Série de mathématique – correction –  3, Exercices de Mathématiques
Eusebe_S
Eusebe_S14 April 2014

Série de mathématique – correction – 3, Exercices de Mathématiques

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Série de mathématique – correction – 3. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l’équation différentielle, la courbe représentative de f, les coordonnées des points d’intersection.
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Antilles_Guyane_S_2008.dvi

[ Baccalauréat S Antilles-Guyane 18 juin 2008\

EXERCICE 1 6 points

Commun à tous les candidats

Soit f la fonction définie sur R par :

f (x)= 9

2 e−2x −3e−3x .

Partie A :

Soit l’équation différentielle (E) : y ′+2y = 3e−3x .

1. Résoudre l’équation différentielle (E′) : y ′+2y = 0.

2. En déduire que la fonction h définie sur R par h(x)= 9

2 e−2x est solution de (E′).

3. Vérifier que la fonction g définie sur R par g (x)=−3e−3x est solution de l’équation (E).

4. En remarquant que f = g +h, montrer que f est une solution de (E).

Partie B :

OnnommeC f la courbe représentative de f dansun repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→

)

d’unité 1 cm.

1. Montrer que pour tout x de R on a : f (x)= 3e−2x (

3

2 −e−x

)

.

2. Déterminer la limite de f en +∞ puis la limite de f en −∞. 3. Étudier les variations de la fonction f et dresser le tableau de variations de f .

4. Calculer les coordonnées des points d’intersection de la courbeC f avec les axes du repère.

5. Calculer f (1) et tracer l’allure de la courbe C f .

6. Déterminer l’aireA de la partie du plan délimitée par l’axe des abscisses, la courbe C f , l’axe des ordonnées et la droite d’équation x = 1. On exprimera cette aire en cm2.

EXERCICE 2 5 points

Réservé aux candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

On dispose de deux urnesU1 etU2 contenant des boules indiscernables au toucher.

U1 contient k boules blanches (k entier naturel supérieur ou égal à 1) et 3 boules noires. U2 contient 2 boules blanches et une boule noire.

On tire une boule au hasard dansU1 et on la place dansU2. On tire ensuite, au hasard, une boule dansU2. L’ensemble de ces opérations constitue une épreuve.

On note B1 (respectivement N1) l’évènement « on a tiré une boule blanche (resp. noire) dans l’urneU1 ». On note B2 (respectivement N2) l’évènement « on a tiré une boule blanche (resp. noire) dans l’urneU2 ».

1. a. Recopier et compléter par les probabilités manquantes l’arbre ci-dessous :

B1. . .

B2. . .

N2. . .

N1 . . .

B2. . .

N2. . .

A. P. M. E. P. Baccalauréat S

Montrer que la probabilité de l’évènement B2 est égale à 3k+6 4k+12

.

Dans la suite on considère que k = 12. Les questions 2 et 3 sont indépendantes l’une de l’autre et peuvent être traitées

dans n’importe quel ordre.

2. Un joueur mise 8 euros et effectue une épreuve.

Si, à la fin de l’épreuve, le joueur tire une boule blanche de la deuxième urne, le joueur reçoit 12 euros.

Sinon, il ne reçoit rien et perd sa mise. Soit X la variable aléatoire égale au gain du joueur, c’est-à-dire la différence entre la somme reçue et la mise.

a. Montrer que les valeurs possibles de X sont 4 et −8. b. Déterminer la loi de probabilité de la variable X .

c. Calculer l’espérance mathématique de X .

d. Le jeu est-il favorable au joueur ?

3. Un joueur participe n fois de suite à ce jeu.

Au début de chaque épreuve, l’urneU1 contient 12 boules blanches et 3 noires, et l’urneU2 contient 2 boules blanches et 1 noire.

Ainsi, les épreuves successives sont indépendantes.

Déterminer le plus petit entier n pour que la probabilité de réaliser au moins une fois l’évènement B2 soit supérieure ou égale à 0,99.

EXERCICE 2 5 points

Réservé aux candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Partie A

On considère l’équation (E) : 11x − 26y = 1, où x et y désignent deux nombres entiers relatifs.

1. Vérifier que le couple (−7 ; −3) est solution de (E). 2. Résoudre alors l’équation (E).

3. En déduire le couple d’entiers relatifs (u ; v) solution de (E) tel que 06 u6 25.

Partie B

On assimile chaque lettre de l’alphabet à un nombre entier comme l’indique le tableau ci-dessous :

A B C D E F G H I J K L M 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

N O P Q R S T U V W X Y Z 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

On « code » tout nombre entier x compris entre 0 et 25 de la façon suivante : — on calcule 11x+8 — on calcule le reste de la division euclidienne de 11x+8 par 26, que l’on appelle y .

x est alors « codé » par y . Ainsi, par exemple, la lettre L est assimilée au nombre 11 ; 11× 11+ 8 = 129 or 129 ≡ 25(0modulo26) ; 25 est le reste de la division euclidienne de 129 par 26. Au nombre 25 correspond la lettre Z. La lettre L est donc codée par la lettre Z.

1. Coder la lettre W.

2. Le but de cette question est de déterminer la fonction de décodage.

Antilles-Guyane 2 18 juin 2008

A. P. M. E. P. Baccalauréat S

a. Montrer que pour tous nombres entiers relatifs x et j , on a :

11x j (modulo 26) équivaut à x ≡ 19 j (modulo 26).

b. En déduire un procédé de décodage.

c. Décoder la lettre W.

EXERCICE 3 4 points

Commun à tous les candidats

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chaque question, une seule des propositions est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.

Une réponse exacte rapporte 1 point ; une réponse inexacte enlève 0,25 point ; l’absence de réponse est comptée 0 point. Si le total est négatif, la note de l’exercice est ramenée à 0.

L’espace est rapporté à un repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→ ,

−→ k )

.

1. L’ensemble des points M(x ; y ; z) tels que :

{

2x−6y +2z−7 = 0 −x+3y z+5 = 0 est :

Réponse A : l’ensemble vide Réponse B : une droite Réponse C : un plan Réponse C : réduit à un point

2. Les droites de représentations paramétriques respectives :

x = 1− t y = −1+ t z = 2−3t

(t ∈R) et

x = 2+ t y = −2− t z = 4+2t

(t ∈R) sont :

Réponse A : parallèles et distinctes Réponse B : confondues Réponse C : sécantes Réponse D : non coplanaires

3. La distance du point A(1 ; −2 ; 1) au plan d’équation −x+3yz+5= 0 est égale à :

Réponse A : 3

11 Réponse B :

3 p 11

Réponse C : 1

2 Réponse D :

8 p 11

4. Le projeté orthogonal du point B(1 ; 6 ; 0) sur le plan d’équation −x+3y z+5= 0 a pour coordonnées :

Réponse A : (3 ; 1 ; 5) Réponse B : (2 ; 3 ; 1) Réponse C : (3 ; 0 ; 2) Réponse D : (−2;3;−6)

EXERCICE 4 5 points

Commun à tous les candidats

La feuille annexe donnée portera les constructions demandées au cours de l’exercice. Cette feuille est à rendre avec la copie.

Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v )

, le point A a pour

affixe i.

Antilles-Guyane 3 18 juin 2008

A. P. M. E. P. Baccalauréat S

On nomme f l’application qui, à tout point M d’affixe z avec z 6= i associe le point M ′ d’affixe z ′ telle que :

z ′ = −z2

z− i Le but de l’exercice est de construire géométriquement le point M ′ connaissant le point M .

1. Un exemple

On considère le point K d’affixe 1+ i. a. Placer le point K.

b. Déterminer l’affixe du point K′ image de K par f .

c. Placer le point K′.

2. Des points pour lesquels le problème ne se pose pas

a. Onconsidère le point L d’affixe i

2 .Déterminer son image L′ par f . Que remarque-

t- on ?

b. Un point est dit invariant par f s’il est confondu avec son image.

Démontrer qu’il existe deux points invariants par f dont on déterminera les affixes.

3. Un procédé de construction

On nomme G l’isobarycentre des points A,M , et M ′, et g l’affixe deG.

a. Vérifier l’égalité g = 1

3(z− i) .

b. En déduire que : si M est un point du cercle de centre A de rayon r , alors G est

un point du cercle de centre O de rayon 1

3r .

c. Démontrer que arg g =− (−→ u ;

−−→ AM

)

.

d. Sur la feuille annexe, on a marqué un point D sur le cercle de centre A et de

rayon 1

2 .

OnnommeD′ l’imagedeDpar f . Déduire des questions précédentes la construc- tion du point D′ et la réaliser sur la figure annexe à rendre avec la copie.

Antilles-Guyane 4 18 juin 2008

A. P. M. E. P. Baccalauréat S

Annexe à rendre avec la copie

Sur la figure ci-dessous le segment [OI ] tel que −→ u =

−→ OI est partagé en six segments

d’égale longueur.

O

A

I

+ D

Antilles-Guyane 5 18 juin 2008

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