Statistiques - Travaux pratiques 5, Exercices de Informatique et analyse de données statistiques
Emmanuel_89
Emmanuel_8929 May 2014

Statistiques - Travaux pratiques 5, Exercices de Informatique et analyse de données statistiques

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Statistiques - Travaux pratiques 5. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: étude de la fonction, recherche d’une tangente particulière, calcul d’aire.
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Terminale S

Terminale S juin 2012

Antilles - Guyane

1. Exercice 1 (6 points)

Les parties B et C sont indépendantes.

On note  l’ensemble des nombres réels et on considère la fonction f définie sur  par   1 1xf x xe   .

On note  sa courbe représentative dans un repère orthonormé ( ; , )O i j .

Partie A : étude de la fonction

1. Déterminer la limite de f en  . Que peut-on en déduire pour la courbe  ?

2. Déterminer la limite de f en  .

3. On admet que f est dérivable sur , et on note f  sa fonction dérivée.

Montrer que, pour tout réel x,     1' 1 xf x x e   .

4. Étudier les variations de f sur  et dresser son tableau de variation sur .

Partie B : recherche d’une tangente particulière

Soit a un réel strictement positif. Le but de cette partie est de rechercher s’il existe une tangente à la

courbe  au point d’abscisse a, qui passe par l’origine du repère.

1. On appelle Ta la tangente à  au point d’abscisse a. Donner une équation de Ta.

2. Démontrer qu’une tangente à  en un point d’abscisse a strictement positive passe par l’origine du

repère si et seulement si a vérifie l’égalité 2 11 0aa e   .

3. Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète sera prise en compte dans l’évaluation.

Démontrer que 1 est l’unique solution sur l’intervalle  0 ;  de l’équation 2 11 0xx e   .

4. Donner alors une équation de la tangente recherchée.

Partie C : calcul d’aire

Le graphique donné ci-dessous représente la courbe  de la fonction f dans un repère orthonormé

( ; , )O i j .

1. Construire sur ce graphique la droite  d’équation y = 2x. On admet que la courbe  est au-dessus de

la droite  . Hachurer le domaine D limité par la courbe  la droite  , la droite d’équation (x = 1) et l’axe des ordonnées.

2. On pose 1

1

0

xI xe dx  . Montrer à l’aide d’une intégration par parties que 1

I e  .

3. En déduire la valeur exacte (en unités d’aire) de l’aire du domaine D.

2. Exercice 2 (4 points)

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct ( ; , )O u v .

On réalisera sur une feuille de papier millimétré une figure en prenant pour unité 2 cm. On complètera cette figure au fur et à mesure des questions.

On considère les points A, B et C du plan complexe d’affixes respectives 1 2a i   , 2b i   ,

3c i   .

1. Placer les points A, B et C sur le graphique.

2. Calculer b

a . En déduire la nature du triangle OAB.

3. On considère l’application f qui à tout point M d’affixe z avec z b , associe le point M’ d’affixe z

définie par : 1 2

' 2

z i z

z i

    

.

a. Calculer l’affixe c’ du point C’, image de C par f et placer le point C’ sur la figure.

b. Déterminer l’ensemble E des points M d’affixe z avec z b , tels que ' 1z  .

c. Justifier que E contient les points O et C. Tracer E.

4. Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète sera prise en compte dans l’évaluation.

On appelle J l’image du point A par la rotation r de centre O et d’angle 2

  . On appelle K l’image du

point C par la rotation r’ de centre O et d’angle 2

 . On note L le milieu de [JK].

Démontrer que la médiane issue de O du triangle OJK est la hauteur issue de O du triangle OAC.

3. Exercice 3 (5 points)

Soit  nu la suite définie pour tout entier naturel n non nul par 1 1

2 u  et 1

1

2 n n

n u u

n

  .

1. Calculer u2, u3 et u4.

2. a. Démontrer que, pour tout entier naturel n non nul, un est strictement positif.

b. Démontrer que la suite  nu est décroissante.

c. Que peut-on en déduire pour la suite  nu ?

3. Pour tout entier naturel n non nul, on pose nn u

v n

 .

a. Démontrer que la suite  nv est géométrique. On précisera sa raison et son premier terme v1.

b. En déduire que, pour tout entier naturel n non nul, 2

n n

n u  .

4. Soit la fonction f définie sur l’intervalle  1 ;  par   ln ln 2f x x x  .

a. Déterminer la limite de f en  .

b. En déduire la limite de la suite  nu .

4. Exercice 4 (5 points, non spécialistes)

Pour les candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité. Les cinq questions sont indépendantes.

1. Dans un lycée donné, on sait que 55 % des élèves sont des filles. On sait également que 35 % des filles et 30 % des garçons déjeunent à la cantine.

On choisit, au hasard, un élève du lycée. Quelle est la probabilité que cet élève ne déjeune pas à la cantine ?

2. Une urne contient 10 jetons numérotés de 1 à 10, indiscernables au toucher. On tire 3 jetons simultanément. Combien de tirages différents peut-on faire contenant au moins un jeton à numéro pair ?

3. Une variable aléatoire Y suit une loi binomiale de paramètres 20 et 1

5 .

Calculer la probabilité que Y soit supérieure ou égale à 2. Donner une valeur approchée du résultat à 10– 3.

4. Un appareil ménager peut présenter après sa fabrication deux défauts.

On appelle A l’évènement « l’appareil présente un défaut d’apparence » et F l’événement « l’appareil présente un défaut de fonctionnement ».

On suppose que les évènements A et F sont indépendants.

On sait que la probabilité que l’appareil présente un défaut d’apparence est égale à 0,02 et que la probabilité que l’appareil présente au moins l’un des deux défauts est égale à 0,069.

On choisit au hasard un des appareils. Quelle est la probabilité que l’appareil présente le défaut F ?

5. On considère l’algorithme :

Entrée A et C sont des entiers naturels

Calculs C prend la valeur 0

Répéter 9 fois

A prend une valeur aléatoire entière entre 1 et 7.

Si A > 5 alors C prend la valeur de C + 1

Fin Si

Fin répéter

Sortie Afficher C.

Dans l’expérience aléatoire simulée par l’algorithme précédent, on appelle X la variable aléatoire prenant la valeur C affichée. Quelle loi suit la variable X ? Préciser ses paramètres.

5. Exercice 4 (5 points, spécialistes)

Les quatre questions sont indépendantes.

1. a. Vérifier que le couple (4 ; 6) est une solution de l’équation (E) 11x − 5y = 14.

b. Déterminer tous les couples d’entiers relatifs (x ; y) vérifiant l’équation (E).

2. a. Démontrer que, pour tout entier naturel n,  32 1 mod 7n  .

b. Déterminer le reste de la division euclidienne de 20112012 par 7.

3. On se place dans le plan complexe. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la transformation f qui à tout point M d’affixe z associe le point M’ d’affixe z’ tel que :

  3

' 1 4 2 2

z i z i    .

4. On considère l’algorithme suivant où Ent A

N

     

désigne la partie entière de A

N (par exemple

  37

Ent Ent 7,4 7 5

    

  ).

Entrée A et N sont des entiers naturels

Saisir A

Calculs N prend la valeur 1

Tant que N A

Si A A

Ent 0 N N

    

  alors

Afficher N et A

N

Fin si

N prend la valeur N + 1

Fin Tant que.

Quels résultats affiche cet algorithme pour A = 12 ?

Que donne cet algorithme dans le cas général ?

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