Série de modélisation mathématique – exercices 1, Exercices de Modélisation mathématique et simulation. Ecole Supérieure d'Ingénieurs de Marseille

Série de modélisation mathématique – exercices 1, Exercices de Modélisation mathématique et simulation. Ecole Supérieure d'Ingénieurs de Marseille

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Série de modélisation mathématique - 1 sur l'espace affine euclidien. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l’expression analytique de f sur le repère R, la rotation ponctuelle.
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[ Baccalauréat C septembre 1981 Limoges \

EXERCICE 1

1. Résoudre dans Z/7Z= {0̇, 1̇, 2̇, 3̇, 4̇, 5̇, 6̇} l’équation :

4̇x = 1.

2. Résoudre dans Z×Z, l’équation

11x+7y = 1.

3. Résoudre dans Z×Z, l’équation

319x+203y = 145.

(On pourra utiliser le 2 pour trouver une solution particulière.)

EXERCICE 2

Soit E un espace affine euclidien de dimension 3, rapporté à un repère orthonormé

R= (

O, −→ ı ,

−→ ,

−→ k

)

. On note E l’espace vectoriel associé à E. On considère l’applica-

tion affine f de E dans E déterminée de la façon suivante : le point A de coordonnées (1 ; 1 ; 1) est invariant par f et l’endomorphisme ϕ de E associé à f est tel que

ϕ (−→ ı

)

=

p 2

2

(−→ ı

−→ k

)

;

ϕ (−→

)

= 1

2

(−→ ı +

p 2 −→ +

−→ k

)

;

ϕ (k) = 1

2

(−→ ı

p 2 −→ +

−→ k

)

.

1. Donner l’expression analytique de f sur le repère R. Montrer que f est une isométrie affine.

2. Démontrer que f est une rotation ponctuelle dont on précisera l’axe.

3. On désigne par θ l’angle de la rotation f . Montrer que

θ = angle [−→ ı

−→ , ϕ

(−→ ı

−→

)]

.

En déduire cosθ.

PROBLÈME

Partie A

1. Soit la fonction numérique

fa : x 7−→ x2+ x

p 3+a

p 3

x p 3+3

a est un nombre réel non nul.

On désigne par Ca sa courbe représentative, tracée dans un plan affine eucli-

dien P rapporté à un repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

d’axes xx et y y .

Montrer queCa a deux asymptotes et un centre de symétrie ne dépendant pas de a. Étudier, suivant les valeurs de a, le sens de variations de fa .

Terminale C A. P. M. E. P.

2. Soit f la fonction correspondant à a = 3 p 3 ; sa courbe représentative est notée

C . Étudier f et tracer la courbeC .

3. Calculer, en fonction du réel h, l’aire de la partie de plan comprise entre C , son asymptote oblique, l’axe y y et la droite d’équation x = h (on suppose h >−

p 3).

Déterminer les valeurs de h pour lesquelles cette aire est égale à un nombre réel positif donné k.

Calculer cette aire pour h = 3− p 3.

Partie B

Soit T la transformation ponctuelle de P qui, à tout point M d’affixe z, fait corres- pondre le point M ′ d’affixe z ′, z et z ′ étant des nombres complexes tels que

z ′ =

(

− 1

2 − i

p 3

2

)

z− i.

(On note z le complexe conjugué de z.) Quelle est la nature de cette transformation ? Calculer les coordonnées

(

x′ ; y ′ )

de M ′ en fonction des coordonnées (x ; y) deM . Déterminer l’ensemble des points invariants par T . Identifier T avec précision.

Partie C

1. Soit C a la courbe transformée deCa par T .

Former l’équation cartésienne deC a ; démontrer que C a est une hyperbole.

Déterminer ses asymptotes. Justifier ces résultats à l’aide de la définition géo- métrique de T .

2. Construire la courbe C ′, transformée de C par T . Préciser ses sommets, ses foyers, ses directrices et son excentricité.

Limoges 2 septembre 1981

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