Série de mathématique - exercices de mathématique 10, Exercices de Mathématiques

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Exercices de mathématique sur la la racine carrée arithmétique 10. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Définition et propriétés du plus grand commun diviseur, l’angle opposé.
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[ Baccalauréat La Guyane juin 1948 \

SÉRIE MATHÉMATIQUES

Exercice 1 (au choix)

1er sujet. - Définir la racine carrée arithmétique à 1

10 près par défaut d’un nombre

positif A, entier ou fractionnaire non carré parfait. Justifier la règle permettant de la calculer.

2e sujet. - Définition et propriétés du plus grand commun diviseur de deux nombres (on n’utilisera pas la décomposition en facteurs premiers).

3e sujet. - Résoudre un triangle, connaissant deux côtés et l’angle opposé à l’un d’eux. Discuter.

Exercice 2

On considère dans un plan un point fixe O et une droite D. On désigne par d la distance de O à la droite D. À tout point M de D on associe le cercle (M) de centre ω lieu des points K tels que KO

KM = 2.

1. Prouver que le lieu deω lorsque M décrit D est une droite.

2. D?terminer les cercles (M) qui passent par un point donné A du plan.

Discuter suivant la position de A dans le plan et indiquer le lieu des points A par lesquels passe un seul cercle (M).

3. La perpendiculaire à Dmenée par le point M coupe le cercle (M) en P et P′.

Trouver le lieu géométrique H des points P et P′.

Le comparer au lieu que A défini dans la deuxième question.

Prouver que la courbe H et le cercle (M) sont tangents en P et P′.

On pourra pour cela utiliser - en le démontrant au préalable - le fait que les quatre points O, P, P′, ω sont sur un même cercle.

4. Trouver, lorsque M décrit la droite D, le lieu des points de contact T et T′ des tangentes menées de O au cercle (M) ; trouver l’enveloppe de la droite TT′.

5. Soit (M′) le cercle de centreω′ inverse du cercle (M) dans l’inversion de centre O de puissance 2d2.

Montrer que les cercles (M′) sont orthogonaux à un cercle fixe, que le rayon

du cercle (M′) est égal à Oω

2 , et déterminer le lieu de ω′ lorsque M décrit D.

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