Série de mathématique – correction –  7, Exercices de Mathématiques
Eusebe_S
Eusebe_S14 April 2014

Série de mathématique – correction – 7, Exercices de Mathématiques

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Série de mathématique – correction – 7. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Calculer la limite de la suite - correction, Confirmer avec son écriture en base 10 - correction.
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[ Baccalauréat S 2008\

L’intégrale demars à novembre 2008

Pour un accès direct cliquez sur les liensbleus

Nouvelle-Calédoniemars 2008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Pondichéry avril 2008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Libanmai 2008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

Amérique du Nordmai 2008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17

Antilles-Guyane juin 2008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

Asie juin 2008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

Centres étrangers juin 2008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .32

Métropole juin 2008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

La Réunion juin 2008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

Polynésie juin 2008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

Antilles–Guyane septembre 2008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .47

Métropole et La Réunion septembre 2008 . . . . . . . . . . . . . .51

Polynésie obligatoire septembre 2008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

Nouvelle-Calédonie novembre 2008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 Amérique du Sud novembre 2008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

Baccalauréat S : l’intégrale 2008 A. P. M. E. P.

2

Durée : 4 heures

[ Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie mars 2008\ (spécialité)

EXERCICE 1 5 points Commun à tous les candidats

On considère la fonction f définie sur ]−∞ ; 6[ par

f (x)= 9

6− x On définit pour tout entier naturel n la suite (Un) par

{

U0 = −3 Un+1 = f (Un)

1. La courbe représentative de la fonction f est donnée sur la feuille jointe ac- compagnée de celle de la droite d’équation y = x. Construire, sur cette feuille annexe les pointsM0 (U0 ; 0) , M1 (U1 ; 0) , M2 (U2 ; 0) , M3 (U3 ; 0) etM4 (U4 ; 0).

Quelles conjectures peut-on formuler en ce qui concerne le sens de variation et la convergence éventuelle de la suite (Un) ?

2. a. Démontrer que si x < 3 a alors 9

6− x < 3.

En déduire queUn < 3 pour tout entier naturel n. b. Étudier le sens de variation de la suite (Un).

c. Que peut-on déduire des questions 2. a. et 2. b. ?

3. On considère la suite (Vn) définie par Vn = 1

Un−3 pour tout entier naturel n.

a. Démontrer que la suite (Vn) est une suite arithmétique de raison − 1

3 .

b. Déterminer Vn puisUn en fonction de n.

c. Calculer la limite de la suite (Un).

EXERCICE 2 5 points Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

PARTIE A : Question de cours

Quelles sont les propriétés de compatibilité de la relation de congruence avec l’ad- dition, la multiplication et les puissances ? Démontrer la propriété de compatibilité avec la multiplication.

PARTIE B

On note 0, 1, 2, . . . , 9, α, β, les chiffres de l’écriture d’un nombre en base 12. Par exemple :

βα7 12

=β×122+α×12+7= 11×122 +10×12+7 = 1711 en base 10

1. a. Soit N1 le nombre s’écrivant en base 12 :

N1 =β1α 12

Déterminer l’écriture de N1 en base 10.

Baccalauréat S : l’intégrale 2008 A. P. M. E. P.

b. Soit N2 le nombre s’écrivant en base 10 :

N2 = 1131= 1×103+1×102+3×10+1

Déterminer l’écriture de N2 en base 12.

Dans toute la suite, un entier naturel N s’écrira demanière générale en base 12 :

N = an · · ·a1a012

2. a. Démontrer que N a0 (3). En déduire un critère de divisibilité par 3 d’un nombre écrit en base 12.

b. À l’aide de son écriture en base 12, déterminer si N2 est divisible par 3. Confirmer avec son écriture en base 10.

3. a. Démontrer que N an+·· ·+a1+a0 (11). En déduire un critère de divi- sibilité par 11 d’un nombre écrit en base 12.

b. À l’aide de son écriture en base 12, déterminer si N1 est divisible par 11. Confirmer avec son écriture en base 10.

4. Un nombre N s’écrit x4y 12 . Déterminer les valeurs de x et de y pour les-

quelles N est divisible par 33.

EXERCICE 3 5 points Commun à tous les candidats

Deux éleveurs produisent une race de poissons d’ornement qui ne prennent leur couleur définitive qu’à l’âge de trois mois :

• pour les alevins du premier élevage, entre l’âge de deux mois et l’âge de trois mois, 10% n’ont pas survécu, 75% deviennent rouges et les 15% restant de- viennent gris.

• pour les alevins du deuxième élevage, entre l’âge de deux mois et l’âge de trois mois, 5% n’ont pas survécu, 65% deviennent rouges et les 30% restant deviennent gris.

Une animalerie achète les alevins, à l’âge de deux mois : 60% au premier éleveur, 40% au second.

1. Unenfant achète unpoisson le lendemainde son arrivée à l’animalerie, c’est- à-dire à l’âge de deux mois.

a. Montrer que la probabilité que le poisson soit toujours vivant un mois plus tard est de 0,92.

b. Déterminer la probabilité qu’un mois plus tard le poisson soit rouge.

c. Sachant que le poisson est gris à l’âge de trois mois, quelle est la probabi- lité qu’il provienne du premier élevage ?

2. Une personne choisit au hasard et de façon indépendante 5 alevins de deux mois. Quelle est la probabilité qu’un mois plus tard, seulement trois soient en vie ? On donnera une valeur approchée à 10−2 près.

3. L’animalerie décide de garder les alevins jusqu’à l’âge de troismois, afinqu’ils soient vendus avec leur couleur définitive. Elle gagne 1 euro si le poisson est rouge, 0,25 euro s’il est gris et perd 0,10 euro s’il ne survit pas.

Soit X la variable aléatoire égale au gain algébrique de l’animalerie par pois- son acheté. Déterminer la loi de probabilité de X et son espérancemathéma- tique, arrondie au centime.

Nouvelle-Calédonie 4 mars 2008

Baccalauréat S : l’intégrale 2008 A. P. M. E. P.

EXERCICE 4 5 points Commun à tous les candidats

L’espace est rapporté à un repère (

O, −→ ı ,

−→ ,

−→ k )

orthonormé. Soit t un nombre réel.

On donne le point A(−1 ; 2 ; 3) et la droiteD de système d’équations paramétriques : 

x = 9+4t y = 6+ t z = 2+2t

Le but de cet exercice est de calculer de deux façons différentes la distance d entre le point A et la droite D.

1. a. Donner une équation cartésienne du plan P , perpendiculaire à la droite D et passant par A.

b. Vérifier que le point B(−3 ; 3 ; −4) appartient à la droite D. c. Calculer la distance dB entre le point B et le plan P .

d. Exprimer la distance d en fonction de dB et de la distance AB. En déduire la valeur exacte de d .

2. Soit M un point de la droite D. Exprimer AM2 en fonction de t . Retrouver alors la valeur de d .

Nouvelle-Calédonie 5 mars 2008

Baccalauréat S : l’intégrale 2008 A. P. M. E. P.

ANNEXE (à rendre avec la copie)

1

2

3

4

5

6

7

−1

1 2 3 4 5 6−1−2−3-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

Nouvelle-Calédonie 6 mars 2008

[ Baccalauréat S Pondichéry 16 avril 2008\

EXERCICE 1 4 points Commun à tous les candidats

1. Soit f la fonction définie sur [1 ; +∞[ par f (x) = x

ex −1 et soit H la fonction

définie sur [1 ; +∞[ par H(x)= ∫x

1 f (t)dt .

a. Justifier que f et H sont bien définies sur [1 ; +∞[ b. Quelle relation existe-t-il entre H et f ?

c. SoitC la courbe représentative de f dansun repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→ )

du plan. Interpréter en termes d’aire le nombre H(3).

2. On se propose, dans cette question, de donner un encadrement du nombre H(3).

a. Montrer que pour tout réel x > 0, x

ex −1 = x×

e−x

1−e−x .

b. En déduire que ∫3

1 f (x)dx = 3ln

(

1− 1

e3

)

− ln (

1− 1

e

)

− ∫3

1 ln

(

1−e−x )

dx.

c. Montrer que si 16 x 6 3, alors ln

(

1− 1

e

)

6 ln(1−e−x )6 ln (

1− 1

e3

)

.

d. En déduire un encadrement de ∫3

1 ln (

1−e−x )

dx puis de ∫3

1 f (x)dx.

EXERCICE 2 5 points Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité Cet exercice contient une restitution organisée de connaissances.

Partie A

On suppose connus les résultats suivants :

1. Dans le plan complexe, on donne par leurs affixes zA , zB et zC trois points A, B etC .

Alors

zB zC zA zC

= CB

CA et arg

(

zB zC zA zC

)

= (−−→ CA ,

−−→ CB

)

(2π).

2. Soit z un nombre complexe et soit θ un réel :

z = eiθ si et seulement si |z| = 1 et arg(z)= θ+2, où k est un entier relatif.

Démonstration de cours : démontrer que la rotation r d’angle α et de centre Ω d’af- fixeω est la transformation du plan qui à tout point M d’affixe z associe le point M

d’affixe z ′ tel que

z ′−ω= eiα(zω).

Partie B

Dans un repère orthonormal direct du plan complexe (

O, −→ u ,

−→ v )

d’unité graphique

2 cm, on considère les points A, B, C et D d’affixes respectives

zA =− p 3− i, zB = 1− i

p 3, zC =

p 3+ i et zD =−1+ i

p 3.

1. a. Donner lemodule et un argument pour, chacundes quatre nombres com- plexes zA , zB , zC et zD .

b. Comment construire à la règle et au compas les points A, B, C et D dans

le repère (

O, −→ u ,

−→ v )

?

Baccalauréat S : l’intégrale 2008 A. P. M. E. P.

c. Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ?

2. On considère la rotation r de centre B et d’angle − π

3 . Soient E et F les points

du plan définis par : E = r (A) et F = r (C ). a. Comment construire à la règle et au compas les points F et E dans le re-

père précédent ?

b. Donner l’écriture complexe de r .

c. Déterminer l’affixe du point E .

EXERCICE 2 5 points Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Partie A

On suppose connu le résultat suivant : Une application f du plan muni d’un repère orthonormal direct dans lui-même est une similitude directe si et seulement si f admet une écriture complexe de la forme z ′ = az+b, où a ∈C∗ et b ∈C.

Démonstrationde cours : on se place dans le plan complexe.Démontrer que si A,B,A

et B ′ sont quatre points tels que A est distinct de B et A′ est distinct de B ′, alors il existe une unique similitude directe transformant A en A′ et B en B ′.

Partie B

Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v )

on consi-

dère les points A, B, C , D d’affixes respectives

zA =− p 3− i, zB = 1− i

p 3, zC =

p 3+ i et zD =−1+ i

p 3.

1. a. Donner le module et un argument-de chacun des quatre nombres com- plexes zA , zB , zC et zD .

b. Construire à la règle et au compas les points A, B, C et D (on prendra pour unité graphique 2 cm).

c. Déterminer le milieu du segment [AC ], celui du segment [BD]. Calculer

le quotient zB

zA . En déduire la nature du quadrilatère ABCD.

2. On considère la similitude directe g dont l’écriture complexe est z ′ = e−i π 3 z+

2.

a. Déterminer les éléments caractéristiques de g .

b. Construire à la règle et au compas les images respectives E , F et J par g des points A, C etO.

c. Que constate-t-on concernant ces points E , F et J ? Le démontrer.

EXERCICE 3 4 points Commun à tous les candidats

On considère un tétraèdre ABCD. On note I , J , K , L, M , N les milieux respectifs des arêtes [AB], [CD], [BC ], [AD], [AC ] et [BD]. On désigne par G l’isobarycentre des points A, B, C et D. A

B

C

D

Pondichéry 8 16 avril 2008

Baccalauréat S : l’intégrale 2008 A. P. M. E. P.

1. Montrer que les droites (I J ), (KL) et (MN ) sont concourantes enG.

Dans la suite de l’exercice, on suppose que AB =CD, BC = AD et AC =BD. (Ondit que le tétraèdre ABCD est équifacial, car ses faces sont isométriques).

2. a. Quelle est la nature du quadrilatère IK JL ? Préciser également la nature des quadrilatères IM JN et KNLM .

b. Endéduire que (I J ) et (KL) sont orthogonales.Onadmettra que, demême, les droites (I J ) et (MN ) sont orthogonales et les droites (KL) et (MN ) sont orthogonales.

3. a. Montrer que la droite (I J ) est orthogonale au plan (MKN ).

b. Quelle est la valeur du produit scalaire −→ I J ·

−−−→ MK ? En déduire que (I J ) est

orthogonale à la droite (AB). Montrer de même que (I J ) est orthogonale à la droite (CD).

c. Montrer queG appartient aux plans médiateurs de [AB] et [CD].

d. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’ini- tiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

Comment démontrerait-on que G est le centre de la sphère circonscrite au tétraèdre ABCD ?

EXERCICE 4 7 points Commun à tous les candidats

On cherche à modéliser de deux façons différentes l’évolution du nombre, exprimé

en millions, de foyers français possédant un téléviseur à écran plat, en fonction de

l’année.

Les parties A et B sont indépendantes

Partie A : unmodèle discret

Soit un le nombre, exprimé en millions, de foyers possédant un téléviseur à écran plat l’année n. On pose n = 0 en 2005, u0 = 1 et, pour tout n> 0,

un+1 = 1

10 un (20−un ) .

1. Soit f la fonction définie sur [0 ; 20] par

f (x)= 1

10 x(20− x).

a. Étudier les variations de f sur [0 ; 20].

b. En déduire que pour tout x ∈ [0 ; 20], f (x) ∈ [0 ; 10]. c. On donne en annexe la courbe représentative C de la fonction f dans un

repère orthonormal.

Représenter, sur l’axe des abscisses, à l’aide de ce graphique, les cinq pre- miers termes de la suite (un )n>0.

2. Montrer par récurrence que pour tout n ∈N, 06 un 6 un+1 6 10. 3. Montrer que la suite (un)n>0 est convergente et déterminer sa limite.

Partie B : unmodèle continu

Soit g (x) le nombre, exprimé enmillions, de tels foyers l’année x. On pose x = 0 en 2005, g (0)= 1 et g est une solution, qui ne s’annule pas sur [0 ; +∞[, de l’équation différentielle

(E) ; y ′ = 1

20 y(10− y).

Pondichéry 9 16 avril 2008

Baccalauréat S : l’intégrale 2008 A. P. M. E. P.

1. On considère une fonction y qui ne s’annule pas sur [0 ; +∞[ et on pose z =

1

y .

a. Montrer que y est solutionde (E) si et seulement si z est solutionde l’équa- tion différentielle :

(E1) : z ′ =−

1

2 z+

1

20 .

b. Résoudre l’équation (E1) et en déduire les solutions de l’équation (E).

2. Montrer que g est définie sur [0 ; +∞[ par g (x)= 10

9e− 1 2 x +1

.

3. Étudier les variations de g sur [0 ; +∞[. 4. Calculer la limite de g en +∞ et interpréter le résultat. 5. Enquelle année le nombrede foyers possédant un tel équipement dépassera-

t-il 5 millions ?

Pondichéry 10 16 avril 2008

Baccalauréat S : l’intégrale 2008 A. P. M. E. P.

ANNEXE

À rendre avec la copie

1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 11 12 13

−1 −2 −3

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23−1−2−3−4-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112131415161718192021222324

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 11 12 13 14

Pondichéry 11 16 avril 2008

[ Baccalauréat S Liban juin 2008\

EXERCICE 1 4 points

Une urne A contient quatre boules rouges et six boules noires. Une urne B contient une boule rouge et neuf boules noires. Les boules sont indiscernables au toucher.

Partie A

Un joueur dispose d’un dé à six faces, parfaitement équilibré, numéroté de 1 à 6. Il le lance une fois : s’il obtient 1, il tire au hasard une boule de l’urne A, sinon il tire au hasard une boule de l’urne B.

1. Soit R l’évènement « le joueur obtient une boule rouge ».

Montrer que p(R)= 0,15. 2. Si le joueur obtient une boule rouge, la probabilité qu’elle provienne de A

est-elle supérieure ou égale à la probabilité qu’elle provienne de B ?

Partie B

Le joueur répète deux fois l’épreuve décrite dans la partie A, dans des conditions identiques et indépendantes (c’est-à-dire qu’à l’issue de la première épreuve, les urnes retrouvent leur composition initiale). Soit x un entier naturel non nul. Lors de chacune des deux épreuves, le joueur gagne x euros s’il obtient une boule rouge et perd deux euros s’il obtient une boule noire. On désigne par G la variable aléatoire correspondant au gain algébrique du joueur en euros au terme des deux épreuves. La variable aléatoire G prend donc les valeurs 2x,x−2 et −4.

1. Déterminer la loi de probabilité de G.

2. Exprimer l’espérance E(G) de la variable aléatoire G en fonction de x.

3. Pour quelles valeurs de x a-t-on E(G)> 0 ?

EXERCICE 2 5 points Candidats n’ayant pas choisi la spécialitémathématiques

Pour chacune des six propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une démonstration de la réponse choisie. Une réponse non démontrée ne rapporte aucun point.

Partie A

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v )

.

1. Soit z un nombre complexe d’argument π

3 .

Proposition 1 : « z100 est un nombre réel ».

2. Soit (E) l’ensemble des points M d’affixe z différente de 1 du plan telle que ∣

z

1− z

∣= 1.

Proposition 2 : « l’ensemble (E) est une droite parallèle à l’axe des réels ».

3. Soit r la rotation d’angle − π

2 et dont le centre K a pour affixe 1+ i

p 3.

Proposition 3 : « l’image du point O par la rotation r a pour affixe (

1− p 3 )

+ i (

1+ p 3 )

».

Baccalauréat S : l’intégrale 2008 A. P. M. E. P.

4. On considère l’équation (E) suivante : z2+2cos (π

5

)

z+1= 0.

Proposition 4 : « l’équation (E) a deux solutions complexes demodules égaux à 1 ».

Partie B

On considère le cube ABCDEFGH d’arête 1, représenté ci-dessous. Proposition 5 :

« le vecteur −−→ AG est normal au plan (BDE) ».

Proposition 6 : « les droites (EB) et (ED) sont perpendiculaires ».

A B

C D

E F

GH

EXERCICE 2 5 points Candidats ayant choisi la spécialitémathématiques

Pour chacune des six propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une démonstration de la réponse choisie. Une réponse non démontrée ne rapporte aucun point.

1. Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v )

,

on considère la similitude directe f d’écriture complexe

z 7→ 3

2 (1− i)z+4−2i.

Proposition1 f = r h h est l’homothétie de rapport 3 p 2

2 et de centre

le pointΩ d’affixe −2−2i et où r est la rotation de centreΩ et d’angle − π

4 ».

2. Pour tout entier naturel n non nul :

Proposition 2 : « 56n+1+23n+1 est divisible par 5 ». Proposition 3 : « 56n+1+23n+1 est divisible par 7 ».

3. Dans le plan muni d’un repère, (D) est la droite d’équation 11x−5y = 14. Proposition4 :« les points de (D) à coordonnées entières sont les points de coordonnées (5k+14 ; 11k+28) où k ∈Z.

4. L’espace est rapporté à un repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→ ,

−→ k )

.

Liban 13 juin 2008

Baccalauréat S : l’intégrale 2008 A. P. M. E. P.

La surface Σ ci-contre a pour équation z = x2+ y2.

O −→ ı −→

−→ k

Proposition5 :« la section de la surface Σ et du plan d’équation x = λ, où λ est un réel, est une hyperbole ».

Proposition6 : « le plan d’équation z = 9 p 2

2 partage le solide délimité par Σ

et le plan d’équation z = 9 en deux solides de même volume ».

Rappel : Soit V le volume du solide délimité parΣ et les plans d’équations z= a et z = b où 06 a6 b6 9.

V est donné par la formule V = ∫b

a S (k) dk où S(k) est l’aire de la section du

solide par le plan d’équation z = k où k ∈ [a ; b].

EXERCICE 3 6 points

Partie A. Démonstration de cours

Prérequis : définition d’une suite tendant vers plus l’infini. « une suite tend vers +∞ si, pour tout réel A, tous les termes de la suite sont, à partir d’un certain rang, supérieurs àA ». Démontrer le théorème suivant : une suite croissante non majorée tend vers +∞.

Partie B

On considère la fonction f définie sur l’intervalle [0 ; +∞[ par

f (x)= ln(x+1)+ 1

2 x2.

La courbe (C ) représentative de la fonction f dans un repère orthogonal est donnée ci-dessous. Cette courbe sera complétée et remise avec la copie à la fin de l’épreuve.

1. Étudier le sens de variation de la fonction f sur l’intervalle [0 ; +∞[. 2. Déterminer une équation de la tangente (T) à la courbe (C ) au point d’abs-

cisse 0.

3. Tracer la droite (T) sur le graphique. Dans la suite de l’exercice, on admet que, sur l’intervalle ]0 ; +∞[, la courbe (C ) est située au dessus de la droite (T).

Partie C

Onconsidère la suite (un ) définie surN paru0 = 1, et pour tout entier natureln,un+1 = f (un ) .

1. Construire sur l’axe des abscisses les cinq premiers termes de la suite (un ) en laissant apparents les traits de construction (utiliser le graphique donné).

2. À partir de ce graphique, que peut-on conjecturer concernant le sens de va- riation de la suite (un) et son comportement lorsque n tend vers +∞ ?

Liban 14 juin 2008

Baccalauréat S : l’intégrale 2008 A. P. M. E. P.

3. a. Montrer à l’aide d’un raisonnement par récurrence que, pour tout entier naturel n,un > 1.

b. Montrer que la suite (un ) est croissante.

c. Montrer que la suite (un ) n’est pas majorée.

d. En déduire la limite de la suite (un ).

EXERCICE 4 5 points

On considère une fonction f dérivable sur l’intervalle ]−∞ ; +∞[. On donne le tableau de ses variations :

x −∞ 0 2 +∞ f ′(x) + + 0 −

f (x)

−∞

0

1+e−2

1

Soit g la fonction définie sur ]−∞ ; +∞[ par g (x)= ∫x

0 f (t)dt .

Partie A

1. En tenant compte de toutes les informations contenues dans le tableau de variation, tracer une courbe (C ) susceptible de représenter f dans le plan muni d’un repère orthogonal (unités graphiques : 1 cm sur l’axe des abs- cisses, 2 cm sur l’axe des ordonnées).

2. a. Interpréter graphiquement g (2).

b. Montrer que 06 g (2)6 2,5.

3. a. Soit x un réel supérieur à 2.

Montrer que ∫x

2 f (t)dt > x−2. En déduire que g (x)> x−2.

b. Déterminer la limite de la fonction g en +∞. 4. Étudier le sens de variation de la fonction g sur l’intervalle ]−∞ ; +∞[.

Partie B

On admet que pour tout réel t , f (t)= (t −1)e−t +1. 1. À l’aide d’une intégration par parties, exprimer en fonction du réel x l’inté-

grale ∫x

0 (t −1)e−t dt .

2. En déduire que pour tout réel x, g (x)= x (1−e−x ). 3. Déterminer la limite de la fonction g en −∞.

Liban 15 juin 2008

Baccalauréat S : l’intégrale 2008 A. P. M. E. P.

Annexe

Cette page sera complétée et remise avec la copie à la fin de l’épreuve.

Exercice 3

Représentation graphique de la fonction f obtenue à l’aide d’un tableur

0

1

2

3

4

5

0 1 2 3 4 5 6

Liban 16 juin 2008

[ Baccalauréat S Amérique du Nord 29mai 2008\

EXERCICE 1 5 points

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v )

unité gra-

phique : 4 cm. On considère le point A d’affixe zA = 2+ i et le cercle (Γ) de centre A et de rayon

p 2.

1. Faire une figure qui sera complétée tout au long de l’exercice.

2. a. Déterminer les affixes des points d’intersection de (Γ) et de l’axe (

O ; −→ u )

.

b. On désigne par B et C les points d’affixes respectives zB = 1 et zC = 3. Déterminer l’affixe zD du point D diamétralement opposé au point B sur le cercle (Γ).

3. Soit M le point d’affixe 3

5 + 6

5 i.

a. Calculer le nombre complexe zD− zM zB− zM

.

b. Interpréter géométriquement un argument du nombre zD− zM zB− zM

; en dé-

duire que le point M appartient au cercle (Γ).

4. On note (Γ′) le cercle de diamètre [AB].

La droite (BM) recoupe le cercle (Γ′) en un point N.

a. Montrer que les droites (DM) et (AN) sont parallèles.

b. Déterminer l’affixe du point N.

5. On désigne par M′ l’image du point M par la rotation de centre B et d’angle

π

2 .

a. Déterminer l’affixe du point M′.

b. Montrer que le point M′ appartient au cercle (Γ′).

EXERCICE 2 5 points Enseignement obligatoire

Partie A

On considère deux points A et D de l’espace et on désigne par I le milieu du segment [AD].

1. Démontrer que, pour tout point M de l’espace, −−→ MD ·−−→MA =MI2− IA2.

2. En déduire l’ensemble (E) des points M de l’espace, tels que −−→ MD ·−−→MA = 0.

Partie B :

Dans l’espace rapporté au repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→ ,

−→ k )

, les points A, B, C et D

ont pour coordonnées respectives :

A(3 ; 0 ; 0), B(0 ; 6 ; 0),C(0 ; 0 ; 4) et D(−5 ; 0 ; 1).

1. a. Vérifier que le vecteur −→ n

4 2 3

 est normal au plan (ABC).

b. Déterminer une équation du plan (ABC).

2. a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite ∆, orthogonale au plan (ABC) passant par D.

Baccalauréat S : l’intégrale 2008 A. P. M. E. P.

b. En déduire les coordonnées du point H, projeté orthogonal de D sur le plan (ABC).

c. Calculer la distance du point D au plan (ABC).

d. Démontrer que le point H appartient l’ensemble (E) défini dans la partie A.

EXERCICE 2 5 points Enseignement de spécialité

L’espace est rapporté au repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→ ,

−→ k )

.

On nomme (S) la surface d’équation x2+ y2− z2 = 1.

1. Montrer que la surface (S) est symétrique par rapport au plan (xOy).

2. OnnommeA etB les points de coordonnées respectives (3 ; 1 ; −3) et (−1 ; 1 ; 1). a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (D) passant par

les points A et B.

b. Démontrer que la droite (D) est incluse dans la surface (S).

3. Déterminer la nature de la section de la surface (S) par un plan parallèle au plan (xOy).

4. a. Onconsidère la courbe (C), intersectionde la surface (S) et dupland’équa- tion z = 68. Préciser les éléments caractéristiques de cette courbe.

b. Métant un point de (C), on désigne par a son abscisse et par b son ordon- née.

On se propose demontrer qu’il existe un seul pointM de (C) tel que a et b soient de entiers naturels vérifiant a < b et ppcm(a ; b)= 440, c’est-à-dire tel que (a ; b) soit solution du système

(1) :

a < b a2+b2 = 4625 ppcm(a ; b)= 440

Montrer que si (a ; b) est solution de (1) alors pgcd(a ; b) est égal à 1 ou 5.

Conclure

Dans cette question toute trace de recherche même incomplète ou d’initiative,

même non fructueuse sera prise en compte dans l’évaluation.

Amérique du Nord 18 29 mai 2008

Baccalauréat S : l’intégrale 2008 A. P. M. E. P.

EXERCICE 3 6 points Commun à tous les candidats

Soit f la fonction définie sur l’intervalle ]1 ; +∞[ par

f (x)= lnx− 1

lnx .

On nomme (C ) la courbe représentative de f et Γ la courbe d’équation y = lnx dans un repère orthogonal

(

O, −→ ı ,

−→ )

.

1. Étudier les variations de la fonction f et préciser les limites en 1 et en +∞. 2. a. Déterminer lim

x→+∞ [ f (x)− lnx].

Interpréter graphiquement cette limite.

b. Préciser les positions relatives de (C ) et de Γ.

3. On se propose de chercher les tangentes à la courbe (C ) passant par le point O.

a. Soit a un réel appartenant à l’intervalle ]1 ; +∞[. Démontrer que la tangente Ta à (C ) au point d’abscisse a passe par l’ori- gine du repère si et seulement si f (a)−a f ′(a)= 0. Soit g la fonction définie sur l’intervalle ]1 ; +∞[ par

g (x)= f (x)− x f ′(x).

b. Montrer que sur ]1 ; +∞[, les équations g (x)= 0 et (lnx)3− (lnx)2− lnx−1= 0 ont les mêmes solutions.

c. Après avoir étudié les variations de la fonction u définie sur R par u(t) = t3− t2− t −1montrer que la fonction u s’annule une fois et une seule sur R.

d. En déduire l’existence d’une tangente unique à la courbe (C ) passant par le point O. La courbe (C ) et la courbe Γ sont données en annexe. Tracer cette tangente le plus précisément possible sur cette figure.

4. On considère un réelm et l’équation f (x)=mx d’inconnue x. Par lecture graphique et sans justification, donner, suivant les valeurs du réel m, le nombre de solutions de cette équation appartenant à l’intervalle ]1 ; 10].

EXERCICE 4 4 points Commun à tous les candidats

On considère les suites (xn ) et (

yn )

définies pour tout entier naturel n non nul par :

xn = ∫1

0 tn cos t dt et yn =

∫1

0 tn sin t dt .

1. a. Montrer que la suite (xn ) est à termes positifs.

b. Étudier les variations de la suite (xn ).

c. Que peut-on en déduire quant à la convergence de la suite (xn) ?

2. a. Démontrer que, pour tout entier naturel n non nul, xn 6 1

n+1 .

b. En déduire la limite de la suite (xn).

3. a. À l’aide d’une intégration par parties, démontrer que, pour tout entier na- turel n non nul, xn+1 =−(n+1)yn + sin(1).

b. En déduire que lim n→+∞

yn = 0.

4. On admet que, pour tout entier naturel n non nul, yn+1 = (n+1)xn −cos(1). Déterminer lim

n→+∞ nxn et lim

n→+∞ nyn .

Amérique du Nord 19 29 mai 2008

Baccalauréat S : l’intégrale 2008 A. P. M. E. P.

Annexe

Cette page est à compléter et à remettre avec la copie à la fin de l’épreuve

Exercice 3 Représentations graphiques obtenues à l’aide d’un tableur

0

1

2

−1

−2

−3

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

-3

-2

-1

0

1

2

3

Courbe Γ représentative de la fonction ln

Courbe C représentative de la fonction f

Amérique du Nord 20 29 mai 2008

[ Baccalauréat S Antilles-Guyane 18 juin 2008\

EXERCICE 1 6 points Commun à tous les candidats Soit f la fonction définie sur R par :

f (x)= 9

2 e−2x −3e−3x .

Partie A :

Soit l’équation différentielle (E) : y ′+2y = 3e−3x .

1. Résoudre l’équation différentielle (E′) : y ′+2y = 0.

2. En déduire que la fonction h définie sur R par h(x) = 9

2 e−2x est solution de

(E′).

3. Vérifier que la fonction g définie sur R par g (x) = −3e−3x est solution de l’équation (E).

4. En remarquant que f = g +h, montrer que f est une solution de (E).

Partie B :

OnnommeC f la courbe représentative de f dans un repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→ )

d’unité 1 cm.

1. Montrer que pour tout x de R on a : f (x)= 3e−2x (

3

2 −e−x

)

.

2. Déterminer la limite de f en +∞ puis la limite de f en −∞. 3. Étudier les variations de la fonction f et dresser le tableau de variations de f .

4. Calculer les coordonnées des points d’intersection de la courbe C f avec les axes du repère.

5. Calculer f (1) et tracer l’allure de la courbe C f .

6. Déterminer l’aire A de la partie du plan délimitée par l’axe des abscisses, la courbe C f , l’axe des ordonnées et la droite d’équation x = 1. On exprimera cette aire en cm2.

EXERCICE 2 5 points Réservé aux candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

On dispose de deux urnesU1 etU2 contenant des boules indiscernables au toucher.

U1 contient k boules blanches (k entier naturel supérieur ou égal à 1) et 3 boules noires. U2 contient 2 boules blanches et une boule noire.

On tire une boule au hasard dansU1 et on la place dansU2. On tire ensuite, au ha- sard, une boule dansU2. L’ensemble de ces opérations constitue une épreuve.

On note B1 (respectivement N1) l’évènement « on a tiré une boule blanche (resp. noire) dans l’urneU1 ». On note B2 (respectivement N2) l’évènement « on a tiré une boule blanche (resp. noire) dans l’urneU2 ».

1. a. Recopier et compléter par les probabilitésmanquantes l’arbre ci-dessous :

Baccalauréat S : l’intégrale 2008 A. P. M. E. P.

B1. . .

B2. . .

N2. . .

N1 . . .

B2. . .

N2. . .

Montrer que la probabilité de l’évènement B2 est égale à 3k+6 4k+12

.

Dans la suite on considère que k = 12. Les questions 2 et 3 sont indépendantes l’une de l’autre et peuvent être trai- tées dans n’importe quel ordre.

2. Un joueur mise 8 euros et effectue une épreuve.

Si, à la fin de l’épreuve, le joueur tire une boule blanche de la deuxième urne, le joueur reçoit 12 euros.

Sinon, il ne reçoit rien et perd sa mise. Soit X la variable aléatoire égale au gain du joueur, c’est-à-dire la différence entre la somme reçue et la mise.

a. Montrer que les valeurs possibles de X sont 4 et −8. b. Déterminer la loi de probabilité de la variable X .

c. Calculer l’espérance mathématique de X .

d. Le jeu est-il favorable au joueur ?

3. Un joueur participe n fois de suite à ce jeu.

Audébut de chaque épreuve, l’urneU1 contient 12boules blanches et 3noires, et l’urneU2 contient 2 boules blanches et 1 noire.

Ainsi, les épreuves successives sont indépendantes.

Déterminer le plus petit entier n pour que la probabilité de réaliser aumoins une fois l’évènement B2 soit supérieure ou égale à 0,99.

EXERCICE 2 5 points Réservé aux candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Partie A

On considère l’équation (E) : 11x−26y = 1, où x et y désignent deux nombres entiers relatifs.

1. Vérifier que le couple (−7 ; −3) est solution de (E). 2. Résoudre alors l’équation (E).

3. En déduire le couple d’entiers relatifs (u ; v) solution de (E) tel que 06 u 6 25.

Partie B

On assimile chaque lettre de l’alphabet à un nombre entier comme l’indique le ta- bleau ci-dessous :

A B C D E F G H I J K L M 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

N O P Q R S T U V W X Y Z 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

On « code » tout nombre entier x compris entre 0 et 25 de la façon suivante :

Antilles-Guyane 22 18 juin 2008

Baccalauréat S : l’intégrale 2008 A. P. M. E. P.

— on calcule 11x+8 — oncalcule le reste de la division euclidiennede 11x+8 par 26, que l’on appelle

y . x est alors « codé » par y . Ainsi, par exemple, la lettre L est assimilée au nombre 11 ; 11×11+8= 129 or 129 ≡ 25(0modulo26) ; 25 est le reste de la division euclidienne de 129 par 26. Au nombre 25 correspond la lettre Z. La lettre L est donc codée par la lettre Z.

1. Coder la lettre W.

2. Le but de cette question est de déterminer la fonction de décodage.

a. Montrer que pour tous nombres entiers relatifs x et j , on a :

11x j (modulo 26) équivaut à x ≡ 19 j (modulo 26).

b. En déduire un procédé de décodage.

c. Décoder la lettre W.

EXERCICE 3 4 points Commun à tous les candidats

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chaque question, une seule des propositions est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspon- dant à la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.

Une réponse exacte rapporte 1 point ; une réponse inexacte enlève 0,25 point ; l’absence de réponse est comptée 0 point. Si le total est négatif, la note de l’exercice est ramenée à 0.

L’espace est rapporté à un repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→ ,

−→ k )

.

1. L’ensemble des points M(x ; y ; z) tels que :

{

2x−6y +2z−7 = 0 −x+3y z+5 = 0 est :

Réponse A : l’ensemble vide Réponse B : une droite Réponse C : un plan Réponse C : réduit à un point

2. Les droites de représentations paramétriques respectives : 

x = 1− t y = −1+ t z = 2−3t

(t ∈R) et

x = 2+ t y = −2− t z = 4+2t

(t ∈R) sont :

Réponse A : parallèles et distinctes Réponse B : confondues Réponse C : sécantes Réponse D : non coplanaires

3. La distance du point A(1 ; −2 ; 1) au plan d’équation −x +3y z+5 = 0 est égale à :

Réponse A : 3

11 Réponse B :

3 p 11

Réponse C : 1

2 Réponse D :

8 p 11

4. Le projeté orthogonal du point B(1 ; 6 ; 0) sur le plan d’équation −x+3yz+ 5= 0 a pour coordonnées :

Réponse A : (3 ; 1 ; 5) Réponse B : (2 ; 3 ; 1) Réponse C : (3 ; 0 ; 2) Réponse D : (−2;3;−6)

Antilles-Guyane 23 18 juin 2008

Baccalauréat S : l’intégrale 2008 A. P. M. E. P.

EXERCICE 4 5 points Commun à tous les candidats

La feuille annexe donnée portera les constructions demandées au cours de l’exer- cice. Cette feuille est à rendre avec la copie.

Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v )

, le point A

a pour affixe i. On nomme f l’application qui, à tout point M d’affixe z avec z 6= i associe le point M ′ d’affixe z ′ telle que :

z ′ = −z2

z− i Le but de l’exercice est de construire géométriquement le point M ′ connaissant le point M .

1. Un exemple

On considère le point K d’affixe 1+ i. a. Placer le point K.

b. Déterminer l’affixe du point K′ image de K par f .

c. Placer le point K′.

2. Des points pour lesquels le problème ne se pose pas

a. On considère le point L d’affixe i

2 . Déterminer son image L′ par f . Que

remarque-t- on ?

b. Un point est dit invariant par f s’il est confondu avec son image.

Démontrer qu’il existe deux points invariants par f dont on déterminera les affixes.

3. Un procédé de construction

On nomme G l’isobarycentre des points A,M , et M ′, et g l’affixe deG.

a. Vérifier l’égalité g = 1

3(z− i) .

b. En déduire que : si M est un point du cercle de centre A de rayon r , alors

G est un point du cercle de centre O de rayon 1

3r .

c. Démontrer que arg g =− (−→ u ;

−−→ AM

)

.

d. Sur la feuille annexe, on a marqué un point D sur le cercle de centre A et

de rayon 1

2 .

On nomme D′ l’image de D par f . Déduire des questions précédentes la construction du point D′ et la réaliser sur la figure annexe à rendre avec la copie.

Antilles-Guyane 24 18 juin 2008

Baccalauréat S : l’intégrale 2008 A. P. M. E. P.

Annexe à rendre avec la copie

Sur la figure ci-dessous le segment [OI ] tel que −→ u =

−→ OI est partagé en six segments

d’égale longueur.

O

A

I

+ D

Antilles-Guyane 25 18 juin 2008

[ Baccalauréat S Asie 18 juin 2008\

EXERCICE 1 4 points Commun à tous les candidats

A -Vrai ou faux ? Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner

une démonstration de la réponse choisie. Dans le cas d’une proposition fausse la dé-

monstration consistera à proposer un contre-exemple ; une figure pourra constituer

ce contre-exempte.

Rappel des notations :

• P1∩P2 désigne l’ensemble des points communs aux plans P1 et P2. L’écriture P1∩P2 =; signifie que les plans P1 et P2 n’ont aucun point com-

mun.

1. Si P1, P2 et P3 sont trois plans distincts de l’espace vérifiant :

P1∩P2 6= ; et P2∩P3 6= ;,

alors on peut conclure que P1 et P3 vérifient : P1∩P3 6= ;. 2. Si P1, P2 et P3 sont trois plans distincts de l’espace vérifiant :

P1∩P2∩P3 =;

alors on peut conclure que P1, P2 et P3 sont tels que : P1∩P2 =; et P2∩ P3 =;.

3. Si P1, P2 et P3 sont trois plans distincts de l’espace vérifiant :

P1∩P2 6= ; et P1∩P3 =;,

alors on peut conclure que P2 et P3 vérifient : P2∩P3 6= ;. 4. Si P1 et P2 sont deux plans distincts et D une droite de l’espace vérifiant :

P1∩D 6= ; et P1∩P2 =;,

alors on peut conclure que P2∩D 6= ;

B - Intersection de trois plans donnés

Dans un repère orthonormal de l’espace on considère les trois plans suivants : • P1 d’équation x+ y z = 0 • P2 d’équation 2x+ y + z−3= 0, • P3 d’équation x+2y −4z+3 = 0.

1. Justifier que les plans P1 etP2 sont sécants puis déterminer une représenta- tion paramétrique de leur droite d’intersection, notée ∆.

2. En déduire la nature de l’intersection P1∩P2∩P3.

EXERCICE 2 5 points Réservé aux candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

On considère plusieurs sacs de billes S1, S2, . . . , Sn , . . . tels que : — le premier, S1, contient 3 billes jaunes et 2 vertes ; — chacun des suivants, S2, S3, . . . , Sn , . . . contient 2 billes jaunes et 2 vertes.

Le but de cet exercice est d’étudier l’évolution des tirages successifs d’une bille de ces sacs, effectués de la manière suivante :

Baccalauréat S : l’intégrale 2008 A. P. M. E. P.

— on tire au hasard une bille dans S1 ; — on place la bille tirée de S1 dans S2, puis on tire au hasard une bille dans S2 ; — on place la bille tirée de S2 dans S3, puis on tire au hasard une bille dans S3 ; — etc.

Pour tout entier n > 1, on note En l’évènement : « la bille tirée dans Sn est verte » et on note p (En) sa probabilité.

1. Mise en évidence d’une relation de récurrence

a. D’après l’énoncé, donner les valeurs de p (E1) , pE1 (E2) , pE1 (E2).

En déduire la valeur de p (E2).

b. À l’aide d’un arbre pondéré, exprimer p (En+1) en fonction de p (En).

2. Étude d’une suite

On considère la suite (un ) définie par :

u1 = 2

5

un+1 = 1

5 un +

2

5 pour tout n> 1.

a. Démontrer que la suite (un ) est majorée par 1

2 .

b. Démontrer que (un ) est croissante.

c. Justifier que la suite (un ) est convergente et préciser sa limite.

3. Évolution des probabilités p (En)

a. À l’aide des résultats précédents, déterminer l’évolution des probabilités p (En).

b. Pour quelles valeurs de l’entier n a-t-on : 0,499996 p (En)6 0,5 ?

EXERCICE 2 5 points Réservé aux candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Soit a et b deux entiers naturels non nuls ; on appelle « réseau » associé aux entiers a et b l’ensemble des points du plan, muni d’un repère orthonormal, dont les coor- données (x ; y) sont des entiers vérifiant les conditions : 06 x 6 a et 06 y 6 b. On note Ra, b ce réseau. Le but de l’exercice est de relier certaines propriétés arithmétiques des entiers x et y à des propriétés géométriques des points correspondants du réseau.

A - Représentation graphique de quelques ensembles

Dans cette question, les réponses sont attendues sans explication, sous la forme d’un graphique qui sera dûment complété sur la feuille annexe no 1 à rendre avec la copie. Représenter graphiquement les points M(x ; y) du réseau R8,8 vérifiant :

1. x ≡ 2 (modulo 3) et y ≡ 1 (modulo 3), sur le graphique 1 de la feuille an- nexe

2. x+ y ≡ 1 (modulo 3), sur le graphique 2 de la feuille annexe ; 3. x y (modulo 3), sur le graphique 3 de la feuille annexe.

B - Résolution d’une équation

On considère l’équation (E) : 7x − 4y = 1, où les inconnues x et y sont des entiers relatifs.

1. Déterminer un couple d’entiers relatifs (

x0 ; y0 )

solution de l’équation (E).

2. Déterminer l’ensemble des couples d’entiers relatifs solutions de l’équation (E).

Asie 27 18 juin 2008

Baccalauréat S : l’intégrale 2008 A. P. M. E. P.

3. Démontrer que l’équation (E) admet une unique solution (x ; y) pour la- quelle le point M(x ; y) correspondant appartient au réseau R4,7.

C - Une propriété des points situés sur la diagonale du réseau.

Si a et b sont deux entiers naturels non nuls, on considère la diagonale [OA] du réseau Ra, b , avec O(0 ; 0) et A(a ; b).

1. Démontrer que les points du segment [OA] sont caractérisés par les condi- tions :

06 x6 a ; 06 y 6 b ; ay = bx.

2. Démontrer que si a et b sont premiers entre eux, alors les points O et A sont les seuls points du segment [OA] appartenant au réseau Ra, b .

3. Démontrer que si a et b ne sont pas premiers entre eux, alors le segment [OA] contient aumoins un autre point du réseau.

(On pourra considérer le pgcd d des nombres a et b et poser a = da′ et b = db′.)

EXERCICE 3 4 points Commun à tous les candidats

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v )

. On prendra

pour le dessin : ∥

−→ u

∥= 4 cm. M est un point d’affixe z non nul. On désigne par M ′ le point d’affixe z ′ telle que

z ′ =− 1

z .

z désigne le conjugué du nombre complexe z.

A - Quelques propriétés

1. Soit z un nombre complexe non nul. Déterminer une relation entre les mo- dules de z et z ′ puis une relation entre les arguments de z et z ′.

2. Démontrer que les points O, M et M ′ sont alignés.

3. Démontrer que pour tout nombre complexe z non nul on a l’égalité :

z ′+1= 1

z (z−1).

B - Construction de l’image d’un point

On désigne par A et B les deux points d’affixes respectives 1 et −1. On note C l’ensemble des points M du plan dont l’affixe z vérifie : |z−1| = 1.

1. Quelle est la nature de l’ensemble C ?

2. Soit M un point de C d’affixe z, distinct du point O.

a. Démontrer que ∣

z ′+1 ∣

∣= ∣

z ′ ∣

∣. Interpréter géométriquement cette égalité.

b. Est-il vrai que si z ′ vérifie l’égalité : ∣

z ′+1 ∣

∣= ∣

z ′ ∣

∣, alors z vérifie l’égalité :

|z−1| = 1 ? 3. Tracer l’ensemble C sur une figure. SiM est un point deC , décrire et réaliser

la construction du point M ′.

Asie 28 18 juin 2008

Baccalauréat S : l’intégrale 2008 A. P. M. E. P.

EXERCICE 4 7 points Commun à tous les candidats

A - Restitution organisée de connaissances

On suppose connu le résultat suivant : lim x→+∞

ex

x =+∞.

Démontrer que : lim x→+∞

xe−x = 0.

B - Étude d’une fonction

On considère la fonction f définie sur R par :

f (x)= (x+1)e−x .

On note (C ) sa représentation graphique dans un repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→ )

du

plan. On prendra 4 cm pour unité graphique.

1. Cette question demande le développement d’une certaine démarche compor- tant plusieurs étapes. La clarté du plan d’étude, la rigueur des raisonnements

ainsi que la qualité de la rédaction seront prises en compte dans la notation.

Étudier les variations de la fonction f et les limites aux bornes de son en- semble de définition. Résumer ces éléments dans un tableau de variations le plus complet possible.

2. Tracer la courbe (C ). On fera apparaître les résultats obtenus précédemment.

C - Étude d’une famille de fonctions

Pour tout entier relatif k, on note fk la fonction définie sur R par :

fk (x)= (x+1)ekx .

On note Ck la courbe représentative de la fonction fk dans un repère orthonormal du plan. On remarque que le cas k =−1 a été traité dans la partie B, car on a f−1 = f et C−1 = C .

1. a. Quelle est la nature de la fonction f0 ?

b. Déterminer les points d’intersection des courbes C0 et C1.

Vérifier que, pour tout entier k, ces points appartiennent à la courbe Ck .

2. Étudier, suivant les valeurs du réel x, le signe de l’expression : (x+1)(ex −1). En déduire, pour k entier relatif donné, les positions relatives des courbesCk et Ck+1.

3. Calculer f k (x) pour tout réel x et pour tout entier k non nul.

En déduire le sens de variation de la fonction fk suivant les valeurs de k. (On distinguera les cas : k > 0 et k < 0.)

4. Le graphique suivant représente quatre courbes E , F , H , et K , correspon- dant à quatre valeurs différentes du paramètre k, parmi les entiers −1, −3, 1 et 2.

Identifier les courbes correspondant à ces valeurs en justifiant la réponse.

Asie 29 18 juin 2008

Baccalauréat S : l’intégrale 2008 A. P. M. E. P.

E

E

F

F

H

H

K

K

1

1

D - Calcul d’une aire plane Soit λ un réel strictement positif. La fonction f est celle définie dans la partie B.

1. À l’aide d’une intégration par parties, calculer ce nombre :A (λ)= ∫λ

0 f (t)dt .

2. Déterminer lim λ→+∞

A (λ). Interpréter graphiquement le résultat.

Asie 30 18 juin 2008

Baccalauréat S : l’intégrale 2008 A. P. M. E. P.

Annexe 1 - exercice 3 (spécialitémathématique) - À rendre avec la copie

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Graphique 1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Graphique 2

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Graphique 3

Asie 31 18 juin 2008

Durée : 4 heures

Baccalauréat S Centres étrangers 17 juin 2008

EXERCICE 1 4 points Commun à tous les candidats

L’espace est rapporté au repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→ ,

−→ k )

. On considère les points :

A(2 ; 1 ; −1), B(−1 ; 2 ; 4), C(0 ; −2 ; 3), D(1 ; 1 ; −2)

et le plan P d’équation x−2y + z+1= 0. Pour chacune des huit affirmations suivantes, dire, sans justifier, si elle est vraie ou si

elle est fausse.

Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et l’un des deux mots

VRAI ou FAUX correspondant à la réponse choisie. Une réponse exacte rapporte 0,5 point. Une réponse inexacte enlève 0,25 point. L’ab- sence de réponse n’apporte ni n’enlève aucun point.

Si le total est négatif, la note de l’exercice est ramenée à 0.

1. Affirmation 1 : les points A, B et C définissent un plan.

2. Affirmation 2 : la droite (AC) est incluse dans le plan P .

3. Affirmation 3 : une équation cartésienne du plan (ABD) est : x+8yz−11= 0. 4. Affirmation 4 : une représentation paramétrique de la droite (AC) est :

x = 2k y = 2+3k z = 3−4k

(k ∈R).

5. Affirmation 5 : les droites (AB) et (CD) sont orthogonales.

6. Affirmation 6 : la distance du point C au plan P est égale à 4 p 6

7. Affirmation 7 : la sphère de centre D et de rayon

p 6

3 est tangente au plan P .

8. Affirmation 8 : le point E

(

− 4

3 ; 2

3 ; 5

3

)

est le projeté orthogonal du point C sur

le plan P .

EXERCICE 2 5 points Réservé aux candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v )

; l’unité gra-

phique est 1 cm.

1. Résoudre, dans l’ensemble des nombres complexes, l’équation :

z2+4z+8= 0.

On donnera les solutions sous forme algébrique, puis sous forme trigonomé- trique.

2. On note A et B les points du plan d’affixes respectives : a = 2−2i et b = −a. Placer ces points sur un graphique qui sera complété au fil de l’exercice.

a. Déterminer l’affixe c dupointC, imagedupoint Bpar la rotationde centre

O et d’angle π

2 .

b. On note D l’image de C par la rotation de centre A et d’angle π

2 ; démon-

trer que l’affixe d du point D est d = 2−6i.

Baccalauréat S : l’intégrale 2008 A. P. M. E. P.

c. Placer les points C et D sur le graphique Quelle est la nature du quadrila- tère ABCD?

3. α étant unnombre réel nonnul, ondésignepar, le barycentre du système :

{(A ; 1) ; (B ; −1) ; (C ; α)} .

a. Exprimer le vecteur −−−→ Cen fonction du vecteur

−−→ BA .

b. Endéduire l’ensemble des pointslorsqueαdécrit l’ensemble des réels non nuls. Construire cet ensemble.

c. Pour quelle valeur de α a-t-on=D? 4. On suppose dans cette question que α= 2.

Dans cette question, toute trace de recherche,même incomplète, ou d’initiative

non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

Déterminer et construire l’ensemble des points M du plan tels que :

−−→ MA −−−→MB +2−−→MC

∥= 4 p 2.

EXERCICE 2 5 points Réservé aux candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v )

l’unité gra-

phique est 2 cm. On considère les points A, B, C, D et E d’affixes respectives :

a = 2, b = 2+3i, c = 3i , d =− 5

2 +3i et e =−

5

2 .

1. Placer ces cinq points sur un graphique qui sera complété au fil de l’exercice.

2. On admet que deux rectangles sont semblables si et seulement si le rapport de la longueur sur la largeur est le même pour les deux rectangles.

Démontrer queOABCet ABDE sont deux rectangles et qu’ils sont semblables.

3. Étude d’une similitude directe transformantOABC en ABDE

a. Déterminer l’écriture complexe de la similitude directe s qui transforme O en A et A en B.

b. Démontrer que la similitude s transforme OABC en ABDE.

c. Quel est l’angle de la similitude s ?

d. SoitΩ le centre de cette similitude. En utilisant la composée s s, démon- trer que le point Ω appartient aux droites (OB) et (AD). En déduire la po- sition du pointΩ.

4. Étude d’une similitude indirecte transformantOABC en BAED

a. Montrer que l’écriture complexe de la similitude indirecte s′ qui trans- forme O en B et qui laisse A invariant est :

z ′ =− 3

2 iz+2+3i

z désigne le conjugué du nombre complexe z.

b. Montrer que s′ transforme OABC en BAED.

c. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’ini- tiative non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

Démontrer que s′ est la composée de la réflexion d’axe (OA) suivie d’une similitude directe dont on précisera les éléments caractéristiques.

Centres étrangers 33 17 juin 2008

Baccalauréat S : l’intégrale 2008 A. P. M. E. P.

EXERCICE 3 4 points Commun à tous les candidats

Le secteur de production d’une entreprise est composé de 3 catégories de person- nel :

• les ingénieurs ; • les opérateurs de production ; • les agents de maintenance.

Il y a 8% d’ingénieurs et 82% d’opérateurs de production. Les femmes représentent 50% des ingénieurs, 25% des agents demaintenance et 60% des opérateurs de pro- duction.

I. Partie A

Dans cette partie, on interroge au hasard un membre du personnel de cette entre- prise. On note :

• M l’évènement : « le personnel interrogé est un agent de maintenance » ; • O l’évènement : « le personnel interrogé est un opérateur de production » ; • I l’évènement : « le personnel interrogé est un ingénieur » ; • F l’évènement : « le personnel interrogé est une femme ».

1. Construire un arbre pondéré correspondant aux données.

2. Calculer la probabilité d’interroger :

a. un agent de maintenance ;

b. une femme agent de maintenance ;

c. une femme,

II. Partie B

Le service demaintenance effectue l’entretien desmachines, mais il est appelé aussi à intervenir en cas de panne. Pour cela une alarme est prévue ; des études ont mon- tré que sur une journée :

• la probabilité qu’il n’y ait pas de panne et que l’alarme se déclenche est égale à 0,002 ;

• la probabilité qu’une panne survienne et que l’alarme ne se déclenche pas est égale à 0,003 ;

• la probabilité qu’une panne se produise est égale à 0,04. On note :

• A l’évènement : « l’alarme se déclenche » ; • B l’évènement : « une panne se produit » ;

1. Démontrer que la probabilité qu’une panne survienne et que l’alarme se dé- clenche est égale à 0,037.

2. Calculer la probabilité que l’alarme se déclenche.

3. Calculer la probabilité qu’il y ait unepanne sachant que l’alarme se déclenche.

EXERCICE 4 7 points Commun à tous les candidats

I. Restitution organisée des connaissances

Prérequis : on rappelle que : lim x→+∞

ex

x =+∞.

1. Démontrer que lim x→+∞

lnx

x = 0.

2. En déduire que pour tout entier naturel n non nul : lim x→+∞

lnx

xn = 0.

Centres étrangers 34 17 juin 2008

Baccalauréat S : l’intégrale 2008 A. P. M. E. P.

II. Étude d’une fonction f

Soit f la fonction définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par :

f (x)= x− lnx

x2 .

On note C sa courbe représentative dans un repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→ )

(unité

graphique 2 cm).

1. Soit u la fonction définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par u(x)= x3−1+2lnx. a. Étudier le sens de variation de la fonction u sur l’intervalle ]0 ; +∞[. b. Calculer u(1) et en déduire le signe de u(x) pour x appartenant à l’inter-

valle ]0 ; +∞[. 2. Étude de la fonction f

a. Déterminer les limites de f en 0 et en +∞. b. Déterminer la fonction dérivée de f et construire le tableau de variations

de la fonction f .

3. Éléments graphiques et tracés.

a. Démontrer que la droite (∆) d’équation y = x est asymptote oblique à la courbe C .

b. Déterminer la position de C par rapport à (∆).

c. Tracer la courbe C et la droite (∆).

Calculs d’aires

Onnoteαunnombre réel strictement positif et on désigne parA (α) l’aire, exprimée en unités d’aire, de la partie du plan délimitée par la courbe C , la droite (∆) et les droites d’équation x = 1 et x =α.

1. On suppose dans cette question que α> 1.

a. À l’aide d’une intégration par parties, démontrer que :A (α)= 1− lnα

α − 1

α .

b. Déterminer la limite de A (α) lorsque α tend vers +∞. 2. Dans cette question, toute trace de recherche,même incomplète, ou d’initiative

non fructueuse sera prise en compte dans l’évaluation.

Démontrer que =A (

1

e

)

.

Centres étrangers 35 17 juin 2008

[ Baccalauréat SMétropole 19 juin 2008\

EXERCICE 1 5 points Commun à tous les candidats

Les courbes C f et Cg données ci-dessous représentent respectivement, dans un re-

père orthonormal (

O, −→ ı ,

−→ )

, les fonctions f et g définies sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par :

f (x)= lnx et g (x)= (lnx)2.

1 e

1

−→ ı

−→

C f

Cg

1. On cherche à déterminer l’aire A (en unités d’aire) de la partie du plan ha- churée.

On note I = ∫e

1 lnx dx et J =

∫e

1 (lnx)2 dx.

a. Vérifier que la fonction F définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par F (x)= x lnxx est une primitive de la fonction logarithme népérien. En déduire I .

b. Démontrer à l’aide d’une intégration par parties que J = e−2I . c. En déduire J .

d. Donner la valeur de A .

Baccalauréat S : l’intégrale 2008 A. P. M. E. P.

2. Dans cette question le candidat est invité à porter sur sa copie les étapes de sa démarche même si elle n ’aboutit pas.

Pour x appartenant à l’intervalle [1 ; e], on note M le point de la courbe C f d’abscisse x et N le point de la courbe Cg de même abscisse. Pour quelle valeur de x la distance MN est maximale ? Calculer la valeur maximale de MN .

EXERCICE 2 5 points Commun à tous les candidats

Dans l’espace muni d’un repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→ ,

−→ k )

, on considère les points

A(1 ; 1 ; 0), B(1 ; 2 ; 1) et C(3 ; −1 ; 2).

1. a. Démontrer que les points A, B et C ne sont pas alignés.

b. Démontrer que le plan (ABC) a pour équation cartésienne

2x+ y z−3= 0. 2. On considère les plans (P ) et (Q) d’équations respectives x+2y z−4 = 0 et

2x+3y −2z−5 = 0. Démontrer que l’intersection des plans (P ) et (Q) est une droite (D), dont une représentation paramétrique est :

x = −2+ t y = 3 z = t

(t ∈R)

3. Quelle est l’intersection des trois plans (ABC), (P ) et (Q) ?

4. Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l’évaluation.

Déterminer la distance du point A à la droite (D).

EXERCICE 3 5 points Commun à tous les candidats

La durée de vie, exprimée en heures, d’un agenda électronique est une variable aléa- toire X qui suit une loi exponentielle de paramètre λ X est un réel strictement positif.

On rappelle que pour tout t > 0, P (X 6 t)= ∫t

0 λe−λx dx.

La fonction R définie sur l’intervalle [0 ; +∞[ par R(t) = P (X > t) est appelée fonc- tion de fiabilité.

1. Restitution organisée de connaissances

a. Démontrer que pour tout t > 0 on a R(t)= e−λt . b. Démontrer que la variable X suit une loi de durée de vie sans vieillisse-

ment, c’est-à-dire que pour tout réel s > 0, la probabilité conditionnelle PX>t (X > t + s) ne dépend pas du nombre t > 0.

2. Dans cette question, on prend λ= 0,00026. a. Calculer P (X 6 1000) et P (X > 1000). b. Sachant que l’évènement (X > 1000) est réalisé, calculer la probabilité de

l’évènement (X > 2000). c. Sachant qu’un agenda a fonctionné plus de 2000 heures, quelle est la pro-

babilité qu’il tombe en panne avant 3000 heures ? Pouvait-on prévoir ce résultat ?

Métropole 37 19 juin 2008

Baccalauréat S : l’intégrale 2008 A. P. M. E. P.

EXERCICE 4 5 points Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Le plan est muni d’un repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v )

(unité graphique : 1 cm).

Soient A, B et I les points d’affixes respectives 1 + i, 3− i et 2. À tout point M d’affixe z, on associe le point M ′ d’affixe z ′ telle que z ′ = z2−4z. Le point M ′ est appelé l’image deM .

1. Faire une figure sur une feuille de papier millimétré et compléter cette figure tout au long de l’exercice.

2. Calculer les affixes des points A′ et B′, images respectives des points A et B. Que remarque-t-on ?

3. Déterminer les points qui ont pour image le point d’affixe −5. 4. a. Vérifier que pour tout nombre complexe z, on a : z ′+4= (z−2)2.

b. En déduire une relation entre ∣

z ′+4 ∣

∣ et |z−2| et, lorsque z est différent de 2, une relation entre arg

(

z ′+4 )

et arg (z−2), c. Que peut-on dire du point M ′ lorsque M décrit le cercle C de centre I et

de rayon 2 ?

5. Soient E le point d’affixe 2+2ei π 3 , J le point d’affixe −4 et E′ l’image de E.

a. Calculer la distance IE et une mesure en radians de l’angle (−→ u ;

−→ IE

)

.

b. Calculer la distance JE′ et une mesure en radians de l’angle (−→ u ;

−→ JE′

)

.

c. Construire à la règle et au compas le point E′ ; on laissera apparents les traits de construction.

EXERCICE 4 5 points Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v )

.

Soient A et B les points d’affixes respectives zA = 1− i et zB = 7+ 7

2 i.

1. On considère la droite (d) d’équation 4x+3y = 1. Démontrer que l’ensemble des points de (d) dont les coordonnées sont en- tières est l’ensemble des points Mk (3k + 1 ; −4k − 1) lorsque k décrit l’en- semble des entiers relatifs.

2. Déterminer l’angle et le rapport de la similitude directe de centre A qui trans- forme B en M−1(−2 ; 3).

3. Soit s la transformation du plan qui à tout point M d’affixe z associe le point M ′ d’affixe

z ′ = 2

3 iz+

1

3 − 5

3 i.

Déterminer l’image de A par s, puis donner la nature et les éléments caracté- ristiques de s.

4. On note B1 l’image de B par s et pour tout entier naturel n non nul, Bn+1 l’image de Bn par s.

a. Déterminer la longueur ABn+1 en fonction de ABn .

b. À partir de quel entier n le point Bn , appartient t-il au disque de centre A et de rayon 10−2 ?

c. Déterminer l’ensemble des entiers n pour lesquels A, B1 et Bn sont ali- gnés.

Métropole 38 19 juin 2008

Durée : 4 heures

[ Baccalauréat S La Réunion juin 2008\

EXERCICE 1 5 points Commun à tous les candidats

Tous les résultats seront arrondis à102près.

Une entreprise produit en grande quantité des stylos. La probabilité qu’un stylo pré- sente un défaut est égale à 0,1.

1. On prélève dans cette production, successivement et avec remise huit stylos. On note X la variable aléatoire qui compte le nombre de stylos présentant un défaut parmi les huit stylos prélevés.

a. On admet que X suit une loi binomiale. Donner les paramètres de cette loi.

b. Calculer la probabilité des évènements suivants :

A : « il n’y a aucun stylo avec un défaut » ; B : « il y a au moins un stylo avec un défaut » ; C : « il y a exactement deux stylos avec un défaut ».

2. En vue d’améliorer la qualité du produit vendu, on décide demettre en place un contrôle qui accepte tous les stylos sans défaut et 20% des stylos avec défaut.

On prend au hasard un stylo dans la production. On note D l’évènement « le stylo présente un défaut », et E l’évènement « le stylo est accepté ».

a. Construire un arbre traduisant les données de l’énoncé.

b. Calculer la probabilité qu’un stylo soit accepté au contrôle.

c. Justifier que la probabilité qu’un stylo ait un défaut sachant qu’il a été accepté au contrôle est égale à 0,022 à 10−3 près.

3. Après le contrôle, onprélève, successivement et avec remise, huit stylos parmi les stylos acceptés.

Calculer la probabilité qu’il n’y ait aucun stylo avec un défaut dans ce prélè- vement de huit stylos.

Comparer ce résultat avec la probabilité de l’évènement A calculée à la ques- tion 1. b.. Quel commentaire peut-on faire ?

EXERCICE 2 5 points Commun à tous les candidats

Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment.

Partie A

Soit f la fonction numérique de la variable réelle x définie sur ]0 ; +∞[ par :

f (x)= ln(x)

x2 .

Sa courbe représentative (C ), construite dans un repère orthonormal, et son tableau de variations sont donnés en annexe,

1. Le tableau de variations de f donne des propriétés sur les variations de la fonction, les limites aux bornes de l’ensemble de définition ainsi que l’extre- mum.

Énoncer puis démontrer ces propriétés.

Baccalauréat S : l’intégrale 2008 A. P. M. E. P.

2. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l’évaluation.

Existe-t-il des tangentes à la courbe (C ) qui contiennent le point O origine du repère ? Si oui donner leur équation.

Partie B

Soit g la fonction définie sur l’intervalle ]0 ; ∞[ par

g (x)= ∫x

1

ln t

t2 dt .

1. a. Que représente f pour la fonction g ?

b. En déduire le sens de variations de g sur ]0 ; ∞[.

2. Interpréter géométriquement les réels g (3) et g

(

1

2

)

.

3. a. À l’aide d’une intégration par parties, montrer que g (x)= 1− lnx+1

x .

b. Déterminer la limite de g en +∞.

EXERCICE 3 5 points Commun à tous les candidats

On considère la suite (un )n∈N définie par :

u0 = 5 et, pour tout entier n> 1, un = (

1+ 2

n

)

un−1+ 6

n .

1. a. Calculer u1.

b. Les valeurs de u2, u3, u4, u5,u6,u7,u8,u9,u10,u11 sont respectivement égales à :

45, 77, 117, 165, 221, 285, 357, 437, 525, 621.

À partir de ces données conjecturer la nature de la suite (dn )n∈N définie par dn =un+1−un .

2. On considère la suite arithmétique (vn)n∈N de raison 8 et de premier terme v0 = 16. Justifier que la somme des n premiers termes de cette suite est égale à

4n2+12n. 3. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n on a :

un = 4n2+12n+5. 4. Valider la conjecture émise à la question 1. b..

EXERCICE 4 5 points Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal (

O, −→ u ,

−→ v )

.

Soit (C ) le cercle de centre O et de rayon 1. On considère le point A de (C ) d’affixe zA = ei

π 3 .

1. Déterminer l’affixe zB du point B image de A par la rotation de centre O et

d’angle 2π

3 .

Déterminer l’affixe zC du point C image de B par la rotation de centre O et

d’angle 2π

3 .

2. a. Justifier que (C ) est le cercle circonscrit au triangle ABC. Construire les points A, B et C sur la feuille de papier millimétré.

La Réunion 40 juin 2008

Baccalauréat S : l’intégrale 2008 A. P. M. E. P.

b. Quelle est la nature du triangle ABC? Justifier.

3. Soit h l’homothétie de centre O et de rapport −2.

a. Compléter la figure en plaçant les points P, Q et R images respectives des points A, B et C par h.

b. Quelle est la nature du triangle PQR? Justifier.

4. Dans cette question le candidat est invité à porter sur sa copie les étapes de sa démarche même si elle n’aboutit pas.

a. Donner l’écriture complexe de h.

b. Calculer zA+ zB+ zC. En déduire que A est le milieu du segment [QR]. c. Que peut-on dire de la droite (QR) par rapport au cercle (C ) ?

EXERCICE 4 5 points Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

1. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v )

.

Soient A, B et C les points d’affixes respectives

zA = 2+ i, zB = 5+2i et zC = i.

s1 désigne la symétrie d’axe (AB).

a. Démontrer que s1 transforme tout pointM d’affixe z en un pointM ′ d’af- fixe z ′ telle que

z ′ = (

4

5 + 3

5 i

)

z+ (

− 1

5 + 3

5 i

)

b. En déduire l’affixe de C′, symétrique de C par rapport à (AB).

c. Démontrer que l’ensemble des pointsM tels que z ′ est imaginaire pur est la droite (D) d’équation 4x+3y = 1.

d. Vérifier que le point C′ appartient à (D).

2. a. Démontrer que les droites (D) et (AB) sont sécantes en un point Ω dont on précisera l’affixe ω.

b. On désigne par s2 la symétrie d’axe (D) et par f la transformation définie par f = s2 ◦ s1. Justifier que f est une similitude directe et préciser son rapport.

c. Déterminer les images des points C etΩ par la transformation f .

d. Justifier que f est une rotation dont on donnera le centre.

3. Dans cette question le candidat est invité à porter sur sa copie les étapes de sa démarche même si elle n ’aboutit pas.

a. Déterminer les couples d’entiers relatifs (x ; y) solutions de l’équation : 4x+3y = 1.

b. Déterminer les points de (D) à coordonnées entières dont la distance au point O est inférieure à 9.

La Réunion 41 juin 2008

Baccalauréat S : l’intégrale 2008 A. P. M. E. P.

ANNEXE exercice 2

0,5

1,0

1,5

−0,5

−1,0

−1,5

−2,0

1 2 3 4O

(C )

x 0 e 1 2 +∞

f (x)

−∞

1

2e

0

La Réunion 42 juin 2008

[ Baccalauréat S Polynésie juin 2008\

EXERCICE 1 4 points

1. Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes, l’équation

z2−6z+13= 0.

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v )

d’unité graphique 1 cm. On considère les points A, B, C d’affixes respectives

a = 3−2i, b = 3+2i, c = 4i.

2. Faire une figure et placer les points A, B, C.

3. Montrer que OABC est un parallélogramme.

4. Déterminer l’affixe du point Ω, centre du parallélogramme OABC.

5. Déterminer et tracer l’ensemble des points M du plan tels que ∥

−−−→ MO +−−→MA +−−→MB +−−→MC

∥= 12.

6. Soit M un point de la droite (AB). On désigne par β la partie imaginaire de l’affixe du pointM . On note N l’image du pointM par la rotation de centreΩ

et d’angle π

2 .

a. Montrer que N a pour affixe 5

2 −β+

5

2 i.

b. Comment choisir β pour que N appartienne à la droite (BC) ?

EXERCICE 2 4 points

Dans l’espace rapporté à un repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→ ,

−→ k )

, on considère les

points A(1 ; 2 ; 3), B(0 ; 1 ; 4), C(−1 ; −3 ; 2), D(4 ; −2 ; 5) et le vecteur −→n (2 ; −1 ; 1).

1. a. Démontrer que les points A, B, C ne sont pas alignés.

b. Démontrer que −→ n est un vecteur normal au plan (ABC).

c. Déterminer une équation du plan (ABC).

2. Soit (∆) la droite dont une représentationparamétrique est :

x = 2−2t y = −1+ t z = 4− t

avec t ∈R. Montrer que le point D appartient à la droite (∆) et que cette droite est per- pendiculaire au plan (ABC).

3. Soit E le projeté orthogonal du point D sur le plan (ABC).

Montrer que le point E est le centre de gravité du triangle ABC.

EXERCICE 3 5 points Candidats n’ayant pas choisi l’enseignement de spécialité

Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner

une justification de la réponse choisie.

Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point. Toutefois, toute trace de recherche,

même incomplète ou d’initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans

l’évaluation.

Baccalauréat S : l’intégrale 2008 A. P. M. E. P.

1. Soit f la fonction solution sur R de l’équation différentielle y ′ = −y +2 telle que f (ln2)= 1. Proposition 1 :« La courbe représentative de f admet au point d’abscisse 0, une tangente d’équation y = 2x« .

2. Soient f et g deux fonctions définies sur un intervalle [A ; +∞[ où A est un réel strictement positif.

Proposition 2 : « Si lim x→+∞

f (x)= 0 alors lim x→+∞

f (x)g (x)= 0 ».

3. On admet qu’un bloc de glace fond en perdant 10% de sa masse par minute.

Sa masse initiale est de 10 kg.

Proposition 3 : « À partir de la soixante-dixième minute, sa masse devient inférieure à 1 g ».

4. Soient A et B deux évènements d’unmême universΩmuni d’une probabilité p.

Proposition 4 : « Si A et B sont indépendants et si p(A) = p(B) = 0,4 alors p(A∪ B)= 0,8 ».

5. Une usine fabrique des pièces. Une étude statistique a montré que 2% de la production est défectueuse. Chaque pièce est soumise à un contrôle de fabrication. Ce contrôle refuse 99% des pièces défectueuses et accepte 97% des pièces non défectueuses.

On choisit au hasard une pièce avant son passage au contrôle.

Proposition 5 : « La probabilité que la pièce soit acceptée est égale à 0,9508 ».

EXERCICE 3 5 points Candidats ayant choisi l’enseignement de spécialité

Pour chacune des propositions suivantes indiquer si elle est vraie ou fausse et donner

une justification de la réponse choisie.

Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point. Toutefois, toute trace de recherche,

même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans

l’évaluation.

1. Proposition 1 : « Pour tout entier naturel n non nul, n et 2n+1 sont premiers entre eux. »

2. Soit x un entier relatif.

Proposition2 : « x2+x+3= 0(modulo 5) si et seulement si x ≡ 1(modulo 5). » 3. Soit N un entier naturel dont l’écriture en base 10 est aba7.

Proposition 3 : « Si N est divisible par 7 alors a+b est divisible par 7. »

4. Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v )

.

Proposition4 : « La similitude directe de rapport 2, d’angle π

6 et de centre le

point d’affixe 1− i a pour écriture complexe z ′ = (p

3+ i )

z+ p 3− i

p 3. »

5. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v )

.

On considère un point A. On désigne par a son affixe. On note s la réflexion

d’axe (

O ; −→ u )

et sA la symétrie centrale de centre A.

Proposition5 :« L’ensemble des nombres complexes a tels que s sA = sA ◦ s est l’ensemble des nombres réels. »

EXERCICE 4 7 points

Partie A

Restitution organisée de connaissances

Polynésie 44 juin 2008

Baccalauréat S : l’intégrale 2008 A. P. M. E. P.

On supposera connus les résultats suivants : Soient u et v deux fonctions continues sur un intervalle [a ; b] avec a < b.

— Si u> 0 sur [a ; b] alors ∫b

a u(x)dx > 0.

— Pour tous réels α et β b

a

[

αu(x)+βv(x) ]

dx =α b

a u(x)dx+β

b

a v(x)dx.

Démontrer que si f et g sont deux fonctions continues sur un intervalle [a ; b] avec

a < b et si, pour tout x de [a ; b], f (x)6 g (x), alors ∫b

a f (x)dx6

b

a g (x)dx.

Partie B

On considère la fonction f définie sur [0 ; +∞[ par :

f (x)= x+ ln (

1+e−x )

.

Sa courbe représentative (C ) ainsi que la droite (D) d’équation y = x sont données ci-dessous dans un repère orthonormal d’unité graphique 2 cm.

1. Montrer que f est croissante et positive sur [0 ; +∞[. 2. a. Montrer que la courbe (C ) admet pour asymptote la droite (D).

b. Étudier la position de (C ) par rapport à (D).

3. Soit I l’intégrale définie par : I= ∫1

0 ln

(

1+e−x )

dx = ∫1

0 [ f (x)− x]dx.

On ne cherchera pas à calculer I.

a. Donner une interprétation géométrique de I.

b. Montrer que pour tout réel t > 0, on a ln(1+ t )6 t . (On pourra étudier les variations de la fonction g définie sur [0 ; +∞[ par g (t)= ln(1+ t)− t .) On admettra que pour tout réel t > 0, on a

t

t +1 6 ln(1+ t).

c. En déduire que pour tout x de [0 ; +∞[ , on a : e−x

e−x +1 6 ln(1+e−x )6 e−x .

d. Montrer que ln

(

2

1+e−1

)

6 I6 1−e−1.

e. En déduire un encadrement de I d’amplitude 0,4 par deux nombres déci- maux.

4. On désigne par M et N les points de même abscisse x appartenant respecti- vement à (C ) et (D).

On juge que M et N sont indiscernables sur le graphique lorsque la distance MN est inférieure à 0,5 mm.

Déterminer l’ensemble des valeurs de x pour lesquelles M et N sont indis- cernables.

Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initia-

tive, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

Polynésie 45 juin 2008

Baccalauréat S : l’intégrale 2008 A. P. M. E. P.

ANNEXE à rendre avec la copie

EXERCICE 4

1

2

3

4

5

−1

1 2 3 4 5 6−1-1 0 1 2 3 4 5 6 7

-1

0

1

2

3

4

5

6

(C )

D

Polynésie 46 juin 2008

[ Baccalauréat S Antilles-Guyane \ septembre 2008

EXERCICE 1 4 points Commun à tous les candidats

Certains résultats de la PARTIE A pourront être utilisés dans la PARTIE B, mais les deux parties peuvent être traitées indépendamment l’une de l’autre.

PARTIE A :

On définit :

— la suite (un ) par : u0 = 13 et, pour tout entier naturel n, un+1 = 1

5 un +

4

5 .

— la suite (Sn) par : pour tout entier natureln, Sn = n

k=0 uk =u0+u1+u2+·· ·+un .

1. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n,un = 1+ 12

5n .

En déduire la limite de la suite (un ).

2. a. Déterminer le sens de variation de la suite (Sn).

b. Calculer Sn en fonction de n.

c. Déterminer la limite de la suite (Sn).

PARTIE B :

Étant donné une suite (xn ), de nombres réels, définie pour tout entier naturel n, on

considère la suite (Sn) définie par Sn = n

k=0 xk .

Indiquer pour chaque proposition suivante si elle est vraie ou fausse. Justifier dans chaque cas.

Proposition 1 : si la suite (xn ) est convergente, alors la suite (Sn) l’est aussi. Proposition 2 : les suites (xn ) et (Sn) ont le même sens de variation.

EXERCICE 2 5 points Pour les candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v )

.

1. Résoudre dans l’ensemble C des nombres complexes, l’équation d’inconnue z :

z2−2 p 3z+4= 0.

2. On considère les points A d’affixe zA = p 3− i, B d’affixe zB =

p 3+ i et C le

milieu de [OB] d’affixe zC.

a. Déterminer la forme exponentielle de zA, zB et zC.

b. Sur une figure, placer les points A, B et C, en prenant 2 cm pour unité.

c. Montrer que le triangle OAB est équilatéral.

3. Soit D l’image de C par la rotation r de centre O, d’angle − π

2 et E l’image de

D par la translation t de vecteur 2 −→ v .

a. Placer les points D et E sur une figure.

b. Montrer que l’affixe zE du point E vérifie : zE = 1

2

[

1+ i (

4− p 3 )]

.

c. Montrer que OE = BE = √

5−2 p 3.

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

4. Montrer que les points A, C et E sont alignés.

Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initia-

tive, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

EXERCICE 2 5 points Pour les candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

PARTIE A :

On considère le système de congruences :

(S)

{

n ≡ 2 (modulo 3) n ≡ 1 (modulo 5) , oùn désigne un entier relatif.

1. Montrer que 11 est solution de (S).

2. Montrer que si n est solution de (S) alors n−11 est divisible par 3. 3. Montrer que les solutions de (S) sont tous les entiers de la forme 11+15k, où

k désigne un entier relatif.

PARTIE B :

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v )

.

On considère l’application f du plan qui à tout point M d’affixe z associe le point d’affixe z ′ et g celle qui à tout point M d’affixe z associe le point d’affixe z ′′ définies par :

z ′ = 1+ i

p 3

2 z et z ′′ = ei

π 5 z.

1. Préciser la nature et les éléments caractéristiques des applications f et g .

2. On considère les points A0 et B0 d’affixes respectives a0 = 2e−2i π 3 et b0 =

4e−i π 5 .

Soient (An) et (Bn ) les suites de points définies par les relations de récur- rences :

An+1 = f (An) et Bn+1 = g (Bn ) .

On note an et bn les affixes respectives de An et Bn .

a. Quelle est la nature de chacun des triangles OAnAn+1 ?

b. En déduire la nature du polygone A0A1A2A3A4A5.

3. a. Montrer que les points Bn sont situés sur un cercle dont on précisera le centre et le rayon.

b. Indiquer une mesure de l’angle (−−−→ OBn ,

−−−−−→ OBn+2

)

.

c. En déduire la nature du polygone B0B2B4B6B8.

4. a. Exprimer an et bn en fonction de n.

b. Montrer que les entiers n pour lesquels les points An et Bn sont simulta- nément sur l’axe des réels sont les solutions du système (S) de la PARTIE A.

EXERCICE 3 7 points Commun à tous les candidats

Soit f la fonction définie sur R par :

f (x)= x+2− 4ex

ex +3 .

Antilles-Guyane 48 septembre 2008

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

On désigne par C sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère ortho-

normal (

O, −→ ı ,

−→ )

d’unité graphique 2 cm.

1. a. Déterminer la limite de f en −∞. b. Démontrer que la droiteD1 d’équation y = x+2 est asymptote à la courbe

C .

c. Étudier la position de C par rapport à D1.

2. a. On note f ′ la fonction dérivée de f . Calculer f ′(x) et montrer que, pour tout réel x, on a :

f ′(x)= (

ex −3 ex +3

)2

b. Étudier les variations de f sur R et dresser le tableau de variations de la fonction f .

3. a. Que peut-on dire de la tangente D2 à la courbe C au point I d’abscisse ln3 ?

b. En utilisant les variations de la fonction f , étudier la position de la courbe C par rapport à D2.

4. a. Montrer que la tangente D3 à la courbe C au point d’abscisse 0 a pour

équation : y = 1

4 x+1.

b. Étudier la position de la courbeC par rapport à la tangenteD3 sur l’inter- valle ]−∞ ; ln3]. On pourra utiliser la dérivée seconde de f notée f ′′ définie pour tout x de R par :

f ′′(x)= 12ex (ex −3) (ex +3)3

.

5. On admet que le point I est centre de symétrie de la courbe C .

Tracer la courbe C , les tangentes D3, D3 et les asymptotes à la courbe C . On rappelle que l’unité graphique choisie est 2 cm.

6. a. Déterminer uneprimitive de la fonction g définie surRpar : g (x)= ex

ex +3 .

b. Soit λ un réel strictement négatif.

On note A (λ) l’aire, en unités d’aire, du domaine limité par D1, C et les droites d’équations x =λ et x = 0. Montrer que A (λ)= 4ln4−4ln

(

eλ+3 )

.

c. Calculer lim λ→−∞

A (λ).

EXERCICE 4 4 points Commun à tous les candidats

On dispose de deux urnesU1 etU2. L’urneU1 contient 2 billes vertes et 8 billes rouges toutes indiscernables au toucher. L’urneU2 contient 3 billes vertes et 7 billes rouges toutes indiscernables au toucher.

Une partie consiste, pour un joueur, à tirer au hasard une bille de l’urneU1, noter sa couleur et remettre la bille dans l’urneU1 puis de tirer au hasard une bille de l’urne U2, noter sa couleur et remettre la bille dans l’urneU2. À la fin de la partie, si le joueur a tiré deux billes vertes il gagne un lecteur MP3. S’il a tiré une bille verte, il gagne un ours en peluche. Sinon il ne gagne rien. On note

Antilles-Guyane 49 septembre 2008

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

V1 l’évènement : « le joueur tire une boule verte dansU1 » V2 l’évènement : « le joueur tire une boule verte dansU2 ».

Les évènements V1 et V2 sont indépendants.

1. Montrer, à l’aide d’un arbre pondéré, que la probabilité de gagner un lecteur MP3 est p = 0,06.

2. Quelle est la probabilité de gagner un ours en peluche ?

3. Vingt personnes jouent chacune une partie. Déterminer la probabilité que deux d’entre elles exactement gagnent un lecteur MP3.

On justifiera la réponse et on donnera une valeur approchée du résultat à 10−4 près.

4. On appelle n le nombre de personnes participant à la loterie un jour donné et jouant une seule fois.

On note pn la probabilité que l’une aumoins de ces personnes gagne un lec- teur MP3.

Déterminer la plus petite valeur de n vérifiant pn > 0,99.

Antilles-Guyane 50 septembre 2008

Durée : 4 heures

[ Baccalauréat SMétropole & La Réunion\ septembre 2008

EXERCICE 1 4 points Commun à tous les candidats

Dans une kermesse un organisateur de jeux dispose de 2 roues de 20 cases chacune. La roue A comporte 18 cases noires et 2 cases rouges. La roue B comporte 16 cases noires et 4 cases rouges. Lors du lancer d’une roue toutes les cases ont la même probabilité d’être obtenues. La règle du jeu est la suivante :

• Le joueur mise 1( et lance la roue A. • S’il obtient une case rouge, alors il lance la roue B, note la couleur de la case

obtenue et la partie s’arrête. • S’il obtient une case noire, alors il relance la roue A, note la couleur de la case

obtenue et la partie s’arrête.

1. Traduire l’énoncé à l’aide d’un arbre pondéré.

2. Soient E et F les évènements :

E : « à l’issue de la partie, les 2 cases obtenues sont rouges » ; F : « à l’issue de la partie, une seule des deux cases est rouge ».

Montrer que p(E)= 0,02 et p(F)= 0,17. 3. Si les 2 cases obtenues sont rouges le joueur reçoit 10 ( ; si une seule des

cases est rouge le joueur reçoit 2( ; sinon il ne reçoit rien.

X désigne la variable aléatoire égale au gain algébrique en euros du joueur (rappel le joueur mise 1().

a. Déterminer la loi de probabilité de X .

b. Calculer l’espérancemathématique de X et endonner une interprétation.

4. Le joueur décide de jouer n parties consécutives et indépendantes (n désigne un entier naturel supérieur ou égal à 2)

a. Démontrer que la probabilité pn qu’il lance au moins une fois la roue B est telle que pn = 1− (0,9)n .

b. Justifier que la suite de terme général pn est convergente et préciser sa limite.

c. Quelle est la plus petite valeur de l’entier n pour laquelle pn > 0,9 ?

EXERCICE 2 3 points Commun à tous les candidats

On se propose de déterminer toutes les fonctions f définies et dérivables sur l’inter- valle ]0 ; +∞[ vérifiant l’équation différentielle

(E ) : x f ′(x)− (2x+1) f (x)= 8x2.

1. a. Démontrer que si f est solution de (E ) alors la fonction g définie sur l’in-

tervalle ]0 ; +∞[ par g (x) = f (x)

x est solution de l’équation différentielle

(E ′) : y ′ = 2y +8. b. Démontrer que si h est solution de (E ′) alors la fonction f définie par

f (x)= xh(x) est solution de (E ). 2. Résoudre (E ′) et en déduire toutes les solutions de (E ),

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

3. Existe-t-il une fonction f solution de l’équation différentielle (E ) dont la re- présentation graphique dans un repère donné passe par le point A(ln2 ; 0) ? Si oui la préciser.

EXERCICE 3 4 points Commun à tous les candidats

Cet exercice est un questionnaire à choixmultiple (QCM). Pour chaque question, une seule des propositions est exacte. Le candidat portera sur

la copie, sans justification, la lettre correspondant à la réponse choisie. Il sera attribué

un point si la réponse est exacte, zéro sinon.

Dans le plan orienté, ABCD est un carré direct ((−−→ AB ,

−−→ AD

)

= π

2

)

. On note I son centre

et J le milieu de [AI].

1. C est le barycentre des points pondérés (A,m), (B, 1) et (D, 1) lorsque :

a. m =−2 b. m = 2 c. m =−1 d. m = 3

2. a. B est l’image de C par la rotation de centre I et d’angle π

2 .

b. Le rapport de l’homothétie de centre C qui transforme I en J est 2

3 .

c. Le triangle DAB est invariant par la symétrie de centre I.

d. J est l’image de I par la translation de vecteur 1

2

−−→ BA +

1

4

−−→ DB .

3. L’ensemble des points M du plan tels que ‖−−→MA +−−→MC ‖=AB est : a. la médiatrice de [AC].

b. le cercle circonscrit au carré ABCD.

c. la médiatrice de [AI].

d. le cercle inscrit dans le carré ABCD.

4. L’ensemble des points M du plan tels que : (

2 −−→ MA +−−→MB +−−−→MD

)

· (−−→ MA −−−→MC

)

= 0

est :

a. la médiatrice de [AC].

b. le cercle circonscrit au carré ABCD.

c. la médiatrice de [AI].

d. le cercle inscrit dans le carré ABCD.

EXERCICE 4 4 points Commun à tous les candidats

On considère la suite numérique (Jn) définie, pour tout entier naturel n non nul, par

Jn = ∫n

1 e−t

p 1+ t dt .

1. Démontrer que la suite (Jn) est croissante.

2. Dans cette question, le candidat est invité à porter sur sa copie les étapes de sa démarche même si elle n’aboutit pas.

On définit la suite (In ), pour tout entier naturel n non nul, par :

In = ∫n

1 (t +1)e−t dt .

Métropole & La Réunion 52 septembre 2008

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

a. Justifier que, pour tout t > 1, on a p t +16 t +1.

b. En déduire que Jn 6 In .

c. Calculer In en fonction de n. En déduire que la suite (Jn) est majorée par un nombre réel (indépendant de n).

d. Que peut-on en conclure pour la suite (Jn) ?

EXERCICE 5 5 points Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v )

.

On réalisera une figure en prenant 2 cm comme unité graphique sur chaque axe. On considère les points A, B et I d’affixes respectives zA = 1, zB = 5 et zI = 3+ i. On note (C ) le cercle de centre O et de rayon 1, (∆) la médiatrice de [AB] et (T) la tangente au cercle (C ) en A. À tout point M d’affixe z, différent de A, on associe le point M ′ d’affixe z ′ telle que :

z ′ = z−5 z−1

.

Le point M ′ est appelé l’image deM .

Partie A

1. Déterminer sous forme algébrique l’affixe du point I′ image de I.

Vérifier que I′ appartient à (C ).

2. a. Justifier que pour tout point M distinct de A et B, on a : OM ′ = MB

MA .

b. Justifier que pour tout point M distinct de A et B, on a : (−−→ OA ,

−−−→ OM

)

= (−−→ MA ,

−−→ MB

)

.

Partie B

Dans cette partie, toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte

dans l’évaluation.

Dans la suite de l’exercice, M désigne un point quelconque de (∆). On cherche à construire géométriquement son imageM ′.

1. Démontrer que M ′ appartient à (C ).

2. On note (d) la droite symétrique de la droite (AM) par rapport à la tangente (T). (d) recoupe (C ) en N .

a. Justifier que les triangles AMB et AON sont isocèles.

Après avoir justifié que (−−→ AO ,

−−→ AN

)

= (−−→ AM ,

−−→ AB

)

démontrer que (−−→ OA ,

−−→ ON

)

= (−−→ MA ,

−−→ MB

)

.

b. En déduire une construction deM ′.

EXERCICE 5 5 points Pour les candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v )

.

On réalisera une figure en prenant 4 cm comme unité graphique sur chaque axe. On considère le point A d’affixe zA = 1.

Partie A

Métropole & La Réunion 53 septembre 2008

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

k est un réel strictement positif ; f est la similitude directe de centre O de rapport k

et d’angle π

3 .

On note A0 = A et pour tout entier naturel n, An+1 = f (An).

1. a. Étant donné un point M d’affixe z, déterminer en fonction de z l’affixe z

du point M ′ image deM par f .

b. Construire les points A0, A1, A2 et A3 dans le cas particulier où k est égal à 1

2 .

2. a. Démontrer par récurrence que pour tout entier n, l’affixe zn du point An est égale à kne

i3 .

b. En déduire les valeurs de n pour lesquelles le point An appartient à la

demi droite [

O ; −→ u )

et, dans ce cas, déterminer en fonction de k et de n

l’abscisse de An .

Partie B Dans cette partie toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte

dans l’évaluation.

Désormais, k désigne un entier naturel non nul.

1. Donner la décomposition en facteurs premiers de 2008.

2. Déterminer, en expliquant laméthode choisie, la plus petite valeur de l’entier naturel k pour laquelle k6 est un multiple de 2008.

3. Pour quelles valeurs des entiers n et k le point An appartient-il à la demi

droite [

O ; −→ u )

avec pour abscisse un nombre entier multiple de 2008 ?

Métropole & La Réunion 54 septembre 2008

Durée : 4 heures

[ Baccalauréat S (obligatoire) Polynésie\ septembre 2008

EXERCICE 1 4 points

On rappelle que la probabilité d’un évènement A sachant que l’évènement B est réa-

lisé se note pB (A). Une urne contient au départ 30 boules blanches et 10 boules noires indiscernables au toucher. On tire au hasard une boule de l’urne :

• si la boule tirée est blanche, on la remet dans l’urne et on ajoute n boules blanches supplémentaires.

• si la boule tirée est noire, on la remet dans l’urne et on ajoute n boules noires supplémentaires.

On tire ensuite au hasard une seconde boule de l’urne. On note :

B1 l’évènement : « on obtient une boule blanche au premier tirage » • B2 l’évènement : « on obtient une boule blanche au second tirage » • A l’évènement : « les deux boules tirées sont de couleurs différentes ».

1. Dans cette question, on prend n = 10.

a. Calculer la probabilité p (B1∩B2) et montrer que p (B2)= 3

4 .

b. Calculer pB2 (B1).

c. Montrer que p(A)= 3

10 .

2. On prend toujours n = 10. Huit joueurs réalisent l’épreuve décrite précédemment demanière identique et indépendante.

On appelle X la variable aléatoire qui prend pour valeur le nombre de réali- sations de l’évènement A.

a. Déterminer p(X = 3). (On donnera la réponse à 10−2 près). b. Déterminer l’espérance mathématique de la variable aléatoire X .

3. Dans cette question n est un entier supérieur ou égal à 1.

Existe-t-il une valeur de n pour laquelle p(A)= 1

4 ?

EXERCICE 2 5 points

On donne la propriété suivante :

« par un point de l’espace il passe un plan et un seul orthogonal à une droite donnée »

Sur la figure donnée en annexe, on a représenté le cube ABCDEFGH d’arête 1. On a placé :

les points I et J tels que −→ BI =

2

3

−−→ BC et

−→ EJ =

2

3

−−→ EH .

le milieu K de [IJ]. On appelle P le projeté orthogonal de G sur le plan (FIJ).

Partie A

1. Démontrer que le triangle FIJ est isocèle en F.

En déduire que les droites (FK) et (IJ) sont orthogonales.

On admet que les droites (GK) et (IJ) sont orthogonales.

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

2. Démontrer que la droite (IJ) est orthogonale au plan (FGK).

3. Démontrer que la droite (IJ) est orthogonale au plan (FGP).

4. a. Montrer que les points F, G, K et P sont coplanaires.

b. En déduire que les points F, P et K sont alignés.

Partie B

L’espace est rapporté au repère orthonormal (

A ; −−→ AB ,

−−→ AD ,

−→ AE

)

.

On appelle N le point d’intersection de la droite (GP) et du plan (ADB). On note (x ; y ; 0) les coordonnées du point N .

1. Donner les coordonnées des points F, G, I et J.

2. a. Montrer que la droite (GN ) est orthogonale aux droites (FI) et (FJ).

b. Exprimer les produits scalaires −−→ GN ·−→FI et −−→GN ·−→FJ en fonction de x et y .

c. Déterminer les coordonnées du point N .

3. Placer alors le point P sur la figure en annexe.

EXERCICE 3 5 points

Les parties A et B sont indépendantes.

Partie A

On considère l’ensemble (E) des suites (xn ) définies surN et vérifiant la relation sui- vante :

pour tout entier naturel n non nul, xn+1− xn = 0,24xn−1 .

1. On considère un réel λ non nul et on définit sur N la suite (tn ) par tn =λn . Démontrer que la suite (tn) appartient à l’ensemble (E) si et seulement si λ est solution de l’équation λ2−λ−0,24 = 0. En déduire les suites (tn ) appartenant à l’ensemble (E).

On admet que (E) est l’ensemble des suites (un ) définies sur N par une rela- tion de la forme :

un =α(1,2)n +β(−0,2)n α et β sont deux réels.

2. On considère une suite (un ) de l’ensemble (E).

Déterminer les valeurs de α et β telles que u0 = 6 et u1 = 6,6.

En déduire que, pour tout entier naturel n, un = 39

7 (1,2)n +

3

7 (−0,2)n .

3. Déterminer lim n→+∞

un .

Partie B

On considère la suite (vn) définie sur N par :

v0 = 6 et, pour tout entier naturel n, vn+1 = 1,4vn −0,05v2n 1. Soit f la fonction définie sur R par f (x)= 1,4x−0,05x2 .

a. Étudier les variations de la fonction f sur l’intervalle [0 ; 8].

b. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n,

06 vn < vn+1 6 8. 2. En déduire que la suite (vn) est convergente et déterminer sa limite .

Polynésie 56 septembre 2008

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

EXERCICE 4 6 points

On considère la fonction f définie sur R par

f (x)= ln (

ex +2e−x )

.

La courbe (C ) représentative de la fonction f dans un repère orthogonal est donnée en annexe.

Partie A - Étude de fonction f .

1. Montrer que, pour tout réel x, f (x)= x+ ln (

1+2e−2x )

.

On admet que, pour tout réel x, f (x)=−x+ ln (

2+e2x )

.

2. Calculer lim x→+∞

f (x) et montrer que la droite (d) d’équation y = x est asymp- tote à (C ).

Étudier la position relative de (C ) et de (d).

3. Calculer lim x→−∞

f (x) et montrer que la droite (d′) d’équation y = −x + ln2 est asymptote à (C ).

4. Étudier les variations de la fonction f .

Montrer que le minimum de la fonction f est égal à 3

2 ln2.

5. Tracer les droites (d) et (d′) sur la feuille annexe.

Partie B - Encadrement d’une intégrale.

On pose I = ∫3

2 [ f (x)− x]dx.

1. Donner une interprétation géométrique de I .

2. Montrer que, pour tout X ∈ [0 ; +∞[, ln(1+X )6 X .

3. En déduire que 06 I 6 ∫3

2 2e−2x dx et donner un encadrement de I d’ampli-

tude 0,02.

Polynésie 57 septembre 2008

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

Annexe

Cette page sera complétée et remise avec la copie à la fin de l’épreuve.

EXERCICE 2

A

B C

D

E

F

G

H

I

J

K +

EXERCICE 4

1

2

3

4

5

0 1 2 3 4 5−1−2−3−4−5−6-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 0

1

2

3

4

5

6

−→ ı

−→

Polynésie 58 septembre 2008

Durée : 4 heures

[ Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie novembre 2008\

EXERCICE 1 3 points Commun à tous les candidats

Dans l’espace rapporté à un repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→ ,

−→ k )

on considère les points :

A(3 ; −2 ; 1) B(5 ; 2 ; −3) C(6 ; −2 ; −2) D(4 ; 3 ; 2)

1. Montrer que les points A, B et C ne sont pas alignés, puis que le triangle ABC est isocèle et rectangle.

2. a. Montrer que le vecteur −→ n (2 ; 1 ; 2) est un vecteur normal au plan (ABC).

b. En déduire une équation du plan (ABC).

c. Montrer que la distance du point D au plan (ABC) est égale à 3.

3. Calculer le volume du tétraèdre ABCD en unités de volume.

EXERCICE 2 5 points Pour les candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal (

O, −→ u ,

−→ v )

.

1. On considère les points A, B et C d’affixes respectives zA = 2+2i, zB = 2i et zC = 2 ainsi que le cercle Γ de centre A et de rayon 2. La droite (OA) coupe le cercle Γ en deux points H et K tels que OH < OK. On note zH et zK les affixes respectives des points H et K,

a. Faire une figure en prenant 1 cm comme unité graphique.

b. Calculer la longueur OA. En déduire les longueurs OK et OH.

c. Justifier, à l’aide des notions demodule et d’argument d’un nombre com- plexe, que

zK = (

2 p 2+2

)

ei π 4 zH =

(

2 p 2−2

)

ei π 4 .

Dans toute la suite, on considère l’application f du plan qui à tout point M d’affixe z 6= 0 associe le point M ′ d’affixe z ′ telle que :

z ′ = −4 z

.

2. a. Déterminer et placer les points images de B et C par f .

b. On dit qu’un point est invariant par f s’il est confondu avec son image.

Déterminer les points invariants par f .

3. a. Montrer que pour tout point M distinct de O, on a :

OM ×OM ′ = 4.

b. Déterminer arg (

z ′ )

en fonction de arg(z).

4. Soient K′ et H′ les images respectives de K et H par f .

a. Calculer OK′ et OH′.

b. Démontrer que zK′ = (

2 p 2−2

)

ei 3π 4 et zH′ =

(

2 p 2+2

)

ei 3π 4 .

c. Expliquer comment construire les points K′ et H′ en utilisant uniquement la règle et le compas à partir des points K et H. Réaliser la construction.

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

EXERCICE 2 5 points Pour les candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct (

O ; −→ OI ;

−→ OJ

)

. On consi-

dère les points A et B d’affixes respectives zA = 2 et zB = 3

2 + i.

On considère les points M, N et P tels que les triangles AMB, BNO et OPA soient des triangles rectangles isocèles de sens direct comme le montre la figure ci-dessous.

b

A

b B

b

P

O b

b

b

N

M

x

y

On note s1 la similitude directe de centre A qui transforme M en B. On note s2 la similitude directe de centre O qui transforme B en N. On considère la transformation r = s2 ◦ s1.

Le but de l’exercice est de démontrer de deux façons différentes que les droites (OM) et (PN) sont perpendiculaires.

1. À l’aide des transformations

a. Donner l’angle et le rapport de s1 et de s2.

b. Déterminer l’image du pointM puis celle du point I par la transformation r .

c. Justifier que r est une rotation d’angle π

2 dont on précisera le centre.

d. Quelle est l’image du point O par r ?

e. En déduire que les droites (OM) et (PN) sont perpendiculaires.

2. En utilisant les nombres complexes

a. Donner les écritures complexes de s1 et s2. On utilisera les résultats de la question 1. a.

b. En déduire les affixes zM et zN des points M et N.

c. Donner, sans justification, l’affixe zP du point P puis démontrer que les droites (OM) et (PN) sont perpendiculaires.

EXERCICE 3 4 points Commun à tous les candidats

Un joueur lance une bille qui part de A puis emprunte obligatoirement une des branches indiquées sur l’arbre ci-dessous pour arriver à l’un des points D, E, F et G.

Nouvelle-Calédonie 60 novembre 2008

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

A

B (0 pt)

8

9

D (0 pt)

8

9

E (10 pts)

1

9

C (10 pts)

1

9

F (0 pt)

8

9

G (10 pts)

1

9

On a marqué sur chaque branche de l’arbre la probabilité pour que la bille l’em- prunte après être passé par un nœud. Les nombres entre parenthèses indiquent les points gagnés par le joueur lors du passage de la bille. On note X la variable aléatoire qui correspond au nombre total de points gagnés à l’issue d’une partie c’est-à-dire une fois la bille arrivée en D, E, F ou G.

1. Dans cette question, les résultats sont attendus sous forme fractionnaire.

a. Déterminer la loi de probabilité de X.

b. Calculer l’espérance de X.

c. Calculer la probabilité que la bille ait suivi la branche AC sachant que le joueur a obtenu exactement 10 points.

2. Le joueur effectue 8 parties et on suppose que ces huit parties sont indépen- dantes. On considère qu’une partie est gagnée si le joueur obtient 20 points à cette partie.

a. Calculer la probabilité qu’il gagne exactement 2 parties. On donnera le résultat arrondi aumillième

b. Calculer la probabilité qu’il gagne au moins une partie. On donnera le résultat arrondi aumillième.

EXERCICE 4 5 points Commun à tous les candidats

PARTIE A

On considère la fonction f définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par

f (x)= lnx−2+ x.

1. Déterminer les limites de la fonction f en 0 et en +∞. 2. Étudier le sens de variation de la fonction f puis dresser son tableau de va-

riations.

3. Montrer que l’équation f (x) = 0 admet une unique solution α dans l’inter- valle ]0 ; +∞[. Donner un encadrement du nombre α à 10−2 près.

PARTIE B

Le plan est muni d’un repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→ )

.

On considère sur le graphique ci-dessous, la courbe représentative C de la fonction ln, ainsi que la droite D d’équation y = 2− x. On note E le point d’intersection de la courbe C et de la droite D.

Nouvelle-Calédonie 61 novembre 2008

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

1

2

3

4

−1

−2

1 2 3 4 5 6−1−2−3

E

x

y

y = lnx

y = 2−

x

On considère l’aire en unités d’aire, notée A , de la partie du plan située au dessus de l’axe des abscisses et au dessous de la courbe C et de la droite D.

1. Déterminer les coordonnées du point E.

2. Soit I = ∫α

1 lnx dx.

a. Donner une interprétation géométrique de I .

b. Calculer I , en fonction de α, à l’aide d’une intégration par parties.

c. Montrer que I peut aussi s’écrire I =−α2+α+1 sachant que f (α)= 0. 3. Calculer l’aire A en fonction de α.

EXERCICE 5 3 points Commun à tous les candidats

PARTIE A

On considère la fonction f définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par

f (x)= x

ex −1 .

1. Restitution organisée de connaissances :

La fonction exponentielle est l’unique fonction g dérivable sur R vérifiant

{

g ′(x) = g (x) pour tout x ∈R. g (0) = 1

Démontrer que lim h→0

eh −1 h

= 1.

2. Déterminer la limite de la fonction f en 0.

3. Déterminer la limite de la fonction f en +∞.

PARTIE B

Soit (un ) la suite définie pour n entier supérieur ou égal à 1 par :

un = 1

n

[

1+e 1 n +e

2 n +·· ·+e

n−1 n

]

Nouvelle-Calédonie 62 novembre 2008

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

1. Démontrer que 1+e 1 n +e

2 n +·· ·+e

n−1 n =

1−e

1−e 1 n

puis en déduire que

un = (e−1) f (

1

n

)

.

2. En déduire, en utilisant aussi la PARTIE A, que la suite (un ) converge vers e−1.

Nouvelle-Calédonie 63 novembre 2008

Durée : 4 heures

[ Baccalauréat S Amérique du Sud novembre 2008\

EXERCICE 1 5 points Commun à tous les candidats

Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé (

O, −→ u ,

−→ v )

, on considère

les points A, B, C d’affixes respectives a =−1+2i, b = 1+3i, c = 4i.

1. Montrer que le triangle ABC est isocèle en A.

2. Soit I le milieu de [BC] et zI son affixe.

a. Quel est l’ensemble des points M du plan distincts de A dont l’affixe z est

telle que zzI za

soit un réel ?

b. Déterminer l’unique réel x tel que xzI xa

soit un réel.

c. Soit z−→ AI

l’affixe du vecteur −→ AI , donner une forme trigonométrique de z−→

AI .

3. a. Soit G le point d’affixe −3. Montrer qu’il existe deux rotations de centre G, dont on déterminera les angles, telles que les images de A et I par ces rotations soient toutes deux sur l’axe des réels.

b. Soit r1 la rotation de centre G et d’angle de mesure − π

4 .

Déterminer l’écriture complexe de r1.

4. Soit A′, B′ et C′ les images respectives de A, B, et C par la rotation r1 ; soient a′, b′ et c ′ leurs affixes.

Quelle est l’image par r1 de l’axe de symétrie du triangle ABC?

En déduire que b′ = c ′.

EXERCICE 2 5 points Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Une unité de longueur étant choisie dans l’espace, on considère un pavé droit ABCDEFGH tel que : AB = 1, AD = 2 et AE = 1. On appelle I le milieu de [AD].

A

B C

D

E

F G

H

I

L’espace est muni du repère orthonormé (

A ; −−→ AB ;

−→ AI ;

−→ AE

)

.

1. Déterminer, dans le repère choisi, les coordonnées des points F, G, H.

2. a. Montrer que le volume V du tétraèdre GFIH est égal à 1

3 .

b. Montrer que le triangle FIH est rectangle en I.

En exprimant V d’une autre façon, calculer la distance d du point G au plan (FIH).

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

3. Soit le vecteur −→ n de coordonnées (2 ; 1 ; −1).

a. Montrer que le vecteur −→ n est normal au plan (FIH).

b. En déduire une équation cartésienne du plan (FIH).

c. Retrouver par une autre méthode la distance d du point G au plan (FIH).

4. a. La droite (AG) est-elle perpendiculaire au plan (FIH) ?

b. Donner un système d’équations paramétriques de cette droite.

c. Déterminer les cordonnées du point d’intersection K de (AG) et de (FIH).

5. Dans cette question, toute trace de recherche,même incomplète, ou d’initiative même infructueuse sera prise en considération dans l’évaluation.

Soit Γ la sphère de centre G passant par K.

Quelle est la nature de l’intersection de Γ et du plan (FIH) ?

(On ne demande pas de préciser les éléments caractérisant cette intersec- tion)

EXERCICE 2 5 points Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

L’espace est muni d’un repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→ ,

−→ k )

.

SoitD la droite passant par le point A de coordonnées (0 ; 0 ; 2) et de vecteur directeur −→ u de coordonnées (1 ; 1 ; 0) et soitD ′ la droite dont une représentation paramétrique est :

x = t y = −t z = −2

(t ′ ∈R)

Le but de l’exercice est d’étudier l’ensemble S des points de l’espace équidistants de D et deD ′.

1. Une équation de S

a. Montrer que D et D ′ sont orthogonales et non coplanaires.

b. Donner une représentation paramétrique de la droiteD.

Soit M un point de l’espace de coordonnées (x ; y ; z) et H le projeté

orthogonal deM surD. Montrer que −−−→ MH a pour coordonnées

(−x+ y 2

; xy 2

; 2− z )

.

En déduireMH2 en fonction de x, y et z.

Soit K le projeté orthogonal de M sur D ′. Un calcul analogue au précé-

dent permet d’établir que :MK 2 = (x+ y)2

2 + (2+ z)2, relation que l’on ne

demande pas de vérifier.

c. Montrer qu’un point M de coordonnées (x ; y ; z) appartient à S si et

seulement si z =− 1

4 xy .

2. Étude de la surface S d’équation z =− 1

4 x y

a. On coupe S par le plan (xOy). Déterminer la section obtenue.

b. On coupe S par un plan P parallèle au plan (xOy).

Quelle est la nature de la section obtenue ?

c. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’ini- tiative même infructueuse sera prise en considération dans l’évaluation.

On coupe S par le plan d’équation x + y = 0. Quelle est la nature de la section obtenue ?

Amérique du Sud 65 novembre 2008

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

EXERCICE 3 3 points Commun à tous les candidats

Dans cet exercice, on demande aux candidats d’établir, en suivant la démarche pro-

posée, deux résultats de cours.

On rappelle que la fonction ln est définie et dérivable sur ]0 ; +∞[, positive sur [1 ; +∞[, et vérifie :

ln1= 0 Pour tous réels strictement positifs x et y, ln(xy)= lnx+ ln y

Pour tout réel strictement positifx, [ln(x)]′ = 1

x ln(2)≈ 0,69 à 10−2 près

1. On considère la fonction f définie sur ]0 ; +∞[ par

f (x)= p x− lnx.

a. Étudier les variations de f et en déduire que f admet un minimum sur ]0 ; +∞[.

b. En déduire le signe de f puis que, pour tout x > 1, 0< lnx

x <

p x

x .

c. En déduire que lim x→+∞

lnx

x = 0.

2. Soit n un entier naturel non nul. On considère la fonction fn définie sur ]0 ; +∞[ par :

fn (x)= lnx

x 1 n

.

En utilisant la question 1., déterminer, si elle existe, la limite en +∞ de la fonction fn .

EXERCICE 4 7 points Commun à tous les candidats

1. Résoudre l’équation différentielle :

2y ′+ y = 0 (E), dont l’inconnue est une fonction définie et dérivable sur R.

2. On considère l’équation différentielle :

2y ′+ y = e− x 2 (x+1) (E′)

a. Déterminer deux réelsm et p tels que la fonction f définie sur R par :

f (x)= e− x 2 (

mx2+px )

soit solution de (E′).

b. Soit g une fonction définie et dérivable sur R. Montrer que g est solution de l’équation (E′) si et seulement si g f est solution de l’équation (E). Résoudre l’équation (E′).

3. Étudier les variations de la fonctionh définie surRpar :h(x)= 1

4 e−

x 2 (

x2+2x )

.

4. Déterminer les limites en −∞ et en +∞ de la fonction h. 5. Dans le plan rapporté à un repère orthonormé

(

O, −→ ı ,

−→ )

, onnoteC la courbe

représentative de h et Γ celle de la fonction : x 7−→ e− x 2 .

a. Étudier les positions relatives de C et Γ.

b. Tracer ces deux courbes sur un même graphique.

Amérique du Sud 66 novembre 2008

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