Série de mathématique - travaux pratiques 5, Exercices de Mathématiques Appliqués

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Exercices de mathématique 5 sur la représentation d’une droite par une équation du premier degré. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Résolution et discussion de l’équation, les projections orthogonales, le ...
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[ Baccalauréat Toulouse juin 1948 \

SÉRIE MATHÉMATIQUES

Exercice 1

1er sujet. - Représentation d’une droite par une équation du premier degré ; coeffi-

cient angulaire.

2er sujet. - Résolution et discussion de l’équation

a cosx +b sinx = c

(on exposera seulement une méthode),

3er sujet. - Ellipse et cercle considérés commeprojections orthogonales l’unde l’autre.

Exercice 2

On donne dans le plan un axe dirigé x′Ox et sur cet axe deux points fixes S, S′ d’abs-

cisses respectives a,a′.

Dans toute la suite du problème, A et B sont les extrémités d’un diamètre variable

d’un cercle donné (C) de centreO et de rayonR, et A′, B′ sont les points où les droites

SA et SB coupent à nouveau respectivement le cercle (C). On supposera a positif,

pour fixer les idées, et différent de R.

1. On se place tout d’abord dans le cas où le point S′ est confondu avec le point S.

Montrer que le cercle circonscrit au triangle SAB passe par un point fixe I autre

que S ; en déduire que la droite A′B passe par un point fixe K.

Montrer que le cercle circonscrit au triangle SA′B′ est orthogonal au cercle (C)

et qu’il passe par un point fixé I′ autre que S.

Trouver les abscisses des points I, I′ et K.

Quelle particularité présente la disposition des points O, K, S, I′ ?

2. Supposant encore S′ confondu avec S, onmène les hauteurs du triangle SAB.

Trouver leurs enveloppes et le lieu de leur point de concours.

Montrer que le cercle circonscrit au triangle ayant pour sommets les pieds de

ces hauteurs coupe la droite x′Ox en deux points fixes dont on déterminera

les abscisses.

3. On se place enfin dans le cas général où les points S et S′ sont distincts, et l’on suppose a +a′ différent de zéro.

Montrer que le lieu géométrique du pointMoù se coupent les droites SA et S′B

est un cercle ; trouver en fonction de a,a′, R, l’abscisse du centre de ce cercle

et le rayon de ce cercle.

Trouver le lieu géométrique du centre du cercle circonscrit au triangle MA′B′.

Cotation : questionde cours : 10points ; problème : 1. 8 points ; 2., 6 points ; 3.,6points.

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