Série de modélisation mathématique – exercices 10, Exercices de Modélisation mathématique et simulation

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Série de modélisation mathématique - 10 sur la relation de congruencemodulo 10. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Déterminer l’ensemble D des entiers naturels n, Interpréter geométriquement le résultat obt...
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[ Baccalauréat C Orléans-Tours juin 1981 \

EXERCICE 1

On note x la classe d’un entier naturel x selon la relation de congruence modulo 10.

1. Expliciter l’ensemble C des classes des entiers n2 quand n décrit l’ensemble N des naturels.

2. Déterminer le plus petit entier naturel n0 tel que pour tout entier n supérieur ou égal à n0 on ait

(n!)= 0.

(On rappelle que pour tout entier naturel n non nul n! = 1×2×·· · ×n et que 0!= 1).

3. Pour n entier non nul on pose un = 1!+2!+3!+·· · +n!. Déterminer l’ensemble D des entiers naturels n tels que un soit un carré par- fait.

EXERCICE 2

1. Soit ϕ la fonction numérique d’une variable réelle définie par

ϕ(x)= 1−

p 1− x2

x .

a. Déterminer l’ensemble de définition de ϕ.

b. Étudier la continuité et la dérivabilité de ϕ sur son ensemble de défini- tion.

Étudier lim x→1 x>1

ϕ(x)−ϕ(1) x−1

.

Interpréter geométriquement le résultat obtenu.

2. a. Montrer qu’il existe une fonction f définie et continue sur [−1 ; 1] et telle que

x ∈ [−1 ; 0[∪ ]0 ; 1], f (x)=ϕ(x).

b. Cette fonction f est-elle dérivable en 0 ?

3. Étudier et représenter graphiquement les variations de la fonction f sur l’in- tervalle [−1 ; 1]. On précisera en particulier fG

PROBLÈME

Soit E un espace vectoriel euclidien orienté de dimension 3.

Soit B = (−→ ı ,

−→ ı ,

−→ k )

une base orthonormée directe de E.

Si −→ u et

−→ v sont des vecteurs, on noteraD−→

u la droite vectorielle de base

−→ u , P

( −→ u ;

−→ v )

le

plan vectoriel de base (−→ u ,

−→ v )

.

Partie A

1. Quelle est l’image de la base B par la projection orthogonale sur P ( −→ u ;

−→ v )

? On notera p cette projection.

Le baccalauréat de 1981 A. P. M. E. P.

2. On considère le plan vectoriel P ( −→ ı ,

−→ k )

orienté par −→ .

a. Montrer que la base (−→ k ,

−→ ı )

de ce plan est alors orientée dans P ( −→ ı ,

−→ k )

.

b. Déterminer la matrice dans (−→ k ,

−→ ı )

de la rotation vectorielle de ce

plan, de mesure α en radians (α étant un réel de [0 ; π].

Exprimer, en fonction de −→ ı et

−→ k , les images des vecteurs

−→ ı et

−→ k par

cette rotation vectorielle.

c. En déduire l’image de la base B par la rotation vectorielle de E, d’axe

D−−−−−→ jmath

orienté par −−−−−→ jmath et de mesure α en radians.

3. Soitl’image du plan vectoriel P(−→ı , −→) par la rotation vectorielle .

a. Déterminer la base de, image de (−→ ı ,

−→

)

par la rotation vectorielle .

(−→ ı )

sera noté −→ u .

b. Déterminer l’image de la base B par q , projection vectorielle orthogo- nale de E sur.

c. Vérifier que p = q . d. Montrer que dans la baseB, le vecteur de composantes (x ; y ; z ) a pour

image par q p le vecteur de composantes (

x cos2α ; y ; −x cosαsinα )

.

4. Soit −→ u le vecteur défini en 3. a.

a. Montrer que (q p) (−→ u )

= (

cos2α )

· −→ u .

b. Discuter selon les valeurs de α la nature de l’application

h : D−→ u

D−→ u−→

x 7−→ (q p) (−→ x )

.

c. Montrer que l’image, par q p, du plan vectorielest incluse dans.

5. a. Déterminer, dans la base (−→ u ,

−→

)

, la matrice de l’application linéaire

f : −→ x 7−→ (q p)

(−→ x )

.

b. Déterminer la valeur de α pour laquelle f n’est pas bijective. Que peut- on dire alors de P

( −→ ı ,

−→ )

et?

Partie B

Soit E un espace affine associé à E et rapporté à un repère orthonormé direct B = (

O, −→ ı ,

−→ ,

−→ k )

. Soitle plan affine de directionet contenant le point O.

Soit ϕ l’application de E qui au point M de coordonnées (x ; y ; z) dans B fait cor- respondre le point M ′ de coordonnées

(

x′ ; y ′ ; z ′ )

dans B telles que

x′ = x cos2α y ′ = y z = −x cosαsinα

avecα ∈ [0 ; π], α 6= π

2

1. Montrer que l’image depar l’application ϕ est contenue dans.

2. Soitψ l’application

{

Qα M 7−→ ϕ(M).

Quelle est l’expression analytique deψ dans le repère (

O ; −→ u ,

−→

)

où −→ u = cosα

−→ ı − sinα

−→ k ?

Orléans-Tours 2 juin 1981

Le baccalauréat de 1981 A. P. M. E. P.

3. Soit C la courbe du plandont les points M , de coordonnées (x ; y) dans le

repère (

O ; −→ u ,

−→

)

vérifient

9x2−18x+16y2−32y −56 = 0.

Quelle est la nature de C ?

Donner le centre et les mesures des axes.

4. Déterminer dans (

O ; −→ u ,

−→

)

une équation deψ(C ).

Quelle est la nature deψ(C ) ?

Donner le centre par ses coordonnées et préciser selon les valeurs deα la me- sure du grand axe.

Déterminer les valeurs de α pour lesquelles ψ(C ) est un cercle dont on préci- sera le rayon.

Orléans-Tours 3 juin 1981

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