Série de modélisation mathématique – exercices 7, Exercices de Modélisation mathématique et simulation

Série de modélisation mathématique – exercices 7, Exercices de Modélisation mathématique et simulation

PDF (35.5 KB)
2 pages
334Numéro de visites
Description
Série de modélisation mathématique - 7 sur l’ensemble des entiers naturels non nuls. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l’ensemble de définition, l’image de E par f .
20points
Points de téléchargement necessaire pour télécharger
ce document
Télécharger le document
NantesCjuin1981.dvi

[ Baccalauréat C Nantes juin 1981 \

EXERCICE 1

SoitN⋆ l’ensemble des entiers naturels non nuls. On considère, lorsque n appartient àN⋆, les deux entiers a et b :

a = 11n+3 ; b = 13n−1.

1. Démontrer que tout diviseur de a et b est un diviseur de 50.

2. Résoudre pour x ∈N⋆, y ∈N⋆, l’équation :

50x−11y = 3.

En déduire les valeurs de n pour lesquelles les nombres a et b ont 50 pour plus grand commun diviseur.

3. Pour quelles valeurs de n, les nombres a et b ont-ils 25 pour plus grand com- mun diviseur ?

EXERCICE 2

Le plan affine P étant rapporté au repère (

O, −→ ı ,

−→

)

.

On désigne par A et B les points deP de coordonnées respectives (1, 0) et (0, 1) dans ce repère.

À tout point M de coordonnées (x ; y) dans le repère (

O, −→ ı ,

−→

)

, on lui associe, lors-

qu’il existe, le barycentre M ′ des points O, A, B, affectés respectivement des coeffi- cients 1, x, y . On définit ainsi une fonction

f : P → P M 7−→ M ′.

1. Déterminer l’ensemble de définition E de f .

2. Déterminer l’image de E par f .

3. Déterminer l’ensemble des points M de P tels que f (M)=M .

PROBLÈME

Dans tout le problème, λ désigne un nombre réel positif non nul. Soit e1 et e2 les fonctions numériques définies par :

e1 : R → R et e2 : R → R x 7−→ eλ cosx x 7−→ eλ sinx.

Soit E l’espace vectoriel engendré par e1 et e2. Soit Φ l’application de E × E dans R définie par

∀( f , g ) ∈ E2 =Φ( f , g )= 1

π

∫2π

0 f (t)g (t)e−2λt dt .

1. Démontrer que Φ est un produit scalaire et que (el’ el) est une base orthonor- mée de E pour Φ. Dans toute la suite du problème E est muni de la structure d’espace vectoriel euclidien associée àΦ et est orienté en considérant (e1, e2) comme une base directe.

Le baccalauréat de 1981 A. P. M. E. P.

2. À toute fonction f de E on associe la fonction D( f ) définie par

x, x ∈R, D( f )(x)= f ′(x)

f ′ désigne la fonction dérivée de f .

Démontrer que, pour tout f de E, D( f ) appartient à E et que l’application D ainsi définie est un endomorphisme de E.

Déterminer la matrice deD dans la base (e1, e2). Démontrer que D est le pro- duit d’une rotation vectorielle et d’une homothétie vectorielle et d’une homo- thétie vectorielle de rapport un réel strictement positif que l’on déterminera.

En déduire que D est inversible.

3. À toute fonction f de E, on associe la fonction T ( f ) définie par

x, x ∈R, T ( f )(x)= ∫x+π

x f (t)dt .

Démontrer que T ( f ) appartient à E et que l’application :

T : E → E f 7−→ T ( f )

est un endomorphisme de E.

Calculer (T D) (e1) , (T D) (e2). Déduire des résultats précédents que D−1 est la composée de T et d’une ho- mothétie vectorielle de rapport k qu’on déterminera.

4. On note T n et Dn les endomorphismes définis par :

T 0 = I; ∀n, n ∈N, T n+1 = T n T D0 = I; ∀n, n ∈N, Dn+1 =Dn D

On note ‖ ·‖ la norme associée au produit scalaireΦ. Soit f un élément de E.

a. Soit (un )n∈N la suite numérique définie par

un = ∥

Dn ( f ) ∥

∥ .

Cette suite est-elle convergente ?

b. Soit g la fonction :

g : R → R x 7−→ eπx +1−

p x2+1.

Démontrer que g est croissante sur R+. En déduire que g (x) est stricte- ment positif pour tout x positif.

c. En déduire la nature de la suite numérique (vn)n∈N définie par

5. À tout élément f = ae1+be2 de E, où a et b sont des nombres réels, on associe le nombre complexe a+ ib.

a. Calculer le nombre complexe associé àD( f ) à partir de celui associé à f .

b. Calculer le nombre complexe associé à T ( f ) à partir de celui associé à f .

c. En déduire une explication des résultats obtenus pour D et T au cours des questions 2, 3 et 4.

Nantes 2 juin 1981

commentaires (0)
Aucun commentaire n'a été pas fait
Écrire ton premier commentaire
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Docsity n'est pas optimisée pour le navigateur que vous utilisez. Passez à Google Chrome, Firefox, Internet Explorer ou Safari 9+! Téléchargez Google Chrome