Série de modélisation mathématique – exercices 8, Exercices de Modélisation mathématique et simulation

Série de modélisation mathématique – exercices 8, Exercices de Modélisation mathématique et simulation

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Série de modélisation mathématique - 8 sur l’équation. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le système, l'ensemble des points.
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[ Baccalauréat C Nice juin 1981 \

EXERCICE 1

On considère l’anneau A =Z/9Z. Soit à un élément de A (a ∈N et 06 a6 8).

1. Donner tous les couples (ȧ, 3̇ȧ) et (ȧ, 5̇ȧ) pour décrivant A. 3̇ et 5̇ sont-ils inversibles ?

2. étant un élément donné de A, résoudre dans A l’équation

5̇ẋ− 2̇ȧ = 4̇.

3. Résoudre dans A2 le système

{

5̇x− 2̇y = 4̇ 6̇x+ 3̇y = 3̇.

EXERCICE 2

Soit f la fonction numérique de la variable réelle définie sur R+ par :

si 06 x6 1, f (x) = 2 p x,

si x > 1, f (x) = a (

x2−1 )

+b(x−1)+2,

a et b sont deux réels donnés.

1. f est-elle continue sur R+ ?

2. Donner une relation nécessaire et suffisante entre a et b pour que f soit déri- vable en x = 1. On exprimera alors b en fonction de a.

3. On suppose f dérivable en x = 1.

a. Étudier, suivant les valeurs de a, le sens de variation de f .

b. Comment faut-il choisir a pour que f s’annule en un point de l’intervalle [1 ; +∞[ ?

c. On choisit a =−1. Calculer x0 ∈ [1 ; +∞[ tel que f (x0)= 0.

Calculer l’aire du domaine D, ensemble des points M(x ; y) tels que

{

0 6 x 6 x0 0 6 y 6 f (x)

d. Représenter graphiquement f pour a =−1.

PROBLÈME −→ E désigne un plan vectoriel euclidien, E un plan affine associé à

−→ E et R =

(

O, −→ ı ,

−→

)

un repère orthonormé de E.

Partie A

k désignant un réel quelconque, on appelle ϕk l’endomorphisme de −→ E dont la ma-

trice, dans la base (−→ ı ,

−→

)

est

4k+1

5

2−2k

5 2−2k

5 4+k5

Le baccalauréat de 1981 A. P. M. E. P.

1. Pour quelles valeurs de k, ϕk est-il bijectif ? Nature de ϕ1 ?

2. Montrer que ϕ0 est une projection vectorielle dont on précisera les éléments caractéristiques.

3. Quelle est la nature de ϕ−1 ? Déterminer ses éléments caractéristiques.

4. Déterminer, pour k différent de 1, les droites globalement invariantes par ϕk .

Partie B

Soit a et b deux réels donnés. Soit g l’application affine de E dans E d’endomorphisme associé ϕ−1 et transfor- mant O en le point de coordonnées (a ; b) dans le repère R.

1. Soit M un point quelconque de E, de coordonnées (x ; y) dans le repère R. Déterminer les coordonnées

(

x′ ; y ′ )

de l’image M ′ deM par g .

2. Quelle condition nécessaire et suffisante doivent vérifier a et b pour que g soit involutive ?

3. Démontrer qu’il existe une unique translation t et une unique symétrie affine s dont l’axe a la direction du vecteur de la translation et telles que

g = t s = s t .

Préciser leurs éléments caractéristiques.

Partie C

Soit fk l’application affine de E dans lui-même d’endomorphisme associé ϕk et transformant O en le point de coordonnées (2k−2 ; 1−k).

1. Déterminer les coordonnées (

x′ ; y ′ )

de l’image par ϕk d’un point M quel- conque de E, de coordonnées (x ; y) dans le repère R.

2. Étudier l’ensemble des points invariants par fk .

3. Quelle est la nature de f0 ? Préciser ses éléments caractéristiques.

4. M désignant un point quelconque de E et k un réel non nul, on pose

f0(M)=M0 et fk (M)=M ′.

Quelle relation a-t-on entre les vecteurs −−−−→ M0M et

−−−−→ M0M

′ ?

En déduire une construction géométrique deM ′ = fk (M).

Nice 2 juin 1981

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