Série de mathématique – correction –  8, Exercices de Mathématiques
Eusebe_S
Eusebe_S14 April 2014

Série de mathématique – correction – 8, Exercices de Mathématiques

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Série de mathématique – correction – 8. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l'équation cartésienne du plan P, dèduction de l'encadrement.
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CentresetrangersS17juin2008.dvi

Durée : 4 heures

Baccalauréat S Centres étrangers 17 juin 2008

EXERCICE 1 4 points Commun à tous les candidats

L’espace est rapporté au repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→ ,

−→ k )

. On considère les points :

A(2 ; 1 ; −1), B(−1 ; 2 ; 4), C(0 ; −2 ; 3), D(1 ; 1 ; −2)

et le plan P d’équation x−2y + z+1= 0. Pour chacune des huit affirmations suivantes, dire, sans justifier, si elle est vraie ou si

elle est fausse.

Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et l’un des deux mots

VRAI ou FAUX correspondant à la réponse choisie. Une réponse exacte rapporte 0,5 point. Une réponse inexacte enlève 0,25 point. L’ab- sence de réponse n’apporte ni n’enlève aucun point.

Si le total est négatif, la note de l’exercice est ramenée à 0.

1. Affirmation 1 : les points A, B et C définissent un plan.

2. Affirmation 2 : la droite (AC) est incluse dans le plan P .

3. Affirmation 3 : une équation cartésienne du plan (ABD) est : x+8yz−11= 0.

4. Affirmation 4 : une représentation paramétrique de la droite (AC) est : 

x = 2k y = 2+3k z = 3−4k

(k ∈R).

5. Affirmation 5 : les droites (AB) et (CD) sont orthogonales.

6. Affirmation 6 : la distance du point C au plan P est égale à 4 p 6

7. Affirmation 7 : la sphère de centre D et de rayon

p 6

3 est tangente au plan P .

8. Affirmation 8 : le point E

(

− 4

3 ; 2

3 ; 5

3

)

est le projeté orthogonal du point C sur

le plan P .

EXERCICE 2 5 points Réservé aux candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v )

; l’unité gra-

phique est 1 cm.

1. Résoudre, dans l’ensemble des nombres complexes, l’équation :

z2+4z+8= 0.

On donnera les solutions sous forme algébrique, puis sous forme trigonomé- trique.

2. On note A et B les points du plan d’affixes respectives : a = 2−2i et b = −a. Placer ces points sur un graphique qui sera complété au fil de l’exercice.

a. Déterminer l’affixe c dupointC, imagedupoint Bpar la rotationde centre

O et d’angle π

2 .

b. On note D l’image de C par la rotation de centre A et d’angle π

2 ; démon-

trer que l’affixe d du point D est d = 2−6i.

A. P. M. E. P. Baccalauréat S

c. Placer les points C et D sur le graphique Quelle est la nature du quadrila- tère ABCD?

3. α étant unnombre réel nonnul, ondésignepar, le barycentre du système :

{(A ; 1) ; (B ; −1) ; (C ; α)} .

a. Exprimer le vecteur −−−→ Cen fonction du vecteur

−−→ BA .

b. Endéduire l’ensemble des pointslorsqueαdécrit l’ensemble des réels non nuls. Construire cet ensemble.

c. Pour quelle valeur de α a-t-on=D?

4. On suppose dans cette question que α= 2.

Dans cette question, toute trace de recherche,même incomplète, ou d’initiative

non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

Déterminer et construire l’ensemble des points M du plan tels que :

−−→ MA −

−−→ MB +2

−−→ MC

∥= 4 p 2.

EXERCICE 2 5 points Réservé aux candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v )

l’unité gra-

phique est 2 cm. On considère les points A, B, C, D et E d’affixes respectives :

a = 2, b = 2+3i, c = 3i , d =− 5

2 +3i et e =−

5

2 .

1. Placer ces cinq points sur un graphique qui sera complété au fil de l’exercice.

2. On admet que deux rectangles sont semblables si et seulement si le rapport de la longueur sur la largeur est le même pour les deux rectangles.

Démontrer queOABCet ABDE sont deux rectangles et qu’ils sont semblables.

3. Étude d’une similitude directe transformant OABC en ABDE

a. Déterminer l’écriture complexe de la similitude directe s qui transforme O en A et A en B.

b. Démontrer que la similitude s transforme OABC en ABDE.

c. Quel est l’angle de la similitude s ?

d. SoitΩ le centre de cette similitude. En utilisant la composée s s, démon- trer que le point Ω appartient aux droites (OB) et (AD). En déduire la po- sition du pointΩ.

4. Étude d’une similitude indirecte transformant OABC en BAED

a. Montrer que l’écriture complexe de la similitude indirecte s′ qui trans- forme O en B et qui laisse A invariant est :

z ′ =− 3

2 iz+2+3i

z désigne le conjugué du nombre complexe z.

b. Montrer que s′ transforme OABC en BAED.

c. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’ini- tiative non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

Démontrer que s′ est la composée de la réflexion d’axe (OA) suivie d’une similitude directe dont on précisera les éléments caractéristiques.

Centres étrangers 2 17 juin 2008

A. P. M. E. P. Baccalauréat S

EXERCICE 3 4 points Commun à tous les candidats

Le secteur de production d’une entreprise est composé de 3 catégories de person- nel :

• les ingénieurs ; • les opérateurs de production ; • les agents de maintenance.

Il y a 8% d’ingénieurs et 82% d’opérateurs de production. Les femmes représentent 50% des ingénieurs, 25% des agents demaintenance et 60% des opérateurs de pro- duction.

I. Partie A

Dans cette partie, on interroge au hasard un membre du personnel de cette entre- prise. On note :

• M l’évènement : « le personnel interrogé est un agent de maintenance » ; • O l’évènement : « le personnel interrogé est un opérateur de production » ; • I l’évènement : « le personnel interrogé est un ingénieur » ; • F l’évènement : « le personnel interrogé est une femme ».

1. Construire un arbre pondéré correspondant aux données.

2. Calculer la probabilité d’interroger :

a. un agent de maintenance ;

b. une femme agent de maintenance ;

c. une femme,

II. Partie B

Le service demaintenance effectue l’entretien desmachines, mais il est appelé aussi à intervenir en cas de panne. Pour cela une alarme est prévue ; des études ont mon- tré que sur une journée :

• la probabilité qu’il n’y ait pas de panne et que l’alarme se déclenche est égale à 0,002 ;

• la probabilité qu’une panne survienne et que l’alarme ne se déclenche pas est égale à 0,003 ;

• la probabilité qu’une panne se produise est égale à 0,04. On note :

• A l’évènement : « l’alarme se déclenche » ; • B l’évènement : « une panne se produit » ;

1. Démontrer que la probabilité qu’une panne survienne et que l’alarme se dé- clenche est égale à 0,037.

2. Calculer la probabilité que l’alarme se déclenche.

3. Calculer la probabilité qu’il y ait unepanne sachant que l’alarme se déclenche.

EXERCICE 4 7 points Commun à tous les candidats

I. Restitution organisée des connaissances

Prérequis : on rappelle que : lim x→+∞

ex

x =+∞.

1. Démontrer que lim x→+∞

lnx

x = 0.

2. En déduire que pour tout entier naturel n non nul : lim x→+∞

lnx

xn = 0.

Centres étrangers 3 17 juin 2008

A. P. M. E. P. Baccalauréat S

II. Étude d’une fonction f

Soit f la fonction définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par :

f (x)= x− lnx

x2 .

On note C sa courbe représentative dans un repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→ )

(unité

graphique 2 cm).

1. Soit u la fonction définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par u(x)= x3−1+2lnx.

a. Étudier le sens de variation de la fonction u sur l’intervalle ]0 ; +∞[.

b. Calculer u(1) et en déduire le signe de u(x) pour x appartenant à l’inter- valle ]0 ; +∞[.

2. Étude de la fonction f

a. Déterminer les limites de f en 0 et en +∞.

b. Déterminer la fonction dérivée de f et construire le tableau de variations de la fonction f .

3. Éléments graphiques et tracés.

a. Démontrer que la droite (∆) d’équation y = x est asymptote oblique à la courbe C .

b. Déterminer la position de C par rapport à (∆).

c. Tracer la courbe C et la droite (∆).

Calculs d’aires

Onnoteαunnombre réel strictement positif et on désigne parA (α) l’aire, exprimée en unités d’aire, de la partie du plan délimitée par la courbe C , la droite (∆) et les droites d’équation x = 1 et x =α.

1. On suppose dans cette question que α> 1.

a. À l’aide d’une intégration par parties, démontrer que :A (α)= 1− lnα

α − 1

α .

b. Déterminer la limite de A (α) lorsque α tend vers +∞.

2. Dans cette question, toute trace de recherche,même incomplète, ou d’initiative non fructueuse sera prise en compte dans l’évaluation.

Démontrer que =A

(

1

e

)

.

Centres étrangers 4 17 juin 2008

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