x

a

f x f a f t dt  

Formules de Chasles       c b c

a a b f t dt f t dt f t dt       

a b

b a f t dt f t dt  

Linéarité          b b b

a a a f t g t dt f t dt g t dt       

Positivité Si a b et 0f  , alors   0 b

a f t dt 

Intégration d’une inégalité

Si a b et f g , alors     b b

a a f t dt g t dt 

Si a b et Mm f  , alors       b

a m b a f t dt M b a   

Valeur moyenne de f sur [ a, b ] :   1 b

a f t dt

b a 

Intégration par parties   b bb

aa a uv dt uv u vdt   

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