Série de mathématique – correction –  5, Exercices de Mathématiques
Eusebe_S
Eusebe_S14 April 2014

Série de mathématique – correction – 5, Exercices de Mathématiques

PDF (50.6 KB)
4 pages
155Numéro de visites
Description
Série de mathématique – correction – 5. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l'entier naturel, la limite de la suite.
20points
Points de téléchargement necessaire pour télécharger
ce document
Télécharger le document
Aperçu3 pages / 4
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Aperçu avant impression terminé
Chercher dans l'extrait du document
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Aperçu avant impression terminé
Chercher dans l'extrait du document
AntillesGuyaneSsept2008.dvi

[ Baccalauréat S Antilles-Guyane \ septembre 2008

EXERCICE 1 4 points

Commun à tous les candidats

Certains résultats de la PARTIE A pourront être utilisés dans la PARTIE B, mais les deux parties peuvent être traitées indépendamment l’une de l’autre.

PARTIE A :

On définit :

— la suite (un ) par : u0 = 13 et, pour tout entier naturel n, un+1 = 1

5 un +

4

5 .

— la suite (Sn) par : pour tout entier naturel n, Sn = n

k=0 uk = u0+u1+u2+·· ·+un .

1. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n,un = 1+ 12

5n .

En déduire la limite de la suite (un ).

2. a. Déterminer le sens de variation de la suite (Sn).

b. Calculer Sn en fonction de n.

c. Déterminer la limite de la suite (Sn).

PARTIE B :

Étant donné une suite (xn ), de nombres réels, définie pour tout entier naturel n, on consi-

dère la suite (Sn) définie par Sn = n

k=0 xk .

Indiquer pour chaque proposition suivante si elle est vraie ou fausse. Justifier dans chaque cas.

Proposition 1 : si la suite (xn ) est convergente, alors la suite (Sn) l’est aussi. Proposition 2 : les suites (xn ) et (Sn) ont le même sens de variation.

EXERCICE 2 5 points

Pour les candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v

)

.

1. Résoudre dans l’ensemble C des nombres complexes, l’équation d’inconnue z :

z2−2 p 3z+4= 0.

2. On considère les points A d’affixe zA = p 3− i, B d’affixe zB =

p 3+ i et C le milieu de

[OB] d’affixe zC.

a. Déterminer la forme exponentielle de zA, zB et zC.

b. Sur une figure, placer les points A, B et C, en prenant 2 cm pour unité.

c. Montrer que le triangle OAB est équilatéral.

3. Soit D l’image de C par la rotation r de centre O, d’angle − π

2 et E l’image de D par

la translation t de vecteur 2 −→ v .

a. Placer les points D et E sur une figure.

b. Montrer que l’affixe zE du point E vérifie : zE = 1

2

[

1+ i (

4− p 3 )]

.

c. Montrer que OE = BE = √

5−2 p 3.

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

4. Montrer que les points A, C et E sont alignés.

Dans cette question, toute trace de recherche,même incomplète, oud’initiative,même

non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

EXERCICE 2 5 points

Pour les candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

PARTIE A :

On considère le système de congruences :

(S)

{

n ≡ 2 (modulo 3) n ≡ 1 (modulo 5)

, oùn désigne un entier relatif.

1. Montrer que 11 est solution de (S).

2. Montrer que si n est solution de (S) alors n−11 est divisible par 3.

3. Montrer que les solutions de (S) sont tous les entiers de la forme 11+ 15k, où k désigne un entier relatif.

PARTIE B :

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v

)

.

On considère l’application f du plan qui à tout point M d’affixe z associe le point d’affixe z ′ et g celle qui à tout point M d’affixe z associe le point d’affixe z ′′ définies par :

z ′ = 1+ i

p 3

2 z et z ′′ = ei

π 5 z.

1. Préciser la nature et les éléments caractéristiques des applications f et g .

2. On considère les points A0 et B0 d’affixes respectives a0 = 2e−2i π 3 et b0 = 4e−i

π 5 .

Soient (An) et (Bn ) les suites de points définies par les relations de récurrences :

An+1 = f (An) et Bn+1 = g (Bn ) .

On note an et bn les affixes respectives de An et Bn .

a. Quelle est la nature de chacun des triangles OAnAn+1 ?

b. En déduire la nature du polygone A0A1A2A3A4A5.

3. a. Montrer que les points Bn sont situés sur un cercle dont on précisera le centre et le rayon.

b. Indiquer une mesure de l’angle (−−−→ OBn ,

−−−−−→ OBn+2

)

.

c. En déduire la nature du polygone B0B2B4B6B8.

4. a. Exprimer an et bn en fonction de n.

b. Montrer que les entiers n pour lesquels les points An et Bn sont simultanément sur l’axe des réels sont les solutions du système (S) de la PARTIE A.

EXERCICE 3 7 points

Commun à tous les candidats

Soit f la fonction définie sur R par :

f (x)= x+2− 4ex

ex +3 .

On désigne parC sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→

)

d’unité graphique 2 cm.

Antilles-Guyane 2 septembre 2008

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

1. a. Déterminer la limite de f en −∞.

b. Démontrer que la droite D1 d’équation y = x+2 est asymptote à la courbe C .

c. Étudier la position de C par rapport à D1.

2. a. On note f ′ la fonction dérivée de f . Calculer f ′(x) et montrer que, pour tout réel x, on a :

f ′(x)=

(

ex −3

ex +3

)2

b. Étudier les variations de f sur R et dresser le tableau de variations de la fonction f .

3. a. Que peut-on dire de la tangente D2 à la courbe C au point I d’abscisse ln3 ?

b. En utilisant les variations de la fonction f , étudier la position de la courbe C par rapport à D2.

4. a. Montrer que la tangenteD3 à la courbeC au point d’abscisse 0 a pour équation :

y = 1

4 x+1.

b. Étudier la position de la courbe C par rapport à la tangente D3 sur l’intervalle ]−∞ ; ln3].

On pourra utiliser la dérivée seconde de f notée f ′′ définie pour tout x de R par :

f ′′(x)= 12ex (ex −3)

(ex +3)3 .

5. On admet que le point I est centre de symétrie de la courbe C .

Tracer la courbe C , les tangentes D3, D3 et les asymptotes à la courbe C . On rap- pelle que l’unité graphique choisie est 2 cm.

6. a. Déterminer une primitive de la fonction g définie sur R par : g (x)= ex

ex +3 .

b. Soit λ un réel strictement négatif.

On note A (λ) l’aire, en unités d’aire, du domaine limité par D1, C et les droites d’équations x =λ et x = 0.

Montrer que A (λ)= 4ln4−4ln (

eλ+3 )

.

c. Calculer lim λ→−∞

A (λ).

EXERCICE 4 4 points

Commun à tous les candidats

On dispose de deux urnesU1 etU2. L’urneU1 contient 2 billes vertes et 8 billes rouges toutes indiscernables au toucher. L’urneU2 contient 3 billes vertes et 7 billes rouges toutes indiscernables au toucher.

Une partie consiste, pour un joueur, à tirer au hasard une bille de l’urneU1, noter sa cou- leur et remettre la bille dans l’urneU1 puis de tirer au hasard une bille de l’urneU2, noter sa couleur et remettre la bille dans l’urneU2. À la fin de la partie, si le joueur a tiré deux billes vertes il gagne un lecteur MP3. S’il a tiré une bille verte, il gagne un ours en peluche. Sinon il ne gagne rien. On note

V1 l’évènement : « le joueur tire une boule verte dansU1 » V2 l’évènement : « le joueur tire une boule verte dansU2 ».

Les évènements V1 et V2 sont indépendants.

1. Montrer, à l’aide d’un arbre pondéré, que la probabilité de gagner un lecteur MP3 est p = 0,06.

Antilles-Guyane 3 septembre 2008

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

2. Quelle est la probabilité de gagner un ours en peluche ?

3. Vingt personnes jouent chacune une partie. Déterminer la probabilité que deux d’entre elles exactement gagnent un lecteur MP3.

On justifiera la réponse et on donnera une valeur approchée du résultat à 10−4 près.

4. On appelle n le nombre de personnes participant à la loterie un jour donné et jouant une seule fois.

On note pn la probabilité que l’une au moins de ces personnes gagne un lecteur MP3.

Déterminer la plus petite valeur de n vérifiant pn > 0,99.

Antilles-Guyane 4 septembre 2008

commentaires (0)
Aucun commentaire n'a été pas fait
Écrire ton premier commentaire
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Docsity n'est pas optimisée pour le navigateur que vous utilisez. Passez à Google Chrome, Firefox, Internet Explorer ou Safari 9+! Téléchargez Google Chrome