Série de modélisation mathématique – exercices 2, Exercices de Modélisation mathématique et simulation

Série de modélisation mathématique – exercices 2, Exercices de Modélisation mathématique et simulation

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Série de modélisation mathématique - 2 sur l’aire du domaine limité par la courbe (C). Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le plan affine euclidien rapporté à un repère orthonormé, les suites arithmétiques.
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[ Baccalauréat C septembre 1981 Lyon \

EXERCICE 1

Soit la fonction

f : x 7−→ x+Log (x+1).

1. Étudier f et tracer sa courbe représentative (C) dans un repère orthonormé (unité : 2 cm).

2. Calculer en cm2 l’aire du domaine limité par la courbe (C), l’axe des abscisses et la droite d’équation x =α α ∈]−1 ; 0].

Cette aire a-t-elle une limite quand α tend vers −1 par valeurs supérieures ?

EXERCICE 2

1. Déterminer l’ensemble E des entiers relatifs n tels que n−1 divise n+3.

2. Démontrer que pour tout entier relatif n, les entiers n−1 et n2+2n−2 sont premiers entre eux.

3. Déterminer l’ensemble F des entiers relatifs n tels que (n−1) (

2n3+1 )

divise (n+3)

(

n2+2n−2 )

.

EXERCICE 3

Soit P un plan affine euclidien rapporté à un repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

.

Partie A

Soit U la suite définie par u0 = 0 et pour tout n ∈N∗ :

un =un−1+n(−1) n+1.

1. Calculer u1,u2,u3,u4,u5 et construire dans P les points An de coordonnées (n ; un ) pour n = 0,1,2,3,4,5.

Le dessin sera fait sur une feuille de papier millimétrique (unité : 2 cm) et sera appelé dans la suite « figure 1 ».

2. On désigne par V etW les suites telles que, pour tout n> 0,

Vn =u2n et Wn =u2n+1.

Démontrer que V etW sont des suites arithmétiques.

Calculer Vn et Wn en fonction de n(n > 0) et vérifier que pour tout n ∈ N∗ : u2n−1 =−u2n .

3. On désigne par E l’ensemble des points An de coordonnées (n ; un ) lorsque n décritN.

a. Démontrer que E est inclus dans la réunion de deux droites D et D′ que l’on dessinera sur la figure 1.

b. On désigne par s l’application de P dans P qui à un point M d’affixe z associe le point M ′ d’affixe

z ′ = z+ 1

2 i.

Quelle est la nature de s ? Caractériser géométriquement s.

Terminale C A. P. M. E. P.

c. Démontrer que D ∩D′ est globalement invariant par s.

En est-il de même pour l’ensemble E ?

4. Déterminer suivant la valeur du réel k la nature de l’ensemble Ck des points M de P tels que

(

−−−→ MA0 +

−−−→ MA1 +

−−−→ MA2

)

·

(

−−−→ MA3 +

−−−→ MA4 +

−−−→ MA5

)

= k.

Représenter Ck pour k = 27

2 sur la figure 1.

Partie B

1. On considère la fonction

g : x 7−→ 2x+1− 2

π cotg (πx).

a. Déterminer l’ensemble de définition de g .

Pour n ∈N, on désigne par gn la restriction de g à l’intervalle ]n ; n+1[. Démontrer que, pour tout n ∈N et tout x ∈]n ; n+1[,

gn(x)= g0(xn)+2n.

b. Donner le tableau de variation de g0 puis celui de gn pour n> 1.

c. Démontrer que gn est bijective.

En déduire le nombre de solutions de l’équation g (x) = 0 qui appar- tiennent à ]n ; n+1[.

2. On considère la fonction

f : x 7−→ 1

4 [1− (2x+1)cos(πx)]

et on désigne parC sa courbe représentative dans P (ne pas construireC avant la question 2 d.

a. Démontrer que l’ensemble E de la question A. 3 est inclus dans C .

b. Démontrer qu’en tout point An de E la tangente àC est l’une des droites D ou D′ de la question A 3.

c. Démontrer que, pour tout réel x non entier,

f ′(x)= π

4 sin(πx).g (x)

En utilisant la question B 1 établir pour tout n ∈N le tableau de variation de f sur [n ; n + 1]. On distinguera les cas n pair et n impair et on ne cherchera pas à calculer l’extrémum de f sur cet intervalle.

d. Démontrer que pour tout réel positif x on a l’inégalité

1

2 x6 f (x)6

1

2 x+

1

2 .

Tracer la partie deC correspondant à x ∈ [0 ; 5].

Lyon 2 septembre 1981

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