Série de modélisation mathématique – exercices 5, Exercices de Modélisation mathématique et simulation

Série de modélisation mathématique – exercices 5, Exercices de Modélisation mathématique et simulation

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Série de modélisation mathématique - 5 sur le barycentre du système. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l’ensemble des fonctions numériques, les intégrations successives.
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[ Baccalauréat C septembre 1981 Montpellier \

EXERCICE 1

Soit n un entier naturel.

1. Trouver suivant les valeurs de n, les restes de la division de 5n par 13.

2. En déduire que 19811981−5 est divisible par 13.

EXERCICE 2

Dans un plan affine euclidien, on considère un triangle équilatéral ABC. On pose

−−→ AB

∥= ∥

−−→ BC

∥= ∥

−−→ CA

∥= a, a > 0.

1. Déterminer le point G barycentre du système

{(A, 2) (B, 1) (C, 1)}.

2. Déterminer et construire l’ensemble E1 des points M du plan qui vérifient

2 −−−→ MA2 +

−−−→ MB2 +

−−−→ MC2 = 2a2.

3. Déterminer et construire l’ensemble E2 des points M du plan qui vérifient

2 −−−→ MA2 +

−−→ MA .

−−→ MA +

−−→ MA .

−−→ MC =

3a2

2

(On pourra utiliser le point G et le point I milieu du segment [AG]).

EXERCICE 3

On désigne par D l’ensemble des fonctions numériques définies et deux fois déri- vables sur R. On rappelle que D peut être muni d’une structure d’espace vectoriel sur R. On note f0 la fonction nulle qui à tout x réel associe 0.

1. a. Soit h la fonction numérique à variable réelle définie par x 7−→ h(x)= ex , e étant la base des logarithmes népériens.

Montrer, sans la calculer, que la fonction k définie sur R par

x 7−→ k(x)= ∫x

0 t2h(t)dt

appartient à D.

b. A l’aide de deux intégrations successives, calculer k(x).

c. Soit f une fonction quelconque de D. Montrer que la fonction g définie sur R par

x 7−→ g (x)= ∫x

0 t2 f (t)dt

appartient à D.

On calculera g ′(x) et g ′′(x) en fonction de f (x) et de f ′(x).

Terminale C A. P. M. E. P.

2. a. À tout élément f de D on associe la fonction F de R dans R définie par

F (x)= f (x)− ∫x

0 t2 f (t)dt .

Montrer que F appartient à D. Calculer F ′(x) et F ′′(x).

b. En notant F =ϕ( f ), on détermine une application ϕ de D dans D ; mon- trer qu’il s’agit d’un endomorphisme.

c. On se propose de résoudre l’équation

ϕ( f )= f0 (1) à l’inconnue f D. Calculer ϕ

(

f0 )

et ϕ(h) où h est la fonction définie au 1 a. Calculer ϕ(Id) où Id est la fonction de R dans R qui à x associe x. Montrer que si f est solution de (1), alors f (0)= 0 et

x ∈R, f ′(x)− x2 f (x)= 0.

Si de plus onpose f1(x)= f (x)e x3 3 ,montrer que f1 est une fonction constante

dont on donnera la valeur. En déduire que l’équation (1) n’admet pour solution que la fonction f0.

3. Si appartient à D, on se propose de résoudre l’équation

ϕ( f )= (2) à l’inconnue f D.

a. Démontrer que si l’équation (2) admet une solution, elle est unique.

b. Montrer que si f est solution de (2) et si l’on pose

f1(x)= f (x)e− x3 3 ,

alors f1 vérifie

x ∈R, f ′1(x)= ′(x)e−

x3 3 .

Calculer f1(0) en fonction de (0). En déduire que la solution de l’équation (2) est la fonction f définie par

f (x)= e x3 3

( ∫x

0 ′(t)e−

x3 3 dt +(0)

)

.

4. a. On suppose que est définie par : (x)= xe− x3 3 .

Trouver la solution de l’équation

f (x)− ∫x

0 t2 f (t)dt = e−

x3 3 .

b. Étudier la fonction et tracer sa courbe représentative (C ) dans un re-

père orthonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

.

Montrer qu’il existe une bijection 1 de [−1 ; +∞[ sur [−3 ; +∞[ telle que

x ∈ [−1 ; +∞[, 1(x)= (x). On désigne par (C1) la représentation graphique de 1. La fonction 1 est-elle croissante ? continue ? dérivable en tout point ?

Tracer sa courbe représentative (

C ′1 )

dans le repère (

O, −→ ı ,

−→

)

.

N. B. - On donne 1

3 p e ≈ 0,72.

Montpellier 2 septembre 1981

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