Série de mathématique – correction –  1, Exercices de Mathématiques. Université Bordeaux I
Eusebe_S
Eusebe_S14 April 2014

Série de mathématique – correction – 1, Exercices de Mathématiques. Université Bordeaux I

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Série de mathématique – correction – 1. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct. Calculer le nombre complexe. Montrer que les droites (DM) et (AN) so...
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AmeriqueNordSmai2008.dvi

[ Baccalauréat S Amérique du Nord 29 mai 2008 \

EXERCICE 1 5 points

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v )

unité

graphique : 4 cm. On considère le point A d’affixe zA = 2+ i et le cercle (Γ) de centre A et de rayonp 2.

1. Faire une figure qui sera complétée tout au long de l’exercice.

2. a. Déterminer les affixes despoints d’intersectionde (Γ) et de l’axe (

O ; −→ u )

.

b. On désigne par B et C les points d’affixes respectives zB = 1 et zC = 3.

Déterminer l’affixe zD du point D diamétralement opposé au point B sur le cercle (Γ).

3. Soit M le point d’affixe 3

5 + 6

5 i.

a. Calculer le nombre complexe zD− zM zB− zM

.

b. Interpréter géométriquement un argument du nombre zD− zM zB− zM

; en

déduire que le point M appartient au cercle (Γ).

4. On note (Γ′) le cercle de diamètre [AB].

La droite (BM) recoupe le cercle (Γ′) en un point N.

a. Montrer que les droites (DM) et (AN) sont parallèles.

b. Déterminer l’affixe du point N.

5. Ondésigne parM′ l’image du pointMpar la rotation de centre B et d’angle

π

2 .

a. Déterminer l’affixe du point M′.

b. Montrer que le point M′ appartient au cercle (Γ′).

EXERCICE 2 5 points

Enseignement obligatoire

Partie A

On considère deux points A et D de l’espace et on désigne par I le milieu du segment [AD].

1. Démontrer que, pour tout point M de l’espace, −−→ MD ·

−−→ MA =MI2− IA2.

2. En déduire l’ensemble (E) des points M de l’espace, tels que −−→ MD ·

−−→ MA = 0.

Partie B :

Dans l’espace rapporté au repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→ ,

−→ k )

, les points A, B, C

et D ont pour coordonnées respectives :

A(3 ; 0 ; 0), B(0 ; 6 ; 0),C(0 ; 0 ; 4) et D(−5 ; 0 ; 1).

A. P. M. E. P. Baccalauréat S

1. a. Vérifier que le vecteur −→ n

4 2 3

 est normal au plan (ABC).

b. Déterminer une équation du plan (ABC).

2. a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite ∆, ortho- gonale au plan (ABC) passant par D.

b. En déduire les coordonnées du point H, projeté orthogonal de D sur le plan (ABC).

c. Calculer la distance du point D au plan (ABC).

d. Démontrer que le point H appartient l’ensemble (E) défini dans la partie A.

EXERCICE 2 5 points

Enseignement de spécialité

L’espace est rapporté au repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→ ,

−→ k )

.

On nomme (S) la surface d’équation x2+ y2− z2 = 1.

1. Montrer que la surface (S) est symétrique par rapport au plan (xOy).

2. On nomme A et B les points de coordonnées respectives (3 ; 1 ; −3) et (−1 ; 1 ; 1).

a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (D) pas- sant par les points A et B.

b. Démontrer que la droite (D) est incluse dans la surface (S).

3. Déterminer la nature de la section de la surface (S) par un plan parallèle au plan (xOy).

4. a. On considère la courbe (C), intersection de la surface (S) et du plan d’équation z = 68. Préciser les éléments caractéristiques de cette courbe.

b. M étant un point de (C), on désigne par a son abscisse et par b son ordonnée.

On se propose de montrer qu’il existe un seul point M de (C) tel que a et b soient de entiers naturels vérifiant a < b et ppcm(a ; b)= 440, c’est-à-dire tel que (a ; b) soit solution du système

(1) :

a < b a2+b2 = 4625 ppcm(a ; b)= 440

Montrer que si (a ; b) est solution de (1) alors pgcd(a ; b) est égal à 1 ou 5.

Conclure

Dans cette question toute trace de recherche même incomplète ou d’initia-

tive, même non fructueuse sera prise en compte dans l’évaluation.

Amérique du Nord 2 29 mai 2008

A. P. M. E. P. Baccalauréat S

EXERCICE 3 6 points

Commun à tous les candidats

Soit f la fonction définie sur l’intervalle ]1 ; +∞[ par

f (x)= lnx− 1

lnx .

On nomme (C ) la courbe représentative de f et Γ la courbe d’équation y = lnx

dans un repère orthogonal (

O, −→ ı ,

−→

)

.

1. Étudier les variations de la fonction f et préciser les limites en 1 et en+∞.

2. a. Déterminer lim x→+∞

[ f (x)− lnx].

Interpréter graphiquement cette limite.

b. Préciser les positions relatives de (C ) et de Γ.

3. On se propose de chercher les tangentes à la courbe (C ) passant par le point O.

a. Soit a un réel appartenant à l’intervalle ]1 ; +∞[.

Démontrer que la tangente Ta à (C ) au point d’abscisse a passe par l’origine du repère si et seulement si f (a)−a f ′(a)= 0.

Soit g la fonction définie sur l’intervalle ]1 ; +∞[ par

g (x)= f (x)−x f ′(x).

b. Montrer que sur ]1 ; +∞[, les équations g (x)= 0 et

(lnx)3− (lnx)2− lnx−1= 0 ont les mêmes solutions.

c. Après avoir étudié les variations de la fonction u définie sur R par u(t ) = t3− t2− t − 1 montrer que la fonction u s’annule une fois et une seule sur R.

d. Endéduire l’existence d’une tangente unique à la courbe (C ) passant par le point O.

La courbe (C ) et la courbe Γ sont données en annexe.

Tracer cette tangente le plus précisément possible sur cette figure.

4. On considère un réelm et l’équation f (x)=mx d’inconnue x.

Par lecture graphique et sans justification, donner, suivant les valeurs du réelm, le nombre de solutions de cette équation appartenantà l’intervalle ]1 ; 10].

EXERCICE 4 4 points

Commun à tous les candidats

On considère les suites (xn) et (

yn )

définies pour tout entier naturel n non nul par :

xn = ∫1

0 tn cos t dt et yn =

∫1

0 tn sin t dt .

1. a. Montrer que la suite (xn) est à termes positifs.

b. Étudier les variations de la suite (xn).

Amérique du Nord 3 29 mai 2008

A. P. M. E. P. Baccalauréat S

c. Que peut-on en déduire quant à la convergence de la suite (xn) ?

2. a. Démontrer que, pour tout entier naturel n non nul, xn 6 1

n+1 .

b. En déduire la limite de la suite (xn).

3. a. À l’aide d’une intégration par parties, démontrer que, pour tout en- tier naturel n non nul, xn+1 =−(n+1)yn +sin(1).

b. En déduire que lim n→+∞

yn = 0.

4. On admet que, pour tout entier natureln nonnul, yn+1 = (n+1)xn−cos(1).

Déterminer lim n→+∞

nxn et lim n→+∞

nyn.

Amérique du Nord 4 29 mai 2008

A. P. M. E. P. Baccalauréat S

Annexe

Cette page est à compléter et à remettre avec la copie à la fin de l’épreuve

Exercice 3

Représentations graphiques obtenues à l’aide d’un tableur

0

1

2

−1

−2

−3

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

-3

-2

-1

0

1

2

3

Courbe Γ représentative de la fonction ln

Courbe C représentative de la fonction f

Amérique du Nord 5 29 mai 2008

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