Statistiques - Travaux pratiques 3, Exercices de Informatique et analyse de données statistiques
Emmanuel_89
Emmanuel_8929 May 2014

Statistiques - Travaux pratiques 3, Exercices de Informatique et analyse de données statistiques

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Statistiques - Travaux pratiques 3. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la fonction, l’intégrale, l’expression.
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Terminale S

Terminale S juin 2012

Liban

1. Exercice 1 (6 points)

Partie A

On considère la fonction g définie sur l’intervalle  0 ;  par :   32 1 2lng x x x   .

1. étudier les variations de la fonction g sur l’intervalle  0 ;  .

2. Justifier qu’il existe un unique réel  tel que   0g   . Donner une valeur approchée de  ,

arrondie au centième.

3. En déduire le signe de la fonction g sur l’intervalle  0 ;  .

Partie B

On considère la fonction f définie sur l’intervalle  0 ;  par :   2

ln 2

x f x x

x   .

On note  la courbe représentative de la fonction f dans le plan, muni d’un repère ( ; , )O i j orthogonal.

1. Déterminer les limites de la fonction f en 0 et en  .

2. Démontrer que la courbe  admet pour asymptote oblique la droite  d’équation 2y x .

Étudier la position relative de la courbe  et de la droite .

3. Justifier que  'f x a même signe que  g x .

4. En déduire le tableau de variation de la fonction f.

5. Tracer la courbe  dans le repère ( ; , )O i j . On prendra comme unités : 2 cm sur l’axe des abscisses, 1

cm sur l’axe des ordonnées.

Partie C

Soit n un entier naturel non nul. On considère l’aire du domaine E du plan compris entre la courbe , la

droite  et les droites d’équations respectives 1x  et x n .

1. Justifier que cette aire, exprimée en cm2, est donnée par : 2

1

ln 2

n

n

x I dx

x   .

2. a. Calculer l’intégrale 2

1

ln 2

n

n

x I dx

x   à l’aide d’une intégration par parties.

b. En déduire l’expression de In en fonction de n.

3. Calculer la limite de l’aire In du domaine E quand n tend vers  .

2. Exercice 2 (4 points)

Les quatre questions sont indépendantes.

Dans cet exercice, pour chaque question, une affirmation est proposée. On demande d’indiquer sur la copie si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse. Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte, mais toute trace de recherche sera valorisée.

1. Dans l’espace rapporté à un repère orthonormal ( ; , , )O i j k , on considère les droites D1 et D2 de

représentations paramétriques respectives :

4

6 2 ,

4

x t

y t t

z t

     

  

, et

8 5 '

2 2 ' , '

6 '

x t

y t t

z t

     

  

.

Affirmation : les droites D1 et D2 sont coplanaires.

2. Dans l’espace rapporté à un repère orthonormal ( ; , , )O i j k , on considère les points A(12 ; 7 ; –13) et

B(3 ; 1 ; 2) ainsi que le plan P d’équation 3 2 5 1x y z   .

Affirmation : le point B est le projeté orthogonal du point A sur le plan P.

3. On considère les suites u et v définies, pour tout entier naturel n, par : 1

2 n

n u

n

  

et 1

2 2

nv n

  

.

Affirmation : ces deux suites sont adjacentes.

4. On considère la suite u définie par son premier terme 0 1u  et la relation de récurrence :

1

1 2

3 n nu u   , pour tout entiernaturel n.

Affirmation : cette suite est majorée par 3.

3. Exercice 3 (5 points)

On dispose de deux urnes U1 et U2.

L’urne U1 contient 4 jetons numérotés de 1 à 4.

L’urne U2 contient 4 boules blanches et 6 boules noires.

Un jeu consiste à tirer un jeton de l’urne U1, à noter son numéro, puis à tirer simultanément de l’urne U2 le nombre de boules indiqué par le jeton.

On considère les événements suivants :

J1 : « le jeton tiré de l’urne U1 porte le numéro 1 »

J2 : « le jeton tiré de l’urne U1 porte le numéro 2 »

J3 : « le jeton tiré de l’urne U1 porte le numéro 3 »

J4 : « le jeton tiré de l’urne U1 porte le numéro 4 »

B : « toutes les boules tirées de l’urne U2 sont blanches »

On donnera tous les résultats sous la forme d’une fraction irréductible sauf dans la question 4.b. où une valeur arrondie à 10–2 suffit.

1. Calculer  J1 BP , probabilité de l’événement B sachant que l’événement J1 est réalisé.

Calculer de même la probabilité  J2 BP . On admet dans la suite les résultats suivants :  J3 1

B 30 P et

 J4 1

B 210 P .

2. Montrer que  BP , probabilité de l’événement B, vaut 1

7 .

3. On dit à un joueur que toutes les boules qu’il a tirées sont blanches. Quelle est la probabilité que le jeton tiré porte le numéro 3 ?

4. On joue 10 fois de suite à ce jeu. Chacune des parties est indépendante des précédentes. On note N la variable aléatoire prenant comme valeur le nombre de parties où toutes les boules tirées sont blanches.

a. Quelle est la loi suivie par la variable aléatoire N ?

b. Calculer la probabilité de l’événement (N = 3).

4. Exercice 4 (5 points, non spécialistes)

On se place dans le plan complexe muni d’un repère orthonormal direct (O ; , )u v .

1. Un triangle

a. On considère les points A, B et C d’affixes respectives 2a  , 3 3b i  et 2 3c i .

Déterminer une mesure de l’angle ABC .

b. En déduire que l’affixe  du centre  du cercle circonscrit au triangle ABC est 1 3i .

2. Une transformation du plan

On note  nz la suite de nombres complexes, de terme initial 0 0z  , et telle que : 1 1 3

2 2

n n

i z z

   ,

pour tout entier naturel n. On note An le point d’affixe zn.

a. Montrer que les points A2, A3 et A4 ont pour affixes respectives : 3 3i , 2 2 3i et 2 3i .

On remarquera que : 1A A , 2A B et 3A C .

b. Comparer les longueurs des segments [A1A2], [A2A3] et [A3A4].

c. Établir que pour tout entier naturel n, on a :  1 1 3

2 n n

i z z 

    où  désigne le nombre

complexe défini à la question 1. b.

d. En déduire que le point 1An est l’image du point An par une transformation dont on précisera les

éléments caractéristiques.

e. Justifier que, pour tout entier naturel n, on a : An+6 = An. Déterminer l’affixe du point A2012.

3. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

Déterminer, pour tout entier naturel n, la longueur du segment [AnAn+1].

5. Exercice 4 (5 points, spécialistes)

On se place dans le plan complexe muni d’un repère orthonormal direct (O ; , )u v .

On note  nz la suite de nombres complexes, de terme initial 0 0z  , et telle que : 1 1

1 2

n n

i z z

   ,

pour tout entier naturel n. On note An le point d’affixe zn.

1. Calculer les affixes des points A1, A2 et A3. Placer ces points dans le plan muni du repère (O ; , )u v .

2. a. Montrer que le point An+1 est l’image du point An par une similitude directe s, dont on définira le rapport, l’angle et le centre  , d’affixe  .

b. Démontrer que le triangle  AnAn+1 est isocèle rectangle.

3. a. Établir que, pour tout entier naturel n, on a :

1 2

A 2

n

n

  

      

.

b. À partir de quelle valeur de n les points An sont-ils situés à l’intérieur du disque de centre  et de rayon 0,001 ?

4. Pour tout entier naturel n, on note an la longueur AnAn+1 et Ln la somme

0

n

k

k

a

 .

Ln est ainsi la longueur de la ligne polygonal A0A1 … AnAn+1.

Déterminer la limite de Ln quand n tend vers  .

5. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

Démontrer que, pour tout entier naturel n, les points An,  et An+4 sont alignés.

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