Statistiques - Travaux pratiques 16, Exercices de Informatique et analyse de données statistiques
Emmanuel_89
Emmanuel_8929 May 2014

Statistiques - Travaux pratiques 16, Exercices de Informatique et analyse de données statistiques

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Statistiques - Travaux pratiques 16. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: L’espace est rapporté à un repère orthonormal, la variable aléatoire.
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Terminale S

Terminale S juin 2013

Liban

1. Exercice 1 (4 points)

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Aucune justification n’est demandée. Pour chacune des questions, une seule des propositions est correcte.

Chaque réponse correcte rapporte un point. Une réponse erronée ou une absence de réponse n’ôte pas de point. On notera sur la copie le numéro de la question, suivi de la réponse correspondant à la proposition choisie.

L’espace est rapporté à un repère orthonormal ( ; , , )O i j k . Les points A, B, C et D ont pour coordonnées

respectives A(1 ; –1 ; 2), B(3 ; 3 ; 8), C(–3 ; 5 ; 4) et D(1 ; 2 ; 3).

On note  la droite ayant pour représentation paramétrique

1

2 1 ,

3 2

x t

y t t

z t

     

  

et ’ la droite ayant

pour représentation paramétrique

1

3 ,

4

x k

y k k

z k

     

   

.

On note le plan d’équation 2 0x y z    .

Question 1 :

Les droites et ’ sont parallèles.Les droites et ’ sont coplanaires.

Le point C appartient à la droite .Les droites  et ’ sont orthogonales.

Question 2 :

Le plan  contient la droite  et est parallèle à la

droite ’.

Le plan  contient la droite ’ et est parallèle à la

droite .

Le plan  contient la droite  et est orthogonal à

la droite ’.

Le plan  contient les droites  et ’.

Question 3 :

Les points A, D et C sont alignés.Le triangle ABC est rectangle en A.

Le triangle ABC est équilatéral.Le point D est le milieu du segment [AB].

Question 4 : on note ‘ le plan contenant la droite ’ et le point A. Un vecteur normal à ce plan est :

 1 ; 5 ; 4n   3 ; 1 ; 2n

 1 ; 2 ; 3n  1 ; 1 ;1n

2. Exercice 2 (5 points)

L’entreprise Fructidoux fabrique des compotes qu’elle conditionne en petits pots de 50 grammes. Elle souhaite leur attribuer la dénomination « compote allégée ».

La législation impose alors que la teneur en sucre, c’est-à-dire la proportion de sucre dans la compote, soit comprise entre 0,16 et 0,18. On dit dans ce cas que le petit pot de compote est conforme.

L’entreprise possède deux chaînes de fabrication F1 et F2 .

Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment.

Partie A

La chaîne de production F2 semble plus fiable que la chaîne de production F1. Elle est cependant moins rapide. Ainsi, dans la production totale, 70 % des petits pots proviennent de la chaîne F1 et 30 % de la chaîne F2.

La chaîne F1 produit 5 % de compotes non conformes et la chaîne F2 en produit 1 %.

On prélève au hasard un petit pot dans la production totale. On considère les évènements :

E : « Le petit pot provient de la chaîne F2 »

C : « Le petit pot est conforme. »

1. Construire un arbre pondéré sur lequel on indiquera les données qui précèdent.

2. Calculer la probabilité de l’événement : « Le petit pot est conforme et provient de la chaîne de production F1. »

3. Déterminer la probabilité de l’événement C.

4. Déterminer, à 10–3 près, la probabilité de l’évènement E sachant que l’évènement C est réalisé.

Partie B

On note X la variable aléatoire qui, à un petit pot pris au hasard dans la pro- duction de la chaîne F1, associe sa teneur en sucre.

On suppose que X suit la loi normale d’espérance m1 = 0, 17 et d’écart-type 1 0,006  .

1. Donner une valeur approchée à 10–4 près de la probabilité qu’un petit pot prélevé au hasard dans la production de la chaîne F1 soit conforme.

On note Y la variable aléatoire qui, à un petit pot pris au hasard dans la production de la chaîne F2, associe sa teneur en sucre.

2. On suppose que Y suit la loi normale d’espérance 2 0,17m  et d’écart-type 2 .

On suppose de plus que la probabilité qu’un petit pot prélevé au hasard dans la production de la chaîne F2 soit conforme est égale à 0, 99.

Soit Z la variable aléatoire définie par 2

2

Y m Z

  .

a. Quelle loi la variable aléatoire Z suit-elle ?

b. Déterminer, en fonction de 2 l’intervalle auquel appartient Z lorsque Y appartient à l’intervalle

[0,16 ; 0,18].

c. En déduire une valeur approchée à 10–3 près de 2 .

3. Exercice 3 (6 points)

Étant donné un nombre réel k, on considère la fonction fk définie sur  par   1

1 k kx

f x e

 

.

Le plan est muni d’un repère orthonormal ( ; , )O i j .

Partie A

Dans cette partie on choisit k = 1. On a donc, pour tout réel x,  1 1

1 x f x

e  

.

La représentation graphique C1 de la fonction f1 dans le repère ( ; , )O i j est donnée ci-dessous.

1. Déterminer les limites de  1f x en  et en  et interpréter graphiquement les résultats obtenus.

2. Démontrer que, pour tout réel x,  1 1

x

x

e f x

e  

.

3. On appelle 1'f la fonction dérivée de 1f sur . Calculer, pour tout réel x,  1'f x .

En déduire les variations de la fonction 1f sur .

4. On définit le nombre   1

1 0

I f x dx  .

Montrer que 1

ln 2

e I

      

. Donner une interprétation graphique de I.

Partie B

Dans cette partie, on choisit k = –1 et on souhaite tracer la courbe C–1 représentant la fonction 1f .

Pour tout réel x, on appelle P le point de C1 d’abscisse x et M le point de C–1 d’abscisse x.

On note K le milieu du segment [MP].

1. Montrer que, pour tout réel x,    1 1 1f x f x  .

2. En déduire que le point K appartient à la droite d’équation 1

2 y  .

3. Tracer la courbe C–1 sur la figure précédente.

4. En déduire l’aire, en unités d’aire, du domaine délimité par les courbes C1, C–1, l’axe des ordonnées et la droite d’équation x = 1.

Partie C

Dans cette partie, on ne privilégie pas de valeur particulière du paramètre k.

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse.

1. Quelle que soit la valeur du nombre réel k, la représentation graphique de la fonction fk est strictement comprise entre les droites d’équations y = 0 et y = 1.

2. Quelle que soit la valeur du réel k, la fonction fk est strictement croissante.

3. Pour tout réel 10k  , 1

0,99 2

kf  

   

.

4. Exercice 4 (5 points, non spécialistes)

On considère la suite numérique  nv définie pour tout entier naturel n par 0

1

1

9

6 n

n

v

v v

  

  

.

Partie A

1. On souhaite écrire un algorithme affichant, pour un entier naturel n donné, tous les termes de la suite, du rang 0 au rang n.

Parmi les trois algorithmes suivants, un seul convient. Préciser lequel en justifiant la réponse.

Algorithme No 1 Algorithme No 2 Algorithme No 3

Variables: v est un réel, i et n sont des entiers naturels

Début de l’algorithme

Lire n

v prend la valeur 1

Pour i variant de 1 à n faire

v prend la valeur 9

6 v

Fin pour

Début de l’algorithme

Lire n

Pour i variant de 1 à n faire

v prend la valeur 1

Afficher v

v prend la valeur 9

6 v

Début de l’algorithme

Lire n

v prend la valeur 1

Pour i variant de 1 à n faire

Afficher v

v prend la valeur 9

6 v

Afficher v

Fin algorithme

Fin pour

Fin algorithme

Fin pour

Afficher v

Fin algorithme

2. Pour n = 10 on obtient l’affichage suivant :

1 1,800 2,143 2,333 2,455 2,538 2,600 2,647 2,684 2,714

Pour n = 100, les derniers termes affichés sont :

2,967 2,968 2,968 2,968 2,969 2,969 2,969 2,970 2,970 2,970

Quelles conjectures peut-on émettre concernant la suite  nv ?

3. a. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, 0 3nv  .

b. Démontrer que, pour tout entier naturel n,  

2

1

3

6

n n n

n

v v v

v

  

 . La suite  nv est-elle monotone ?

c. Démontrer que la suite  nv est convergente.

Partie B Recherche de la limite de la suite  nv

On considère la suite  nw définie pour tout n entier naturel par 1

3 n

n

w v  

.

1. Démontrer que  nw est une suite arithmétique de raison 1

3  .

2. En déduire l’expression de  nw , puis celle de  nv en fonction de n.

3. Déterminer la limite de la suite  nv .

5. Exercice 4 (5 points, spécialistes)

On considère la suite  nu définie par u0 = 3, u1 = 8 et, pour tout n supérieur ou égal à 0 :

2 15 6n n nu u u   .

1. Calculer u2 et u3.

2. Pour tout entier naturel n > 2, on souhaite calculer un à l’aide de l’algorithme suivant :

Variables a,b et c sont des nombres réels,

i et n sont des nombres entiers naturels supérieurs ou égaux à 2.

Initialisation a prend la valeur 3

b prend la valeur 8

Traitement Saisir n

Pour i variant de 2 à n faire

c prend la valeur a

a prend la valeur b

b prend la valeur . . .

Fin Pour

Sortie Afficher b

a. Recopier la ligne de cet algorithme comportant des pointillés et les compléter.

On obtient avec cet algorithme le tableau de valeurs suivant :

n 7 8 9 10 11 12 13 14 15

un 4 502 13 378 39 878 119 122 356 342 1 066 978 3 196 838 9 582 322 28 730 582

b. Quelle conjecture peut-on émettre concernant la monotonie de la suite  nu ?

3. Pour tout entier naturel n, on note Cn lamatrice colonne 1n

n

u

u

     

.

On note A la matrice carrée d’ordre 2 telle que, pour tout entier naturel n, 1n nC AC  .

Déterminer A et prouver que, pour tout entier naturel n, 0 n

nC A C .

4. Soient 2 3

1 1 P       

, 2 0

0 3 D       

et 1 3

1 2 Q

    

  . Calculer QP.

On admet que A = PDQ.

Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel non nul n, n nA PD Q .

5. À l’aide des questions précédentes, on peut établir le résultat suivant, que l’on admet :

pour tout entier naturel non nul n, 1 1 1 12 3 3 2 2 3

2 3 3 2 2 3

n n n n n

n n n n A

                  

.

En déduire une expression de un en fonction de n. La suite  nu a-t-elle une limite ?

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