Série de mathématique - exercices de mathématique 1, Exercices de Mathématiques Appliqués. Ecole Supérieure d'Ingénieurs de Marseille

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Exercices de mathématique sur la variations et la représentation graphique - 1 Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les trapèzes isocèles, le cercle fixe.
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[ Baccalauréat Aix-Marseille juin 1948 \

SÉRIE MATHÉMATIQUES

Exercice 1 (au choix)

1er sujet. - Variations et représentation graphique de

y = x2−2x +1

x2−2x +3 .

2e sujet. - Un point matériel pesant se déplace sur un cercle situé dans un plan ver- tical. Positions d’équilibre (sans frottement et avec frottement).

3e sujet. - Plus petit commun multiple de plusieurs nombres.

Exercice 2

On considère les trapèzes isocèles dont un des côtés non parallèles AB est fixe et dont les diagonales AC et BD ont une longueur donnée d . On désigne par a la lon- gueur AB et l’on suppose d > a.

1. Quels sont les lieux géométriques des milieux I et J des côtés parallèles AD et BC ? du point commun M aux diagonales ?

Quelle est l’enveloppe de la droite IJ ?

Évaluer en fonction de a et d le produit AI · BJ.

2. On suppose (pour cette question) d = 2a et l’on appelle ϕ l’angle AMB.

Écrire les équations qui permettraient, ϕ étant connu, de calculer les lon- gueurs AM = x et BM = y .

En déduire queϕ doit être compris entre certaines limites qu’on déterminera.

3. Soient P et Q les milieux de AC et BD, O le milieu de AB.

Montrer que O, P, Q sont alignés et que le cercle de centre M qui passe par P et Q reste orthogonal à un cercle fixe et tangent à deux autres cercles fixes.

Lieu géométrique du pôle de la droite PQ par rapport au cercle de centre M.

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