Série de modélisation mathématique – exercices 4, Exercices de Modélisation mathématique et simulation

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Série de modélisation mathématique - 4 sur l’image de F. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l’endomorphisme de E, les entiers x.
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[ Baccalauréat C Montpellier juin 1981\

EXERCICE 1

E est un espace vectoriel réel euclidien de dimension 3, (

−→ ı ,

−→ ,

−→ k )

une base ortho-

normée de E, F l’endomorphisme de E tel que 

F (

−→ ı )

= 1

3

(

−→ ı −2

−→ +5

−→ k )

;

F (

−→

)

= 1

3

(

−2 −→ ı −2

−→ +2

−→ k )

;

F (

−→ k )

= 1

3

(

5 −→ ı +2

−→ +

−→ k )

.

1. Démontrer que l’image de F est un plan vectoriel P orthogonal au noyau de F .

2. Démontrer que le couple B = (

−→ ı +

−→ k ;

−→ ı +

−→

−→ k )

est une base orthogonale

de P ; f désignant la restriction de F à P, déterminer la matrice de f relative à

la base B et reconnaître 1

2 f .

3. Montrer que F peut être considéré comme composée de trois applications simples que l’on déterminera.

EXERCICE 2

Soit A = Z/11Z.

1. Discuter suivant a le nombre de solutions de l’équation

x2 = a, a ∈ A, x ∈A.

2. Montrer que dans A, l’équation x2− 2̇px+q = 0̇ (p ∈ A,q ∈ A) a deux solutions (distinctes ou confondues) si, et seulement si, p2 − q appartient à un sous- ensemble B (à déterminer) de A.

3. Résoudre alors l’équation x4+3x2+ 4̇= 0̇ dans A.

4. Déterminer les entiers x tels que le nombre qui s’écrit 10304 en base x soit divisible par 11.

PROBLÈME

On note E l’ensemble des fonctions numériques définies sur ]0 ; +∞[ et admettant pour tout n de N⋆ une dérivée n-ième sur ]0 ; +∞[. On rappelle que E muni de l’addition des fonctions et de la multiplication par un réel est un espace vectoriel sur R.

Partie A

Pour tout élément f de E, on désigne par g l’application de ]0 ; +∞[ dans R définie par : g (x)= x f ′(x), où f ′ désigne la fonction dérivée première de f

1. a. Calculer g ′(x), pour tout x de ]0 ; +∞[.

b. Vérifier, par récurrence, que pour tout n de N⋆ :

x ∈]0 ; +∞[, g (n)(x)= x f (n+1)(x)+n f (n)(x),

f (n) désigne, pour tout n de N⋆, la dérivée n-ième de f .

En déduire que g est élément de E.

Le baccalauréat de 1981 A. P. M. E. P.

2. Soit ϕ l’application de E dans E définie par ϕ( f ) = g . Montrer que ϕ est une application linéaire de E dans E.

3. On pose ϕ2 =ϕϕ.

a. Pour toute application f de E, on pose h =ϕ2( f ).

Montrer que

x ∈]0 ; +∞[, h(x)= x2 f ′′(x)+ x f ′(x).

b. Enutilisant 1. a,montrer que le noyaudeϕ2 ( f ) est un sous-espace vecto- riel de E, de dimension 2, dont une base est formée des deux applications f1 et f2 de E définies par :

x ∈]0 ; +∞[, f1(x) = Logx

x ∈]0 ; +∞[, f2(x) = 1

Partie B

1. Étudier les variations de la fonction f définie de ]0 ; +∞[ dans R par

f (x)= Log x

x .

Construire, dans le plan affine P rapporté au repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

tel que ∥

−→ ı

∥=

−→

∥= 2 cm, la courbe représentative de f .

2. Vérifier par récurrence que, pour tout n de N⋆, il existe un couple (un ; vn) de R 2 tel que

x ∈]0 ; +∞[, f (n)(x)= un + vnLog x

xn+1 .

En déduire que f est élément de E.

3. Soit les suites (un )n∈N⋆ et (vn)n∈N⋆ définies par

u1 = 1,

v1 = −1,

un+1 = vn − (n+1)un , ∀n ∈N⋆

vn+1 = −(n+1)vn , ∀n ∈N⋆

a. Exprimer vn en fonction de n.

b. Vérifier que, pour tout n deN⋆, on a

un = (−1) n+1n!

(

1+ 1

2 + 1

3 +·· ·+

1

p +·· ·+

1

n

)

Partie C

Soit F l’ensemble des fonctions fa, b de ]0 ; +∞[ dans R définies par

fa, b(x)= aLog x+b

x où(a, b) ∈R2.

1. Montrer que F est un sous-espace vectoriel de E dont (

f1, 0, f0, 1 )

est une base.

2. a. Établir : ∀ f F, ϕ( f ) ∈ F (ϕ est l’application définie au A 2.).

Montpellier 2 juin 1981

Le baccalauréat de 1981 A. P. M. E. P.

b. On note ϕ la restriction de ϕ à F .

Écrire la matrice M de ϕ dans la base (

f1, 0, f0, 1 )

.

Montrer que ϕ est bijective.

Écrire, dans la même base (

f1, 0, f0, 1 )

les matrices de ϕ2 et de ϕ−1.

c. Montrer que, pour tout n deN⋆.

Mn =

(−1)n 0

n(−1)n+1 (−1)n

Partie D

On se propose de déterminer les éléments f de E vérifiant

(1) ϕ2( f )= f1, 4

c’est-à-dire

x ∈]0 ; +∞[, x2 f ′′(x)+ x f ′(x)= 4+Logx

x .

1. Montrer qu’il existe un unique élément f0 de F vérifiant (1 ).

2. Soit f ∈ E. Établir que f vérifie (1) si, et seulement si, (

f f0 )

∈ Ker (

ϕ 2 )

. En déduire l’ensemble des fonctions de E qui vérifient (1).

Montpellier 3 juin 1981

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