Statistiques - Travaux pratiques 21, Exercices de Informatique et analyse de données statistiques
Emmanuel_89
Emmanuel_8929 May 2014

Statistiques - Travaux pratiques 21, Exercices de Informatique et analyse de données statistiques

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Statistiques - Travaux pratiques 21 Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Les limites de la fonction, L’algorithme
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Terminale S

Terminale S juin 2013

Polynésie

1. Exercice 1 (6 points)

On considère la fonction f définie sur  par    2 xf x x e  . On note C la courbe représentative de la

fonction f dans un repère orthogonal.

1. Étude de la fonction f.

a. Déterminer les coordonnées des points d’intersection de la courbe C avec les axes du repère.

b. Étudier les limites de la fonction f en 1 et en –1. En déduire les éventuelles asymptotes de la courbe C.

c. Étudier les variations de f sur .

2. Calcul d’une valeur approchée de l’aire sous une courbe.

On note D le domaine compris entre l’axe des abscisses, la courbe C et les droites d’équation x=0 et x=1. On approche l’aire du domaine D en calculant une somme d’aires de rectangles.

a. Dans cette question, on découpe l’intervalle [0 ; 1] en quatre intervalles de même longueur :

Sur l’intervalle 1

0 ; 4

     

, on construit un rectangle de hauteur  0f ;

sur l’intervalle 1 1

; 4 2

     

, on construit un rectangle de hauteur 1

4 f      

;

sur l’intervalle 1 3

; 2 4

     

, on construit un rectangle de hauteur 1

2 f      

;

sur l’intervalle 3

;1 4

     

, on construit un rectangle de hauteur 3

4 f      

;

Cette construction est illustrée ci-dessous.

L’algorithme ci-dessous permet d’obtenir une valeur approchée de l’aire du domaine D en ajoutant les aires des quatre rectangles précédents :

Variables k est un nombre entier ; S est un nombre réel.

Initialisation Affecter à S la valeur 0.

Traitement Pour k variant de 0 à 3

Affecter à S la valeur 1

4 4

k S f

    

 

Fin Pour

Sortie Afficher S.

Donner une valeur approchée à 10–3 près du résultat affiché par cet algorithme.

b. Dans cette question, N est un nombre entier strictement supérieur à 1. On découpe l’intervalle [0; 1] en N intervalles de même longueur.

Sur chacun de ces intervalles, on construit un rectangle en procédant de la même manière qu’à la question 2. a. Modifier l’algorithme précédent afin qu’il affiche en sortie la somme des aires des N rectangles ainsi construits.

3. Calcul de la valeur exacte de l’aire sous une courbe.

Soit g la fonction définie sur  par    3 xg x x e   . On admet que g est une primitive de la fonction f

sur .

a. Calculer l’aire A du domaine D, exprimée en unités d’aire.

b. Donner une valeur approchée à 10–3 près de l’erreur commise en remplaçant A par la valeur approchée trouvée au moyen de l’algorithme de la question 2.a., c’est à dire l’écart entre ces deux valeurs.

2. Exercice 2 (4 points)

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Aucune justification n’est demandée. Pour chacune des questions, une seule des quatre propositions est exacte. Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse erronée ou une abscence de réponse n’ôte pas de point.

Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie.

1. Soit 41 6 i

z e

 et 32 2 i

z e

 

 . La forme exponentielle de 1

2

z i

z est :

a.

19

123 i

e

b. 1212 i

e

 

c.

7

123 i

e

d.

13

123 i

e

2. L’équation z z  , d’inconnue complexe z, admet :

a. une solution b. deux solutions

c. une infinité de solutions dont les points images dans le plan complexe sont situés sur une droite.

d. une infinité de solutions dont les points images dans le plan complexe sont situés sur un cercle.

3. Dans un repère de l’espace, on considère les trois points A(1 ; 2 ; 3), B(–1 ; 5 ; 4) et C(–1 ; 0 ; 4). La droite parallèle à la droite (AB) passant par le point C a pour représentation paramétrique :

a.

2 1

3

4

x t

y t

z t

    

  

b.

1

7

7 4

x

y t

z t

   

  

c.

1 2

5 3

4

x t

y t

z t

     

  

d.

2

3

x t

y t

z t

   

  

4. Dans un repère orthonormé de l’espace, on considère le plan P passant par le point D(–1 ; 2 ; 3) et de

vecteur normal  3 ; 5 ;1n  , et la droite  de représentation paramétrique 7

3 ,

2 5

x t

y t t

z t

     

  

.

a. La droite  est perpendiculaire au plan P.

b. La droite  est est parallèle au plan P et n’a pas de point commun avec le plan P.

c. La droite  et le plan P sont sécants.

d. La droite  est incluse dans le plan P.

3. Exercice 3 (5 points)

Les 3 parties peuvent être traitées de façon indépendante.

Thomas possède un lecteur MP3 sur lequel il a stocké plusieurs milliers de morceaux musicaux.

L’ensemble des morceaux musicaux qu’il possède se divise en trois genres distincts selon la répartition suivante : 30 % de musique classique, 45 % de variété, le reste étant du jazz.

Thomas a utilisé deux qualités d’encodage pour stocker ses morceaux musicaux : un encodage de haute qualité et un encodage standard. On sait que :

- les 5

6 des morceaux de musique classique sont encodés en haute qualité.

- les 5

9 des morceaux de variété sont encodés en qualité standard.

On considérera les événements suivants :

C : « Le morceau écouté est un morceau de musique classique » ;

V : « Le morceau écouté est un morceau de variété » ;

J : « Le morceau écouté est un morceau de jazz » ;

H : « Le morceau écouté est encodé en haute qualité » ;

S : « Le morceau écouté est encodé en qualité standard ».

Partie 1

Thomas décide d’écouter un morceau au hasard parmi tous les morceaux stockés sur son MP3 en utilisant la fonction « lecture aléatoire ». On pourra s’aider d’un arbre de probabilités.

1. Quelle est la probabilité qu’il s’agisse d’un morceau de musique classique encodé en haute qualité ?

2. On sait que   13

H 20 P .

a. Les événements C et H sont-ils indépendants ?

b. Calculer  J HP et  J HP .

Partie 2

Pendant un long trajet en train, Thomas écoute, en utilisant la fonction « lecture aléatoire » de son MP3, 60 morceaux de musique.

1. Déterminer l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil 95 % de la proportion de morceaux de musique classique dans un échantillon de taille 60.

2. Thomas a comptabilisé qu’il avait écouté 12 morceaux de musique classique pendant son voyage. Peut-on penser que la fonction « lecture aléatoire » du lecteur MP3 de Thomas est défectueuse ?

Partie 3

On considère la variable aléatoire X qui, à chaque chanson stocké sur le lecteur MP3, associe sa durée exprimée en secondes et on établit que X suit la loi normale d’espérance 200 et d’écart-type 20.

On pourra utiliser le tableau fourni ci-dessous dans lequel les valeurs sont arrondies au millième le plus proche.

On écoute un morceau musical au hasard.

1. Donner une valeur approchée à 10–3 près de  180 220X P .

2. Donner une valeur approchée à 10–3 près de la probabilité que le morceau écouté dure plus de 4 minutes.

b  X bP b  X bP

140 0,001 210 0,691

150 0,006 220 0,841

160 0,023 230 0,933

170 0,067 240 0,977

180 0,159 250 0,994

190 0,309 260 0,999

200 0,500

4. Exercice 4 (5 points, non spécialistes)

On considère la suite  nu définie par 0 1

2 u  et telle que pour tout entier naturel n, 1

3

1 2

n n

n

u u

u  

 .

1. a. Calculer 1u et 2u .

b. Démontrer, par récurrence, que pour tout entier naturel n, 0 nu .

2. On admet que pour tout entier naturel n, 1nu  .

a. Démontrer que la suite  nu est croissante.

b. Démontrer que la suite  nu converge.

3. Soit  nv la suite définie, pour tout entier naturel n, par 1

n n

n

u v

u  

.

a. Montrer que la suite  nv est une suite géométrique de raison 3.

b. Exprimer pour tout entier naturel n, nv en fonction de n.

c. En déduire que, pour tout entier naturel n, 3

3 1

n

n n u

 .

d. Déterminer la limite de la suite  nu .

5. Exercice 4 (5 points, spécialistes)

Un opérateur téléphonique A souhaite prévoir l’évolution de nombre de ses abonnés dans une grande ville par rapport à son principal concurrent B à partir de 2013.

En 2013, les opérateurs A et B ont chacun 300 000 d’abonnés.

Pour tout entier naturel n, on note na le nombre d’abonnés, en milliers, de l’opérateur A la n-ième année

après 2013, et nb le nombre d’abonnés, en milliers, de l’opérateur B la n-ième année après 2013.

Ainsi, 0 0 300a b  .

Des observations réalisées les années précédentes conduisent à modéliser la situation par la relation

suivante : pour tout entier naturel n, 1

1

0,7 0,2 60

0,1 0,6 70

n n n

n n n

a a b

b a b

   

   .

On considère les matrices 0,7 0,2

0,1 0,6 M       

et 60

70 P       

.

Pour tout entier naturel n, on note nU la matrice n

n

a

b

     

.

1.a. Déterminer 1U .

b. Vérifier que, pour tout entier naturel n, 1n nU M U P    .

2. On note I la matrice 1 0

0 1

     

.

a. Calculer   4 2

1 3 I M

    

  .

b. En déduire que la matrice I M est inversible et préciser son inverse.

c. Déterminer la matrice U telle que U M U P   .

3. Pour tout entier naturel n, on pose n nV U U  .

a. Justifier que, pour tout entier naturel n, 1n nV M V   .

b. En déduire que, pour tout entier naturel n, 0 n

nV M V  .

4. On admet que, pour tout entier naturel n,

100 140 0,8 0,5

3 3

50 140 0,8 0,5

3 3

n n

n n n

V

     

         

.

a. Pour tout entier naturel n, exprimer nU en fonction de n et en déduire la limite de la suite  na .

b. Estimer le nombre d’abonnés de l’opérateur A à long terme.

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