Série de mathématique - exercices de mathématique 6, Exercices de Mathématiques

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Exercices de mathématique sur la série mathématiques et mathématiques et technique - 6 Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les tables de logarithmes, le point de contact de OM.
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[ Baccalauréat Clermont juin 1948 \

SÉRIE MATHÉMATIQUES ET MATHÉMATIQUES ET TECHNIQUE

Exercice 1 (au choix)

1er sujet. - En supposant que la fonction u(x) de la variable indépendante x soit dé-

finie, non nulle, positive dans l’intervalle (a, b) et admette dans cet intervalle une

dérivée u′(x), montrer que la fonction de x, y = p

u(x), admet une dérivée par rap-

port à x dans le même intervalle et calculer cette dérivée.

On pourra soit traiter la question telle qu’elle est posée ci-dessus, soit raisonner

en prenant pour u une fonction déterminée, par exemple cosx dans l’intervalle (

π

4 ; π

4

)

ou toute autre au choix du candidat.

2e sujet. - Résoudre avec l’aide des tables de logarithmes à cinq décimales l’équation

1,6cosx +0,4sin x = 1.

On donnera les valeurs des solutions à un décigrade près par défaut.

3e sujet. - Après avoir donné une définition des asymptotes de l’hyperbole, on en

énoncera et l’on en démontrera, à partir de la définition choisie, les principales pro-

priétés.

Exercice 2

Soient dans un pian : une droite fixe (D), un point A fixe sur (D), un point fixe B non

situé sur (D) et tel que AB ne soit pas perpendiculaire à (D).

On désignera par I le milieu de AB, par (I′) la médiatrice, de AB, par J la projection

orthogonale deB surD et parα la détermination comprise entre− π

2 et+

π

2 de l’angle

de droites (AB, D).

Un cercle variable (O), de centre O, passe constamment par les points fixes A et B. Il

recoupe (D) en un second, point M variable, On désignera par (T) la tangente en M

à ce cercle.

1. On projette orthogonalement B en u sur OM, en u′ sur (T). Montrer qu’il existe, lorsque O varie, une similitude (S) (le centre B qui transforme constam-

ment O en M.

Calculer l’angle et le rapport de cette similitude en fonction de l’angle α.

Montrer que O et u, O et u′, u et u′ sont respectivement couples homologues

dans des similitudes (S1) , (S2) , (S3) dont on déterminera aussi les angles et les

rapports en fonction de α.

2. a. Quel est le lieu ∆ de u ? Pour le placer sur la figure, on cherchera ses points d’intersection avec AB et (D).

Quelle est l’enveloppe (U) de OM? Construire le point de contact de OM

et de (U).

b. Quel est le lieu ∆′, de u′ ? En quel point ∆′ coupe-t-elle (D) ? Quel est l’angle de ∆ et ∆′ ?

Quelle est l’enveloppe (U′) de T ?

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

c. Montrer que (U′) est tangente à (D) et trouver le point de contact.

Montrer que (U) est tangente à (U′) en un point K et à (D) en un point A′.

Préciser la position de K et de A′.

Montrer en outre que (U′) est tangente à la perpendiculaire en A′ à (D)

et que (U) est tangente à la perpendiculaire en A′ à (D) ; on précisera la

position des points de contact.

3. On considère deux cercles (O′) et (O′′) de la famille ; les droites (T) correspon- dantes : (T’) tangente, à (O′) en M′ et (T′) tangente à (O′) enM′, se coupent en

un point P.

a. Montrer que le cercle circonscrit au triangle PM′M′′ passe par B.

b. Quel est le lieu (H) du centre ω de ce cercle lorsque les deux cercles (O′) et (O′′) varient demanière que leur angle reste constant ? Préciser les élé-

ments de ce lieu.

N. B. - Les candidats sont invités à construire autant de figures partielles qu’ils le jugeront nécessaire, en ne faisant figurer sur chacune d’elles que les éléments utiles

aux raisonnements en cours. Ils devront respecter les notations de l’énoncé.

Un candidat qui n’aurait pu établir dans 1 l’existence des similitudes pourra ad-

mettre cette existence pour traiter 2 et 3. Ces deux dernières parties sont d’ailleurs

indépendantes l’une de l’autre.

La question de cours est notée sur 10, le problème sur 20.

Clermont 2 juin 1948

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