Série de mathématique – correction –  2, Exercices de Mathématiques
Eusebe_S
Eusebe_S14 April 2014

Série de mathématique – correction – 2, Exercices de Mathématiques

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Série de mathématique – correction – 2. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le milieu de [BC], l'unité de longueur, le volume V du tétraèdre.
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[ Baccalauréat S Amérique du Sud novembre 2008 \

EXERCICE 1 5 points Commun à tous les candidats

Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé (

O, −→ u ,

−→ v )

, on considère

les points A, B, C d’affixes respectives a =−1+2i, b = 1+3i, c = 4i.

1. Montrer que le triangle ABC est isocèle en A.

2. Soit I le milieu de [BC] et zI son affixe.

a. Quel est l’ensemble des points M du plan distincts de A dont l’affixe z est

telle que zzI za

soit un réel ?

b. Déterminer l’unique réel x tel que xzI xa

soit un réel.

c. Soit z−→ AI

l’affixe du vecteur −→ AI , donner une forme trigonométrique de z−→

AI .

3. a. Soit G le point d’affixe −3. Montrer qu’il existe deux rotations de centre G, dont on déterminera les angles, telles que les images de A et I par ces rotations soient toutes deux sur l’axe des réels.

b. Soit r1 la rotation de centre G et d’angle de mesure − π

4 .

Déterminer l’écriture complexe de r1.

4. Soit A′, B′ et C′ les images respectives de A, B, et C par la rotation r1 ; soient a′, b′ et c ′ leurs affixes.

Quelle est l’image par r1 de l’axe de symétrie du triangle ABC?

En déduire que b′ = c ′.

EXERCICE 2 5 points Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Une unité de longueur étant choisie dans l’espace, on considère un pavé droit ABCDEFGH tel que : AB = 1, AD = 2 et AE = 1. On appelle I le milieu de [AD].

A

B C

D

E

F G

H

I

L’espace est muni du repère orthonormé (

A ; −−→ AB ;

−→ AI ;

−→ AE

)

.

1. Déterminer, dans le repère choisi, les coordonnées des points F, G, H.

2. a. Montrer que le volume V du tétraèdre GFIH est égal à 1

3 .

b. Montrer que le triangle FIH est rectangle en I.

En exprimant V d’une autre façon, calculer la distance d du point G au plan (FIH).

A. P. M. E. P. Baccalauréat S

3. Soit le vecteur −→ n de coordonnées (2 ; 1 ; −1).

a. Montrer que le vecteur −→ n est normal au plan (FIH).

b. En déduire une équation cartésienne du plan (FIH).

c. Retrouver par une autre méthode la distance d du point G au plan (FIH).

4. a. La droite (AG) est-elle perpendiculaire au plan (FIH) ?

b. Donner un système d’équations paramétriques de cette droite.

c. Déterminer les cordonnées du point d’intersection K de (AG) et de (FIH).

5. Dans cette question, toute trace de recherche,même incomplète, ou d’initiative même infructueuse sera prise en considération dans l’évaluation.

Soit Γ la sphère de centre G passant par K.

Quelle est la nature de l’intersection de Γ et du plan (FIH) ?

(On ne demande pas de préciser les éléments caractérisant cette intersec- tion)

EXERCICE 2 5 points Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

L’espace est muni d’un repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→ ,

−→ k )

.

SoitD la droite passant par le point A de coordonnées (0 ; 0 ; 2) et de vecteur directeur −→ u de coordonnées (1 ; 1 ; 0) et soitD ′ la droite dont une représentation paramétrique est :

x = t

y = −t

z = −2 (t ′ ∈R)

Le but de l’exercice est d’étudier l’ensemble S des points de l’espace équidistants de D et deD ′.

1. Une équation de S

a. Montrer que D et D ′ sont orthogonales et non coplanaires.

b. Donner une représentation paramétrique de la droiteD.

Soit M un point de l’espace de coordonnées (x ; y ; z) et H le projeté

orthogonal deM surD. Montrer que −−−→ MH a pour coordonnées

(−x+ y

2 ; xy

2 ; 2− z

)

.

En déduireMH2 en fonction de x, y et z.

Soit K le projeté orthogonal de M sur D ′. Un calcul analogue au précé-

dent permet d’établir que :MK 2 = (x+ y)2

2 + (2+ z)2, relation que l’on ne

demande pas de vérifier.

c. Montrer qu’un point M de coordonnées (x ; y ; z) appartient à S si et

seulement si z =− 1

4 xy .

2. Étude de la surface S d’équation z =− 1

4 x y

a. On coupe S par le plan (xOy). Déterminer la section obtenue.

b. On coupe S par un plan P parallèle au plan (xOy).

Quelle est la nature de la section obtenue ?

c. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’ini- tiative même infructueuse sera prise en considération dans l’évaluation.

On coupe S par le plan d’équation x + y = 0. Quelle est la nature de la section obtenue ?

Amérique du Sud 2 novembre 2008

A. P. M. E. P. Baccalauréat S

EXERCICE 3 3 points Commun à tous les candidats

Dans cet exercice, on demande aux candidats d’établir, en suivant la démarche pro-

posée, deux résultats de cours.

On rappelle que la fonction ln est définie et dérivable sur ]0 ; +∞[, positive sur [1 ; +∞[, et vérifie :

ln1= 0 Pour tous réels strictement positifs x et y, ln(xy)= lnx+ ln y

Pour tout réel strictement positifx, [ln(x)]′ = 1

x ln(2)≈ 0,69 à 10−2 près

1. On considère la fonction f définie sur ]0 ; +∞[ par

f (x)= p x− lnx.

a. Étudier les variations de f et en déduire que f admet un minimum sur ]0 ; +∞[.

b. En déduire le signe de f puis que, pour tout x > 1, 0< lnx

x <

p x

x .

c. En déduire que lim x→+∞

lnx

x = 0.

2. Soit n un entier naturel non nul. On considère la fonction fn définie sur ]0 ; +∞[ par :

fn (x)= lnx

x 1 n

.

En utilisant la question 1., déterminer, si elle existe, la limite en +∞ de la fonction fn .

EXERCICE 4 7 points Commun à tous les candidats

1. Résoudre l’équation différentielle :

2y ′+ y = 0 (E),

dont l’inconnue est une fonction définie et dérivable sur R.

2. On considère l’équation différentielle :

2y ′+ y = e− x 2 (x+1) (E′)

a. Déterminer deux réelsm et p tels que la fonction f définie sur R par :

f (x)= e− x 2 (

mx2+px )

soit solution de (E′).

b. Soit g une fonction définie et dérivable sur R. Montrer que g est solution de l’équation (E′) si et seulement si g f est solution de l’équation (E). Résoudre l’équation (E′).

3. Étudier les variations de la fonctionh définie surRpar :h(x)= 1

4 e−

x 2 (

x2+2x )

.

4. Déterminer les limites en −∞ et en +∞ de la fonction h.

5. Dans le plan rapporté à un repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

, onnoteC la courbe

représentative de h et Γ celle de la fonction : x 7−→ e− x 2 .

a. Étudier les positions relatives de C et Γ.

b. Tracer ces deux courbes sur un même graphique.

Amérique du Sud 3 novembre 2008

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