Série de modélisation mathématique – exercices 6, Exercices de Modélisation mathématique et simulation

Série de modélisation mathématique – exercices 6, Exercices de Modélisation mathématique et simulation

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Série de modélisation mathématique - 6 sur la somme et le produit des racines. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le point de coordonnées, l'équation cartésienne.
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[ Baccalauréat C Nancy-Metz juin 1981\

EXERCICE 1

Soit f (z)= z3+ (2+2i)z2+az+b a,b ∈C.

1. Déterminer les nombres complexes a et b pour que l’on ait

f (3i)= 0 et f (−1)= 110−30i.

2. Montrer qu’il existe deux nombres α et β tels que

z3+ (2+2i)z2+ (14+35i)z+123+3i= (z−3i) (

z2+αz+β )

et calculer α et β.

3. Résoudre complètement dans C l’équation

z3+ (2+2i)z2+ (14+35i)z+123+3i= 0

et calculer la somme et le produit des racines. (On remarquera que

1452 = 21025).

EXERCICE 2

SoitP le plan affine euclidien rapporté à un repère orthonormé (

O, −→ u ,

−→ v )

. Si A et B

sont deux points deP , on notera d(A, B) la distance euclidienne de ces deux points. Soit Γ l’ensemble des points M de P vérifiant la condition

d(M , F)+d(M , F′)= 4

où F désigne le point de coordonnées (1 ; 0) et F’ le point de coordonnées (−1 ; 0).

1. Vérifier que Γ contient les points A, B, C, D et E de coordonnées respectives

(−2 ; 0) (2 ; 0) (

−1 ; 3

2

) (

1 ; 3

2

)

et

(

−1 ; − 3

2

)

2. Quelle est la nature de Γ ? Montrer qu’une équation cartésienne de Γ dans le

repère (

O, −→ u ,

−→ v )

est

x2

4 +

y2

3 = 1

3. Représenter la courbeΓ et les points A, B, C, D et E (on prendra 3 cmcommune unité de longueur).

Soit M0 un point de P de coordonnées (

x0 ; y0 )

qui n’appartient ni à la droite BC ni à la tangente en B à Γ.

Déterminer les coordonnées du point P d’intersection des droites DE et BM0 ainsi que les coordonnées du point Q d’intersection des droites AE et CM0.

En déduire que le point M0 appartient à Γ si, et seulement si, les points P et Q ont la même ordonnée.

Le baccalauréat de 1981 A. P. M. E. P.

PROBLÈME

Dans tout le problème on considère les trois fonctions numériques de la variable réelle x définies par

f1(x) = p x2+1+ x

f2(x) = p x2+1− x

f3(x) = (p

x2+1+ x )

Log (p

x2+1+ x )

où Log désigne la fonction logarithme népérien.

Partie A

Dans cette partie, on note E l’espace vectoriel sur R engendré par les fonctions f1, f2 et f3 c’est-à-dire l’ensemble des fonctionsnumériques f telles qu’il existe trois nombres réels a,b et c vérifiant f = a f1+b f2+c f3

1. Montrer que f1, f2 et f3 sont définies pour tout x réel (il pourra être utile de calculer f1 et f2).

2. Montrer que B = (

f1, f2, f3 )

est une base de E.

3. Montrer que f1, f2 et f3 sont des fonctions dérivables sur R et calculer leurs dérivées.

4. Pour tout f de E, on pose ϕ( f )= F , où

x ∈R, F (x)= √

x2+1 f ′(x),

( f ′ désigne la dérivée de f ).

Montrer que ϕ est une application linéaire de E dans lui-même et déterminer l’expression analytique de ϕ dans la base B.

5. Montrer que ϕ est inversible et calculer les composantes de ϕ−1( f ) en fonc- tion des composantes de f dans la base B.

Utiliser ce résultat pour résoudre dans E l’équation

ϕ( f )= 1

2

(

f1− f2 )

En déduire les fonctions f de E qui vérifient

x ∈R f ′(x)= x

p x2+1

.

6. Soit I l’application identique de R dans R. On note

ϕ0 = I, ϕ1 =ϕ, ϕ2 =ϕϕ,

n ∈N, ϕn+1 =ϕn ϕ.

Déterminer dans la base B, les composantes de ϕ (

f1 )

, ϕ (

f2 )

.

Partie B

On note go la fonction numérique de la variable réelle x définie par

g0(x)= Log ( √

x2+1+ x )

.

1. Donner une relation simple entre les fonctions g0, f2 et f3 ; montrer que la fonction g0 est impaire.

Nancy-Metz 2 juin 1981

Le baccalauréat de 1981 A. P. M. E. P.

2. Étudier les variations de g0 et construire la courbe C0 représentative des va-

riations de g0 dans le plan rapporté à un repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→ )

.

3. En utilisant une intégration par parties, calculer l’aire du domaine plan limité par la courbe C0 l’axe des abscisses, et les deux droites d’équations x = 0 et x = 3/4.

4. Pour tout entier naturel n, n> 1, on définit gn =ϕn (

f3 )

· f2. Calculer gn(x), pour un réel x quelconque et montrer que la courbeCn repré- sentative des variations de gn se déduit de la courbe C0 par une transforma- tion géométrique simple.

Partie C

Dans cette partie, on considère un plan affine euclidien rapporté à un repère ortho-

normé (

A, −→ e1 ,

−→ e2

)

. On note Γ1 la courbe d’équation y = f1(x) et Γ2 la courbe d’équa-

tion y =− f2(x) dans le repère (

A, −→ e1 ,

−→ e2

)

.

1. Montrer que la courbe Γ2 est symétrique de la courbe Γ1 par la symétrie de centre A.

2. Soit M un point de coordonnées (x ; y). Montrer que

M ∈Γ1∪Γ2 ⇐⇒ y2−2xy = 1.

3. On pose −→ u =−

−→ e1 et

−→ v =

−→ e1 +2

−→ e2 .

Calculer les coordonnées (x ; y) de M dans le repère (

A, −→ e1 ,

−→ e2

)

en fonction

des coordonnées (X ; Y ) dumême point M dans le repère (

A, −→ u ,

−→ v )

.

En déduire une équation de Γ1∪Γ2 dans le repère (

A, −→ u ,

−→ v )

, puis la nature de

Γ1∪Γ2.

Nancy-Metz 3 juin 1981

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