Série de modélisation mathématique – exercices 3, Exercices de Modélisation mathématique et simulation

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Série de modélisation mathématique - 3 sur l’ensemble des nombres complexes. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les fonctions numériques définies, l’espace vectoriel.
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[ Baccalauréat C Maroc juin 1981 \

EXERCICE 1

Résoudre dans N×N

x2−9y2 =−35.

EXERCICE 2

Soit C l’ensemble des nombres complexes et soit f l’application de C dans C définie par

f (z)= z3+ (5i−1)z2+ (−1+4i)z+3+7i.

1. Calculer f (i). En déduire une factorisation de f (z).

2. Résoudre dans C l’équation f (z)= 0.

PROBLÈME

SoitR le corps des nombres réels, R⋆ + le sous-ensemble des réels strictement positifs.

Soit f et g les fonctions numériques définies sur R⋆ + par

f (t)= 1

t cos2t et g (t)=−sin2t .

Partie A

Soit E l’espace vectoriel sur R des combinaisons linéaires à coefficients réels de f et g , muni des lois d’addition des fonctions et de multiplication d’une fonction par un réel.

1. Vérifier que ( f , g ) est une base de E.

2. Soit ϕ l’application de E × E dans R définie par

ϕ(u, v)= ∫

π

π

2

t2u(t) · v(t)dt .

a. Montrer que ϕ est un produit scalaire sur l’espace vectoriel E.

b. Montrer que la base ( f , g ) est orthogonale pour le produit scalaire cp.

c. Montrer qu’il existe un produit scalaire sur l’espace vectoriel E pour le- quel la base ( f , g ) est orthonormée.

Partie B

Soit P un plan affine euclidien orienté rapporté à un repère orthonormé direct (

O, −→

ı , −→

)

.

Soit t ∈ R⋆ + et At l’application affine de P dans P qui au point M de coordonnées

(x ; y) associe le point M ′ de coordonnées (

x′ ; y ′ )

avec

{

x′ = f (t).xg (t).y y ′ = g (t).x+ f (t).y.

1. Montrer que At est une similitude plane directe et en préciser ses éléments caractéristiques (centre, rapport, mesure de l’angle).

Le baccalauréat de 1981 A. P. M. E. P.

2. a. Déterminer l’ensemble des réels t ∈R⋆ + tels que At soit une rotation.

b. Déterminer l’ensemble des réels t ∈R⋆ + tels que At soit une homothétie.

3. Existe-t-il t ∈R⋆ + tel que A π

8 ◦ At = A1 ?

(La loi ◦ étant la composition des applications.)

Partie C

1. Soit h la fonction numérique définie sur l’intervalle réel I =]0 ; π] par

h(t)= cos2t +2t sin2t .

a. Étudier les variations de h sur I.

b. Montrer que l’équation h(t)= 0 admet sur I exactement deux solutions, notées t0 et t ′0, (t0 < t

0) ; vérifier que 1t 1t -

π

4 < t0 <

π

2 et

3π

4 < t ′0 < π.

(On ne cherchera pas à calculer numériquement t0 et t ′0 mais on justi- fiera rigoureusement leur existence).

c. En déduire l’étude du signe de h(t) lorsque t appartient à I.

2. a. Étudier la fonction f sur I (sens de variation, extremums, limites).

b. Vérifier que pour tout t ∈R⋆ + on a

1

t 6 f (t)6

1

t .

c. Résoudre dans R⋆ + l’équation f (t)= 0.

3. Soit h1 et h2 les fonctions numériques définies sur R⋆+ par

h1(t)=− 1

t et h2(t)=

1

t .

On appelle C, C1, C2 les courbes représentatives des fonctions f , h1, h2 dans

un plan affine P rapporté à un repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

.

a. Déterminer les points d’intersection de C et de C1 et montrer qu’en ces points les deux courbes ont même tangente.

b. Déterminer les points d’intersection de C et de C2 et montrer qu’en ces points les deux courbes ont même tangente.

c. Soit C′, C′1 et C ′

2 les courbes représentatives des restrictions à I des fonc- tions f , h1 et h2.

Tracer dans un même repère orthonormé C′, C′1 et C ′

2.

d. En déduire sans justification le tracé des courbes C, C1, C2.

Partie D

Dans un plan affine euclidienP muni d’un repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

,M est un

point mobile dont les coordonnées à la date t (t ∈R⋆ + ) sont

{

x = f (t) y = g (t)

1. Déterminer les vecteurs −→ V , vitesse de M , et

−→ Γ accélération de M à la date t .

Vérifier que le mouvement deM est retardé sur ]0 ; +∞[.

Maroc 2 juin 1981

Le baccalauréat de 1981 A. P. M. E. P.

2. a. Vérifier que l’application t 7−→ ∥

−−−→ OM

∥ est strictement décroissante sur

]0 ; +∞[. Déterminer l’angle (

−→ ı ,

−−−→ OM

)

.

b. Calculer

lim t→0 t>0

f (t) et lim t→0 t>0

g (t)

puis

lim t→+∞

f (t) et lim t→+∞

g (t).

c. Représenter approximativement dans P les positions deM aux instants π

4 , π

2 , 3π

4 , π et 2π. (On prendra π≈ 3).

d. En déduire l’allure de la trajectoire deM sur ]0 ; +∞[.

Maroc 3 juin 1981

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