Série de mathématique - exercices de mathématique 4, Exercices de Mathématiques

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Exercices de mathématique sur l'asymptotes de la courbe - 4 Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Position de la courbe par rapport à ses asymptotes, Point d’intersection de la courbe, la directrice est ou non...
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[ Baccalauréat Bordeaux juin 1948 \

SÉRIE MATHÉMATIQUES ET TECHNIQUE

Exercice 1 (au choix)

1er sujet. - Asymptotes de la courbe

y = x2+7x +8 x2+6x +5

.

Position de la courbe par rapport à ses asymptotes.

Point d’intersection de la courbe avec son asymptote parallèle à Ox ?

La courbe possède-t-elle un centre de symétrie ?

Pouvez-vous prévoir l’allure de la courbe (on ne calculera pas la dérivée) ?

2e sujet. - Caractère de divisibilité par 11.

3e sujet. - Dérivées de y = sinx et de y = cosx.

Exercice 2

On donne un plan (P), un point O de ce plan et un nombre algébrique k.

Partie A

1. Construire géométriquement deux points inverses dans l’inversion de centre O, de puissance k, connaissant leur distance BC = 2. Discuter selon qu’on a k > 0 ou k < 0. Si (Γ) désigne le cercle de centre O, de rayon a =

√ |k|, comment les cercles

passant par B et C coupent-ils (Γ) ?

2. Montrer que le 1. permet de déterminer les coniques ayant pour axe focal une droite donnée Ox, pour cercle principal (Γ) et pour distance entre un foyer et

une directrice la longueur 2.

Distinguer deux cas suivant que la directrice est ou non associée au foyer.

Partie B

Onsuppose construits deuxpoints B, Cdu début dans le cas d’une inversion positive

k = a2 (OB< a). On désigne par A un point double de l’inversion, par (T) un triangle ABC variable avec A (B et C étant fixes).

1. Quelles propriétés géométriques simples, invariantes quandA varie, apercevez- vous dans les triangles (T) ?

2. (T) est-il déterminé quand on connait le rapport AD

AD′ des deux bissectrices

issues de A (AD bissectrice intérieure, AD′ extérieure) ?

Faire le calcul des angles de (T) si AD

AD′ =

1 p 3 .

N. B. - On démontrera les relations

AD

AD′ = tg

B−C 2

, AH=ADcos B−C 2

= BCsinBsinC

sin(B+C) (AHhauteur issue deA), relations valables dans un triangle quelconque, qu’on

appliquera en tenant compte des hypothèses actuelles.

3. Construire géométriquement A pour que B̂− Ĉ= π

2 et vérifier que l’hyperbole

équilatère .de sommets B et C passe par les deux points ainsi obtenus.

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