Sciences statistiques - Travaux pratiques 9, Exercices de Mathématiques et dstatistiques
Emmanuel_89
Emmanuel_8930 May 2014

Sciences statistiques - Travaux pratiques 9, Exercices de Mathématiques et dstatistiques

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Sciences statistiques - Travaux pratiques 9 Les thèmes principaux abordés sont les suivants: l'application g, l’intervalle.
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Terminale S

Terminale S mai 2000

Concours Geipi 2000

Correction dans Sujets corrigés de Maths, Ecoles d’ingénieurs, Ellipses, 2002.

1. Exercice 1 (15 points)

Partie A

On considère l'application g de [0 ; + [ dans R définie par 2

2

2

2 ( ) ln( 1)

1

x g x x

x   

 où ln désigne la

fonction logarithme népérien.

1. a. Déterminer la limite de g(x) quand x tend vers +.

b. Calculer la dérivée de g et donner le tableau de variation de g.

2. a. Montrer que, sur l'intervalle [1 ; + [, l'équation g(x) = 0 admet une solution unique  .

b. Donner une valeur approchée de  à 10 −1 près et justifier la réponse.

3. Préciser le signe de g sur R +.

Partie B

Soit f la fonction définie sur [0 ; + [ par 2ln( 1)

( ) si 0, (0) 0 x

f x x f x

    et soit (C) la courbe

représentative de f dans un repère orthonormal  ; ,O i j .

1. a. Calculer 0

( ) (0) lim x

f x f

x

 . Déterminer une équation de la tangente T0 à (C) au point d'abscisse 0.

b. Montrer que 0

lim ( ) 0 x

f x

 et que lim ( ) 0 x

f x 

 .

2. a. Calculer f '(x) et donner une relation liant f ’(x) et g(x) pour x > 0 .

b. Soit  le réel défini à la question A. 2.a. Établir que 2

2 ( )

1 f

 

 

 .

c. Donner le tableau de variation de f et tracer la courbe (C).

Partie C

On considère la fonction F définie sur [ 1 ; + [ par 1

( ) ( ) x

F x f t dt  .

1. Montrer que, pour tout x de l’intervalle [ 1 ; + [, 2 2ln( ) ln( 1)x x  . En déduire le réel A tel que, pour

x > 1, 2ln ln( 1)

. x x

A x x

  .

2. Calculer, pour 1x  , l'intégrale 1

ln ( )

x t I x dt

t   . On explicitera le calcul et on trouvera I(x) de la forme

I(x) = B(lnx)k .

3. a. A l'aide des questions C.1. et C.2., déterminer une fonction  telle que, pour tout 1x  , ( ) ( )x F x  .

b. En déduire la limite de F(x) quand x tend vers + . Justifier la réponse.

4. Déterminer la dérivée F '(x) de F(x) et donner le tableau de variation de la fonction F.

2. Exercice 2 (10 points)

On considère le tétraèdre ABCD ci-contre ; on note I le milieu de [AB] et J le milieu de [CD].

1. a. Soit G1, le barycentre du système de points pondérés {(A,1) ; (B, 1) ; (C, –1) ; (D, 1)}.

Exprimer 1IG en fonction de CD .

b. Soit G2 le barycentre du système de points pondérés

{(A, 1) ; (B, 1) ; (D, 2)}.

Exprimer 2IG en fonction de ID . En déduire la

position de G2 par rapport aux point I et D.

c. Exprimer 1JG en fonction de CI . En déduire 2 1G G

en fonction de 2G J . Préciser la position de G2 par

rapport aux points G1 et J.

d. Compléter la figure ci-contre en y plaçant les points I, J, G1 , G2.

2. Soit m un réel. On note Gm le barycentre du système de points pondérés {(A, 1) ; (B, 1) ; (C, m – 2) ; (D, m)} quand il existe.

a. Préciser l'ensemble (E) des valeurs de m pour lesquelles le barycentre Gm existe. Dans les questions qui suivent, on suppose que m appartient à (E).

b. Déterminer, en fonction de m, les réels a et b tels que mmIG aIC bID  .

On donnera le détail du calcul. En déduire que Gm appartient à un plan fixe (P). On donnera trois points définissant ce plan.

c. Vérifier que mm JG est égal à un vecteur constant, que l'on précisera.

d. En déduire l'ensemble (F) des points Gm du plan (P) lorsque m décrit (E).

3. Exercice 3 (10 points)

Une urne U contient quatre boules noires et deux boules blanches.

On tire simultanément deux boules dans l'urne.

1. a. Quelle est la probabilité pnn d'obtenir deux boules noires ?

b. Quelle est la probabilité pbb d'obtenir deux boules blanches ?

c. Quelle est la probabilité pbn d'obtenir deux boules de couleurs différentes ?

2. Un jeu se déroule selon la règle suivante : le joueur tire simultanément deux boules dans l'urne U qui contient quatre boules noires et deux boules blanches.

Si les deux boules sont noires, le joueur gagne a francs (a > 0) et le jeu s'arrête.

Si les deux boules sont blanches, le joueur perd 6a francs et le jeu s'arrête.

Si les deux boules sont de couleurs différentes alors il ne remet pas les boules dans l'urne et tire une seconde fois simultanément deux boules de l'urne

- si les deux boules tirées sont noires, il gagne b francs (on suppose b>0, b a ) et le jeu s'arrête,

- sinon, il perd 3 francs et le jeu s'arrête.

On désigne par G la variable aléatoire dont les valeurs sont égales aux gains (positifs ou négatifs) du joueur.

a. Faire un arbre correspondant à tous les gains possibles.

b. Quelle est la probabilité Q de tirer deux boules noires au second tirage, sachant que l'on a tiré deux boules de couleurs différentes au premier tirage ?

c. Quelle est la probabilité p(G = b) de gagner b francs ?

d. Faire un tableau définissant la loi de probabilité de la variable aléatoire G.

D

C

B

A

e. Exprimer en fonction de b l'espérance mathématique E(G) de la variable aléatoire G. Pour quelle valeur de b le jeu est-il équitable, c'est-à-dire E(G) = 0 ?

f. Pour la valeur de b ainsi trouvée calculer, en fonction de a, l'écart-type ( )G a de la variable G.

4. Exercice 4 (10 points)

Le but de l'exercice est le calcul de l'intégrale 4

0

(cos ).ln(cos )K d

    où ln désigne la fonction logarithme népérien.

1. On considère l'application f de ]–1 ; +1[ dans définie par 2

2 ( )

1

u f u

u  

.

Déterminer les réels a, b et c tels que, pour tout u appartenant à ] –1 ; + 1 [, ( ) 1 1

b c f u a

u u   

  .

2. On pose, pour x dans ]–1 ;+1[, 0

( ) ( ) x

F x f u du  .

a. Calculer F(x).

b. Exprimer F '(x) à l'aide de f(x).

3. On pose, pour ; , ( ) (sin ) 2 2

g F  

         

.

Calculer g'(). On donnera le détail du calcul de g'() et on constatera que 2sin

'( ) cos

g A

 

 où A est un

entier positif.

4. En déduire la valeur de l'intégrale 2

4

0

sin

cos I d

  

   .

5. A l'aide d'une intégration par parties et de la valeur de I, calculer l'intégrale K. On posera

( ) ln(cos )u  , '( ) cosv   et on donnera le détail du calcul.

5. Exercice 5 (16 points)

Le plan complexe P étant rapporté à un repère orthonormé direct ( ; , )O u v , on appelle :

A le point d'affixe 1,

1 l'ensemble {1} ,

P1 le plan P privé du point A,

P+ le demi-plan formé par les points de P ayant une ordonnée positive ou nulle,

P l'ensemble des points de P dont l'ordonnée est négative ou nulle.

Soit f l'application de , dans définie par 1

( ) 1

f z z  

et soit T l'application de P1 dans P qui, au point

m d'affixe z, associe le point M d'affixe Z = f(z).

1. a. On pose 0 (4 3)Z f i  . Donner l'expression algébrique et la forme exponentielle de Z0.

b. Déterminer les complexes z1 et z2 vérifiant l'équation f(z) = – z. Donner les formes algébriques et exponentielles de z1 et z2.

2. On considère les points m(z) et M (Z) où Z = f(z).

a. Exprimer Z et argZ en fonction de 1z  et arg(z – 1).

b. On suppose que le point m appartient au cercle (C) de centre A et de rayon R. Déterminer Z . En

déduire que M appartient à un cercle (C') dont on précisera le centre et le rayon.

c. Soit (C1) le demi-cercle intersection de (C) et du demi-plan P et m(z) un point de (C1). Que peut-on

dire de arg(z – 1) ? En déduire une courbe (C'1) à laquelle appartient le point M, où M = T(m).

3. On pose z = x + iy et Z = X + iY , où x, y, X, Y sont des réels et Z = f(z).

a. Exprimer X et Y en fonction de x et y.

b. Quel est l'ensemble E des valeurs de z pour lesquelles f(z) est réel ?

c. Quel est l'ensemble F des points m tels que T(m) appartienne à la droite ( , )O v ?

4. On considère la droite (D) d'équation x = 1

2 . Soit m le point de la droite (D) ayant pour ordonnée y.

a. Quelle est l'affixe z de m ?

b. Soit Z = f(z). Exprimer Z en fonction de y.

c. Soit M le point d'affixe Z et B le point d'affixe – 1. Calculer BM. En déduire que le point M appartient à un cercle (G) dont on donnera une équation cartésienne.

5. On considère, pour x dans l’intervalle [ –1 ; +1 [ , la courbe () d'équation : 21y x  .

a. Quelle est la nature géométrique de () ?

b. Soit  l'application de [ –1 ; +1 [ dans R définie par 1

( ) 1

x x

x

 

 . Calculer  '(x). Donner le tableau

de variations de la fonction . Quelle est l'image par  de l'intervalle [–1 ; +1[ ?

c. On considère le point m de () d'affixe 21z x i x   , x  [ –1 ; +1 [.

Soit M = T(m), M d'affixe Z = X + iY .

. Calculer X. En déduire que le point M appartient à une courbe () que l'on précisera.

. Exprimer Y en fonction de (x). En déduire T() , image par T de la courbe ().

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