Statistiques - Travaux pratiques - 1° partie, Exercices de Informatique et analyse de données statistiques
Emmanuel_89
Emmanuel_8929 May 2014

Statistiques - Travaux pratiques - 1° partie, Exercices de Informatique et analyse de données statistiques

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Statistiques - Travaux pratiques 1° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Ajustement affine, Étude d’un modèle affine.
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Statistiques-Terminale ES

1. Amérique du sud 2006 (5 points)

Tous les résultats numériques seront arrondis à l’unité près sauf indication contraire.

Une machine est achetée 3 000 euros.

Le prix de revente y, exprimé en euros, est donné en fonction du nombre x d’années d’utilisation par le tableau suivant :

xi 0 1 2 3 4 5

yi 3 0002 4001 9201 5361 229983

A Ajustement affine

1. Représenter le nuage de points associé à la série statistique (xi ; yi) dans un repère orthogonal du plan. Les unités graphiques seront de 2 cm pour une année sur l’axe des abscisses et de 1 cm pour 200 euros sur l’axe des ordonnées.

2. Calculer le pourcentage de dépréciation du prix de revente après les trois premières années d’utilisation.

3. Dans cette question, les calculs effectués à la calculatrice ne seront pas justifiés.

Donner une équation de la droite de régression de y en x obtenue par la méthode des moindres carrés.

Représenter la droite dans le repère précédent.

B Ajustement non affine

On pose z = ln(y) et on admet qu’une équation de la droite de régression de z en x est donnée par :

z = −0,22x +8,01. ??

2. Amérique 2007 (5 points)

Dans tout l’exercice, le détail des calculs n’est pas demandé. Les résultats seront arrondis à 10-3.

On rappelle que l’image d’un réel x par la fonction exponentielle peut être notée exp(x) = ex.

On veut étudier l’évolution des records de l’épreuve d’athlétisme du 100 mètres masculin.

Pour cela on cherche un ajustement des records pour en prévoir l’évolution.

On donne dans le tableau suivant certains records, établis depuis 1900.

Année 1900 1912 1921 1930 1964 1983 1991 1999

Rang de l’année, xi 0 12 21 30 64 83 91 99

Temps en secondes, yi 10,80 10,60 10,40 10,30 10,06 9,93 9,86 9,79

1. Étude d’un modèle affine

Construire le nuage de point Mi(xi ; yi) avec i compris entre 1 et 8, associé à cette série statistique double. On prendra comme unité graphique 1 cm pour dix ans en abscisse et 1 cm pour un dixième de seconde en ordonnées. On commencera les graduations au point de coordonnées (0 ; 9).

Peut-on envisager un ajustement affine à court terme ? Cet ajustement permet-il des prévisions pertinentes à long terme sur les records futurs ?

2. Étude d’un modèle exponentiel

Après étude, on choisit de modéliser la situation par une autre courbe. On effectue les changements de variables

suivants : 0,00924xX e et lnY y .On obtient le tableau :

0,00924xi iX e

  1 0,895 0,824 0,758 0,554 0,464 0,431 0,401

Yi = ln yi 2,380 2,361 2,342 2,332 2,309 2,296 2,288 2,281

Donner une équation de la droite de régression de Y en X obtenue par la méthode des moindres carrés.

En déduire que l’on peut modéliser une expression de y en fonction de x sous la forme suivante :

 0,00924exp xy ae b  où a et b sont deux réels à déterminer.

A l’aide de cet ajustement, quel record du 100 mètres peut-on prévoir en 2010 ?

Calculer la limite en  de la fonction f définie sur  par l’expression suivante :

   0,00924exp 0,154 2,221tf t e  .

Que peut-on en conclure, en utilisant ce modèle, quand aux records du cent mètres masculin à très long terme.

3. Amérique 2010 (5 points)

Craignant une propagation de grippe infectieuse, un service de santé d’une ville de 50 000 habitants a relevé le nombre de consultations hebdomadaires concernant cette grippe dans cette ville pendant 7 semaines.

Ces semaines ont été numérotées de 1 à 7. On a noté xi les rangs successifs des semaines et yi le nombre de consultations correspondant :

Rang de la semaine : xi 1 2 3 4 5 6 7

Nombre de consultations : yi 540 720 980 1320 1800 2 420 3 300

Tracer le nuage de points sur une feuille de papier millimétré, on prendra 2 cm pour une unité en x et 1 cm pour 200 en y. Un modèle d’ajustement affine a été rejeté par le service de santé. Pourquoi ?

Pour effectuer un ajustement exponentiel, on décide de considérer les zi = ln yi.

Reproduire et compléter le tableau suivant sur votre copie en arrondissant les zi à 0,01 près. Il n’est pas demandé de tracer le nuage de points correspondant.

Rang de la semaine: xi 1 2 3 4 5 6 7

z i = l n y i

Trouver à la calculatrice l’équation de la droite d’ajustement affine par la méthode des moindres carrés reliant z et x (les coefficients obtenus par la calculatrice seront donnés à 0,1 près) puis déduire y en fonction de x (on donnera le

résultat sous la forme ax by e  , a et b étant deux réels).

En utilisant ce modèle, trouver par le calcul :

- Une estimation du nombre de consultations à la 10e semaine (arrondir à l’unité).

- La semaine à partir de laquelle le nombre de consultations dépassera le quart de la population.

Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

En observant les valeurs données par le modèle exponentiel grâce à un tableau obtenu à l’aide d’une calculatrice, expliquer si ce modèle reste valable sur le long terme

4. Amérique 2011 (5 points)

Le glacier d’Aletsch, classé à l’UNESCO, est le plus grand glacier des Alpes ; situé dans le sud de la Suisse, il alimente la vallée du Rhône.

Pour étudier le recul de ce glacier au fil des années, une première mesure a été effectuée en 1900 : ce glacier mesurait alors 25,6 km.

Des relevés ont ensuite été effectués tous les 20 ans : le recul du glacier est mesuré par rapport à la position où se trouvait initialement le pied du glacier en 1900. Les mesures successives ont été relevées dans le tableau ci-dessous. On note t la durée, en années, écoulée depuis 1900, et r le recul correspondant, mesuré en kilomètres.

Année de mesure : 1900 1920 1940 1960 1980 2000

Durée t écoulée (depuis 1900) : 0 20 40 60 80 100

Recul r (en km) : 0 0,3 0,6 1 1,6 2,3

Mesures déduites de : The Swiss Glaciers, Yearbooks of the Glaciological Commission of the Swiss

Par exemple, en 1940 (t = 40), le recul du glacier par rapport à 1900 a été de 0,6 km : la longueur du glacier était donc de 25,6 – 0,6 = 25 km.

Dans cet exercice, les résultats seront arrondis, si nécessaire, à 10−3 près.

Partie A Étude d’un modèle affine

1. Tracer le nuage de points dans le repère donné en annexe (durée t en abscisse, distance r en ordonnée).

2. À l’aide de la calculatrice, donner l’équation de la droite d’ajustement affine par la méthode des moindres carrés de r en fonction de t, puis tracer cette droite dans le repère précédent.

3. À partir du modèle affine obtenu précédemment, estimer par le calcul :

a. Le recul puis la longueur du glacier en 2011.

b. L’année de disparition du glacier (arrondir à l’unité).

Partie B Utilisation d’un modèle exponentiel

Le résultat du 3. b. de la partie A étant peu en accord avec la plupart des autres études, les glaciologues considèrent un autre modèle : le modèle exponentiel.

On pose  lny r . On rappelle que ln(r) désigne le logarithme népérien du recul r.

1. Recopier puis compléter le tableau suivant sur votre copie (pour permettre le calcul de y, la durée 0 de l’année 1900 a été exclue du tableau.

Durée t (à partir de 1900) 20 40 60 80 100

 lny r

2. a. À l’aide de la calculatrice, donner l’équation de la droite d’ajustement affine par la méthode des moindres carrés de y en fonction de t.

b. En déduire que r en fonction de t.

3. En utilisant le modèle obtenu précédemment, estimer par le calcul :

a. Le recul puis la longueur du glacier en 2011.

b. L’année de disparition du glacier (arrondir à l’unité).

5. Centre étranger 1995 (12 points)

Le but du problème est de déterminer le prix d’équilibre d'un produit. (On rappelle que le prix d'équilibre d'un produit est obtenu lorsque l'offre et la demande sont égales).

Une étude faite sur ce produit a donné les résultats suivants (le prix au kilogramme est exprimé en francs et les quantités offre et demande sont exprimées en milliers de kilogrammes)

Prix proposé xi 0,30 0,35 0,45 0,65 0,80 1

Demande yi 6,25 4,90 3,75 2,75 2,40 2,25

Offre zi 1,25 1,30 1,30 1,50 1,55 1,60

Dans ce problème, on utilisera, pour les calculs statistiques, les fonctions de la calculatrice, le détail de ces calculs n'est pas demandé). Tous les résultats numériques seront donnés en valeurs décimales arrondies à 10–2 près.

1. Représentation graphique

Le plan (P) est rapporté au repère orthogonal ( ; , )O i j d'unités graphiques 10 cm pour 1 franc en abscisse et 2 cm

pour 1 millier de kilogrammes en ordonnée.

1. Représenter sur le même graphique les nuages de points associés respectivement aux séries statistiques (xi ; yi) et (xi ; zi).

Pour ces représentations, on recommande de prendre le papier millimétré dans le sens de la largeur et de figurer par des signes différents (croix ou points par exemple) les points de coordonnées (xi ; yi) et ceux de coordonnées (xi ; zi) respectivement.

2. Étude de la demande

La forme du nuage de points associé à la série (xi ; yi) permet d'envisager un ajustement exponentiel de y en x. On pose donc Yi = ln yi.

a. Calculer le coefficient de corrélation linéaire de la série (xi ; Yi). Un ajustement affine par la méthode des moindres carrés de Y en x est-il satisfaisant ? Pourquoi ?

b. Donner alors une équation de la droite de régression de Y en x sous la forme Y = ax + b.

En déduire en utilisant l'égalité Y = ln y une estimation de la demande y, en fonction de x prix au kilogramme.

6. Centres étrangers (10 points)

Le tableau ci-dessous décrit le nombre moyen y d'objets qu'un ouvrier commençant à travailler sur une chaîne de montage produit en un jour, le xième jour où il travaille sur cette chaîne.

xi 1 3 5 7 9

yi 27 41 46 48 49

A. Dans cette partie, on utilisera pour les calculs statistiques les fonctions de la calculatrice (le détail des calculs n'est pas demandé).

1. Le plan Pest muni d'un repère orthogonal d'unités graphiques 1 cm pour un jour en abscisse et 1 cm pour 5 objets en ordonnée.

Dans le plan Preprésenter le nuage de points associé à la série statistique (xi, yi).

2. Déterminer les coordonnées du point moyen G de ce nuage et le placer sur le graphique précédent.

3. a. Déterminer une valeur approchée à 10–2 près du coefficient de corrélation linéaire de la série statistique (xi , yi).

b. Donner une équation de la droite (d) de régression de y en x par la méthode des moindres carrés.

Représenter la droite (d) sur le graphique précédent.

c. Un ajustement affine de ce nuage de points est-il acceptable ? Justifier la réponse.

B. 1. Soit alors la fonction numérique f définie sur l'intervalle  0 ;   par :   0,450 34 xf x e  .

On appelle  sa courbe représentative dans le plan P.

a. Déterminer le sens de variation de la fonction f sur l'intervalle  0 ;   .

b. Déterminer la limite de f au voisinage de  .Interpréter graphiquement ce résultat.

c. Dresser le tableau de variation de la fonction f.

2. Dans la situation du A, on constate une stabilisation de la quantité d'objets produits en un jour après un certain temps de manipulation de la machine.

Une étude permet de considérer que le nombre d'objets produits par un ouvrier le xième jour où il travaille sur cette

chaîne est modélisé par une expression de la forme : 50 bxaeou a et b sont des réels.

Soit g la fonction numérique définie sur l'intervalle [0 ; 100] par   50 bxg x ae  .

a. Déterminer les réels a et b pour que la courbe représentant la fonction g dans le plan P passe par les points A et B de coordonnées respectives (1 ; 27) et (9 ; 49).

On donnera de a la valeur exacte puis une valeur entière approchée à une unité près. On donnera de b la valeur exacte puis une valeur décimale approchée à 10-1 près.

b. En considérant que, pour x entre 0 et 100,  f x est une bonne approximation de  g x , estimer le nombre

d'objets que devrait produire un ouvrier le 15ème jour où il travaille sur la chaîne.

7. Centres étrangers 1997 (5 points)

Dans cet exercice, les calculs peuvent être effectués à la calculatrice ; leur détail n'est pas exigé.

Le tableau ci-dessous donne la charge maximale yi en tonnes, qu’une grue peut lever pour une longueur xi en mètre, de la flèche.

Longueur xi 16,5 18 19,8 22 25 27 29 32 35 39 41,7

Charge yi 10 9 8 7 6 5,5 5 4,5 4 3,5 3,2

Les réponses numériques à cette question seront données à l0–2 près.

1. a. Représenter le nuage de points M(xi ; yi) à l'aide d'un repère orthogonal ( ; , )O i j d'unités 1 cm pour 2 mètres

en abscisses et 1 cm pour une tonne en ordonnées.

b. Déterminer le coefficient de corrélation linéaire entre x et y.

c. Déterminer une équation de la droite de régression de y en x par la méthode des moindres carrés. Construire cette droite sur le graphique précédent.

d. Utiliser cette équation pour déterminer la charge maximale que peut lever la grue avec une flèche de 26 mètres. Que peut-on dire ?

2. On pose 1

i

i

z y  .

a. Recopier et compléter le tableau suivant (les zi seront arrondis à 10-3 près)

xi 16,5 18 19,8 22 25 27 29 32 35 39 41,7

zi 0,100

b. Déterminer le coefficient de corrélation linéaire entre x et z puis une équation de la droite de régression de z en x par la méthode des moindres carrés (les résultats numériques seront arrondis à 10–4 près).

c. En se fondant sur les résultats obtenus en 2. b., calculer la valeur de z correspondant à x = 26 ; en déduire la charge maximale que peut lever la grue avec une flèche de 26 mètres.

Ce résultat vous paraît-il plus satisfaisant que celui de 1. d. ? Pourquoi ?

8. Centres étrangers 1999 (4 points)

Aucun détail des calculs effectués à la calculatrice n'est exigé dans cet exercice.

Le tableau ci-dessous donne l'évolution du chiffre d'affaires réalisé à l'exportation par une entreprise.

Année 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998

xi 0 1 2 3 4 5 6 7 8

yi 100 101 107 122 127 139 136 157 165

xi désigne le rang de l'année, yi désigne l'indice du chiffre d'affaires à l'exportation rapporté à la base 100 en 1990.

1. a. Représenter le nuage de points Mi(xi ; yi) associé à la série double dans un repère orthogonal. On prendra :

- pour origine le point (0 ; 100),

- pour unités : 1,5 cm sur l'axe des abscisses, 2 cm pour 10 points d'indice sur l'axe des ordonnées.

b. Calculer les coordonnées du point moyen G associé à cette série statistique et placer ce point sur le graphique. (On donnera la valeur décimale arrondie au dixième de l'ordonnée de G).

2. Déterminer la valeur décimale arrondie au centième du coefficient de corrélation linéaire de la série double. Ce résultat permet-il d'envisager un ajustement affine ? Pourquoi ?

3. Soit D la droite d'ajustement de y en x obtenue par la méthode des moindres carrés.

a. Donner la valeur décimale arrondie au dixième du coefficient directeur de la droite D.

b. En utilisant les coordonnées du point moyen G, donner une équation de la droite D. Tracer cette droite sur le graphique précédent.

c. En supposant que l'évolution du chiffre d'affaires se poursuive de la même façon au cours des années suivantes, estimer l'indice du chiffre d'affaires de cette entreprise en l'an 2001 (on en donnera la valeur arrondie à l'unité).

9. Inde 2001 (4 points)

Le tableau suivant indique, en millions, la population de la France métropolitaine d’après les recensements depuis 1946.

Année Rang xi de l’année Population yi

1946 0 40,439

1954 8 42,706

1962 16 46,425

1968 22 49,712

1975 29 52,592

1982 36 54,335

1990 44 56,615

1999 53 58,416

Le détail des calculs statistiques effectués avec une calculatrice n’est pas demandé. Les nombres à déterminer seront arrondis à trois décimales.

1. Quel est le coefficient de corrélation linéaire entre x et y ? Un ajustement affine est-il envisageable ?

Le plan est rapporté à un repère orthogonal, les unités graphiques étant : 0,25 cm sur l’axe des abscisses ; 1 cm sur l’axe des ordonnées, la graduation des ordonnées débutant à 40.

2. Construire le nuage de points Mi(xi ; yi).

3. Indiquer les coordonnées du point moyen G associé à la série (x, y) et placer ce point sur le graphique précédent.

4. Déterminer une équation de la droite d’ajustement affine de y en x par la méthode des moindres carrés. Tracer cette droite (D) sur le graphique précédent.

5. En supposant que cette évolution de la population se poursuive, donner une estimation de la population en 2005.

10. Inde 2002 (4 points)

On donne les valeurs d’un indice boursier au premier de chaque mois entre janvier et septembre 2001.

Date 1/01 1/02 1/03 1/04 1/05 1/06 1/07 1/08 1/09

Rang xi1 2 3 4 5 6 7 8 9

Indice yi7100 6900 6800 6600 6500 6350 6400 6250 6000

Les calculs seront effectués à l’aide de la calculatrice. Aucun détail de ces calculs n’est demandé.

1. Représenter dans un repère orthogonal le nuage de points associé à la série statistique (xi ; yi).

On prendra 1 cm pour deux unités en abscisse et 1 cm pour 200 points d’indice en ordonnées, en commençant au point (0; 5 000).

2. Donner le coefficient de corrélation linéaire de la série (xi ; yi)arrondi à 0,01.

3. On considère que ce coefficient justifie un ajustement affine par la méthode des moindres carrés. Donner une équation de la droite D d’ajustement affine de y en x (les coefficients étant arrondis à 0,01). Tracer D dans le repère.

4. On suppose que la tendance se poursuit.

a. En utilisant cet ajustement, donner une estimation à 10 points près de cet indice boursier au 1er janvier 2002.

b. Calculer le mois à partir duquel on peut estimer que cet indice sera inférieur à 5 000. Comment peut-on vérifier ce résultat graphiquement ?

11. Inde 2004 (7 points)

1. On considère la fonction f définie sur  0 ;   par :     3 3 x

f x ax b e

   où a et b sont deux réels que l’on

se propose de déterminer.

On sait que f admet un maximum au point d’abscisse 4 et que le point A(0 ; 2) appartient à la courbe C représentative de

la fonction f dans un repère orthogonal ( ; , )O i j d’unités graphiques 2 cm en abscisses et 5 cm en ordonnées.

a. Soit f  la fonction dérivée de f. Déterminer  f x pour x appartenant à  0 ;   .

b. Montrer que a = 1 et b = −1.

2. Étude de la fonction f définie sur  0 ;   par     31 3 x

f x x e

   .

a. Déterminer la limite de f en  .

b. En déduire l’existence d’une asymptote D à la courbe C en  . Étudier la position de D par rapport à C.

c. Étudier le sens de variation de f puis dresser son tableau de variations.

3. a. Reproduire et compléter le tableau suivant :

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8

f(x)

On arrondira les valeurs au centième.

b. Tracer la courbe C et la droite D.

4. Étude économique

Les dépenses de téléphone, en milliers d’euros, de la société TOUPACHER sont consignées dans le tableau suivant : xi désigne le rang de l’année et yi désigne la dépense.

Année 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003

xi 0 1 2 3 4 5 6 7 8

yi 1,97 3,02 3,49 3,71 3,80 3,76 3,65 3,55 3,50

On recherche une fonction qui rende compte relativement correctement du phénomène.

On dira qu’une fonction f est acceptable si pour chaque valeur x, on a :   110i if x y   .

a. Représenter le nuage de points Mi(xi, yi) dans le repère précédent.

b. Montrer que la fonction f est acceptable.

c. Le responsable financier affirme que « si l’évolution des dépenses se poursuit selon ce modèle, on pourrait espérer retrouver une facture de téléphone inférieure à 3000 euros ».

Êtes-vous d’accord avec cette affirmation ? Justifier.

12. Inde 2005 (5 points)

Le tableau suivant donne la population d’une ville nouvelle entre les années 1970 et 2000.

Année 1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000

Rang de l’année x 0 5 10 15 20 25 30

Population en milliers d’habitants y 18 21 25 30 36 42 50

Représenter le nuage de points associé à ce tableau avec le rang x de l’année en abscisse et la population y en ordonnée.

Partie A : Un ajustement affine

1. À l’aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite d’ajustement affine de y en x par la méthode des moindres carrés (les coefficients seront arrondis au centième).

2. Tracer cette droite sur le graphique.

3. Déduire de cet ajustement une estimation de la population en 2003, à un millier près.

Partie B : Un ajustement exponentiel

L’allure du nuage incite à chercher un ajustement par une fonction f définie sur  0 ;   par   bxf x ae où a et b

sont des réels.

1. Déterminer a et b tels que f(0) = 18 et f(30) = 50. On donnera une valeur arrondie de b au millième.

2. Déduire de cet ajustement une estimation de la population en 2003, à un millier près.

3. Tracer la courbe représentative de f sur le graphique.

4. La population en 2003 était de 55 milliers. Lequel des deux ajustements vous semble le plus pertinent ? Justifier votre choix.

Partie C : Calcul d’une valeur moyenne

On considère maintenant que, pour une année, la population est donnée en fonction du rang x par   0,03418 xf x e .

1. Calculer la valeur moyenne de la fonction f sur [0 ; 30] ; on donnera le résultat arrondi au dixième.

2. À l’aide d’une lecture graphique, déterminer l’année au cours de laquelle la population atteint cette valeur moyenne ?

13. Inde 2007 (5 points)

Le rang xi = 1 est donné pour l’année 1998. La consommation est exprimée en milliers d’euros.

Année 1998 2000 2001 2002 2004

Rang de l’année xi 1 3 4 5 7

Consommation en milliers d’euros 28,5 35 52 70,5 100,5

1. Représenter le nuage de points Pi(xi ; yi)dans un repère orthogonal du plan (on prendra 1 cm comme unité en abscisses et 1cm pour 10 000 € en ordonnées).

2. Déterminer les coordonnées du point moyen G de ce nuage ; le placer dans le repère précédent.

3. On réalise un ajustement affine de ce nuage par la droite D d’équation y =12,5 x + b qui passe par le point G.

Déterminer la valeur de b. Tracer la droite D dans le repère précédent.

4. Déterminer, à l’aide de l’ajustement précédent, la consommation estimée des ménages de cette ville en 2005.

5. En réalité, un relevé récent a permis de constater qu’en 2005 la consommation réelle des ménages de cette ville était de y8=140 000 €.

Déterminer, en pourcentage, l’erreur commise par l’estimation précédente par rapport à la valeur exacte (on donnera un résultat à l’aide d’un nombre entier en effectuant un arrondi).

6. Un nouvel ajustement de type exponentiel semble alors plus adapté.

a. Recopier et compléter le tableau suivant sachant que z = lny. Les résultats seront arrondis au centième.

xi 1 3 4 5 7 8

zi = lnyi 3,35 ... ... ... ... 4,94

b. Déterminer l’équation réduite de la droite de régression de z en x obtenue par la méthode des moindres carrés à l’aide de la calculatrice; cette équation est de la forme z= cx + d; on donnera les arrondis des coefficients c et d à 10- 2.

En déduire que : y =20,49 e0,23x.

c. Estimer alors, à l’aide de ce nouvel ajustement, la consommation des ménages de cette ville en 2007 à 100 € près.

14. Inde 2008 (4 points)

Un centre d’appel comptait en 2001 soixante-six employés. Le tableau ci-dessous donne l’évolution du nombre d’employés en fonction du rang de l’année.

Année 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007

Rang de l’année xi 1 2 3 4 5 6 7

Nombre d’employés yi 66 104 130 207 290 345 428

On cherche à étudier l’évolution du nombre y d’employés en fonction du rang x de l’année. Une étude graphique montre qu’un ajustement affine ne convient pas.

On pose alors z = y – 3.

1. Recopier et compléter le tableau suivant (on donnera les résultats sous forme décimale, arrondis au centième)

Rang de l’année xi 1 2 3 4 5 6 7

zi 5,12

2. Représenter le nuage de points Mi(xi ; zi) associé à cette série statistique, dans le plan muni d’un repère orthonormal d’unité graphique 1 cm.

Un ajustement affine vous paraît-il approprié ? Justifier la réponse.

3. Déterminer, à l’aide de la calculatrice, une équation de la droite d’ajustement affine de z en x par la méthode des moindres carrés (on donnera les coefficients sous forme décimale, arrondis au centième).

Tracer cette droite sur le graphique précédent.

En utilisant cet ajustement, à partir de quelle année peut-on prévoir que l’effectif de ce centre d’appel dépassera 900 employés ?

15. Inde 2009 (5 points)

Partie 1

Sachant qu’il y avait 13 millions de cotisants au régime général de retraites en France métropolitaine en 1975 et 16,6 millions de cotisants en 2005, calculer le pourcentage d’augmentation du nombre de cotisants entre 1975 et 2005. On arrondira le résultat à 0,1 % près.

Partie 2

Le tableau ci-dessous donne le nombre de retraités en France métropolitaine entre1975 et 2005 :

Année 1975 1980 1985 1990 1995 2000 2005

Rang de l’année xi 0 1 2 3 4 5 6

Nombre de retraités (en millions) yi 4,1 5,0 5,9 7,4 8,3 9,7 10,7

Source : INSEE / Caisse Nationale d’Assurance Vieillesse 2007

1. Sur une feuille de papier millimétré, représenter le nuage de points Mi(xi ; yi) associé à la série statistique dans un repère orthogonal d’unités graphiques 2 cm en abscisse (pour les rangs d’année) et 1 cm en ordonnée (pour 1 million de retraités).

2. a. Calculer les coordonnées du point moyen G de cette série statistique.

b. Donner, à l’aide de la calculatrice, l’équation réduite de la droite dd’ajustement de y en x par la méthode des moindres carrés (on arrondira les coefficients au dixième).

c. Placer le point G et tracer la droite d dans le repère construit à la première question.

d. En utilisant l’ajustement trouvé à la question 2, déterminer par un calcul une estimation du nombre de retraités en 2010.

Partie 3

On utilisera les données des parties 1 et 2. Dans cette partie, les résultats seront donnés sous forme de pourcentage, arrondis au dixième.

On appelle rapport démographique de l’année n le rapport nombre de cotisants de l’année

nombre de retraités de l’année n

n R

n  .

1. Calculer le taux d’évolution de Rn entre 1975 et 2005.

2. Entre 2005 et 2010, une étude montre que le nombre de cotisants devrait augmenter de 6,4 % et que le nombre de retraités devrait augmenter de 12,1 %. Calculer le taux d’évolution du rapport démographique entre 2005 et 2010.

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