Statistiques - Travaux pratiques 20, Exercices de Informatique et analyse de données statistiques
Emmanuel_89
Emmanuel_8929 May 2014

Statistiques - Travaux pratiques 20, Exercices de Informatique et analyse de données statistiques

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Statistiques - Travaux pratiques 20. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les probabilités, la variable aléatoire.
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Terminale S

Terminale S juin 2013

France métropolitaine

1. Exercice 1 (5 points)

Une jardinerie vend de jeunes plants d’arbres qui proviennent de trois horticulteurs : 35 % des plants proviennent de l’horticulteur H1, 25 % de l’horticulteur H2 et le reste de l’horticulteur H3. Chaque horticulteur livre deux catégories d’arbres : des conifères et des arbres à feuilles.

La livraison de l’horticulteur H1 comporte 80 % de conifères alors que celle de l’horticulteur H2 n’en comporte que 50 % et celle de l’horticulteur H3 seulement 30 %.

1. Le gérant de la jardinerie choisit un arbre au hasard dans son stock.

On envisage les événements suivants :

H1 : « l’arbre choisi a été acheté chez l’horticulteur H1 »,

H2 : « l’arbre choisi a été acheté chez l’horticulteur H2 »,

H3 : « l’arbre choisi a été acheté chez l’horticulteur H3 »,

C : « l’arbre choisi est un conifère »,

F : « l’arbre choisi est un arbre feuillu ».

a. Construire un arbre pondéré traduisant la situation.

b. Calculer la probabilité que l’arbre choisi soit un conifère acheté chez l’horticulteur H3.

c. Justifier que la probabilité de l’évènement C est égale à 0,525.

d. L’arbre choisi est un conifère. Quelle est la probabilité qu’il ait été acheté chez l’horticulteur H1 ? On arrondira à 10–3.

2. On choisit au hasard un échantillon de 10 arbres dans le stock de cette jardinerie. On suppose que ce stock est suffisamment important pour que ce choix puisse être assimilé à un tirage avec remise de 10 arbres dans le stock.

On appelle X la variable aléatoire qui donne le nombre de conifères de l’échantillon choisi.

a. Justifier que X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètrès.

b. Quelle est la probabilité que l’échantillon prélevé comporte exactement 5 conifères ? On arrondira à 10–3.

c. Quelle est la probabilité que cet échantillon comporte au moins deux arbres feuillus ?

On arrondira à 10–3.

2. Exercice 2 (7 points)

Sur le graphique ci-dessous, on a tracé, dans le plan muni d’un repère orthonormal ( ; , )O i j la courbe

représentative C d’une fonction f définie et dérivable sur l’intervalle  0 ;  .

On dispose des informations suivantes :

– les points A, B, C ont pour coordonnées respectives (1 ; 0), (1 ; 2), (0 ; 2) ;

– la courbe C passe par le point B et la droite (BC) est tangente à C en B ;

– il existe deux réels positifs a et b tels que pour tout réel strictement positif x,   lna b x

f x x

  .

1. a. En utilisant le graphique, donner les valeurs de  1f et  ' 1f .

b. Vérifier que pour tout réel strictement positif x,    

2

ln '

b a x f x

x

   .

c. En déduire les réels a et b.

2. a. Justifier que pour tout réel x appartenant à l’intervalle  0 ;  ,  f x a le même signe que –lnx.

b. Déterminer les limites de f en 0 et en  . On pourra remarquer que pour tout réel x strictement

positif,   2 ln

2 x

f x x x   .

c. En déduire le tableau de variations de la fonction f.

3. a. Démontrer que l’équation   1f x  admet une unique solution  sur l’intervalle ]0 ; 1].

b. Par un raisonnement analogue, on démontre qu’il existe un unique réel  de l’intervalle  1 ;  tel

que   1f   . Déterminer l’entier n tel que 1n n   .

On donne l’algorithme ci-dessous.

Variables a, b et m sont des nombres réels

Initialisation Affecter à a la valeur 0

Affecter à b la valeur 1

Traitement Tant que b a > 0, 1

Affecter à m la valeur   1

2 a b

Si f(m) < 1 alors affecter à a la valeur m

Sinon affecter à b la valeur m

Fin de Si

Fin de Tant que

Sortie Afficher a

Afficher b

a. Faire tourner cet algorithme en complétant le tableau ci-dessous.

étape 1 étape 2 étape 3 étape 4 étape 5

a 0

b 1

b a

m

b. Que représentent les valeurs affichées par cet algorithme ?

c. Modifier l’algorithme ci-dessus pour qu’il affiche les deux bornes d’un encadrement de 

d’amplitude 10–1.

5. Le but de cette question est de démontrer que la courbe C partage le rectangle OABC en deux domaines d’aires égales.

a. Justifier que cela revient à démontrer que   1

1 1

e

f x dx  .

b. En remarquant que l’expression de  f x peut s’écrire 2 12 ln x x x    , terminer la démonstration.

3. Exercice 3 (4 points)

Pour chacune des quatre propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse choisie. Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse non justifiée n’est pas prise en compte. Une absence de réponse n’est pas pénalisée.

1. Proposition 1 : Dans le plan muni d’un repère orthonormé, l’ensemble des points M dont l’affixe z vérifie l’égalité 1z i z   est une droite.

2. Proposition 2 : Le nombre complexe   4

1 3i est un nombre réel.

3. Soit ABCDEFGH un cube.

Proposition 3 : Les droites (EC) et (BG) sont orthogonales.

4. L’espace est muni d’un repère orthonormé

( ; , , )O i j k . Soit le plan P d’équation cartésienne

3 4 0x y z    . On note S le point de coordonnées

(1 ; –2 ; –2).

Proposition 4 : La droite qui passe par S et qui est perpendiculaire au plan P a pour

représentation paramétrique :

2

1 ,

1 3

x t

y t t

z t

      

  

.

4. Exercice 4 (5 points, non spécialistes)

Soit la suite numérique  nu définie sur  par : u0 =2 et pour tout entier naturel n,

1

2 1 1

3 3 n nu u n    .

1. a. Calculer u1, u2, u3 et u4. On pourra en donner des valeurs approchées à 10–2 près.

b. Formuler une conjecture sur le sens de variation de cette suite.

2. a. Démontrer que pour tout entier naturel n, 3nu n  .

b. Démontrer que pour tout entier naturel n,  1 1

3 3

n n nu u n u     .

c. En déduire une validation de la conjecture précédente.

3. On désigne par  nv la suite définie sur  par n nv u n  .

a. Démontrer que la suite  nv est une suite géométrique de raison 2

3 .

b. En déduire que pour tout entier naturel n, 2

2 3

n

nu n  

    

.

c. Déterminer la limite de la suite  nu .

4. Pour tout entier naturel non nul n, on pose : 0 1 0

...

k n

n k n

k

S u u u u

     et 2nn S

T n  .

a. Exprimer Sn en fonction de n.

b. Déterminer la limite de la suite  nT .

5. Exercice 4 (5 points, spécialistes)

On étudie la population d’une région imaginaire. Le 1er janvier 2013, cette région comptait 250 000 habitants dont 70 % résidaient à la campagne et 30 % en ville.

L’examen des données statistiques recueillies au cours de plusieurs années amène à choisir de modéliser l’évolution de la population pour les années à venir de la façon suivante :

• l’effectif de la population est globalement constant,

• chaque année, 5 % de ceux qui résident en ville décident d’aller s’installer à la campagne et 1 % de ceux qui résident à la campagne choisissent d’aller habiter en ville.

Pour tout entier naturel n, on note nv le nombre d’habitants de cette région qui résident en ville au

1er janvier de l’année (2013+n) et nc le nombre de ceux qui habitent à la campagne à la même date.

1. Pour tout entier naturel n, exprimer 1nv  et 1nc  en fonction de nv et nc .

2. Soit la matrice 0,95 0,01

0,05 0,99 A       

. On pose a

X b

      

a, b sont deux réels fixés et Y = AX.

Déterminer, en fonction de a et b, les réels c et d tels que c

Y d

      

.

Les résultats précédents permettent d’écrire que pour tout entier naturel n, 1n nX AX  où n

n n

v X

c

      

.

On peut donc en déduire que pour tout entier naturel n, 0 n

nX A X .

3. Soient les matrices 1 1

5 1 P

      

et 1 1

5 1 Q       

.

a. Calculer PQ et QP. En déduire lamatrice P–1 en fonction de Q.

b. Vérifier que lamatrice 1P AP est une matrice diagonale D que l’on précisera.

c. Démontrer que pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, 1n nA PD P .

4. Les résultats des questions précédentes permettent d’établir que

   0 0 1 1

1 5 0,94 1 0,94 6 6

n n nv v c     .

Quelles informations peut-on en déduire pour la répartition de la population de cette région à long terme ?

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