Statistiques - Travaux pratiques 6, Exercices de Informatique et analyse de données statistiques

Télécharge Statistiques - Travaux pratiques 6 et plus Exercices au format PDF de Informatique et analyse de données statistiques sur Docsity uniquement! Terminale S juin 2012 Asie 1. Exercice 1 (5 points) Les cinq questions sont indépendantes. Pour chaque question, une affirmation est proposée. Indiquer si cette affirmation est vraie ou fausse, en justifiant la réponse. Une réponse correcte et justifiée rapporte 1 point. 1. Dans l’espace rapporté à un repère orthonormal ( ; , , )O i j k , on considère la droite D dont on donne une représentation paramétrique, et le plan P dont on donne une équation cartésienne : 1 2 D : , 5 4 x t y t t z t          et P : 3 2 5 0x y z    . Affirmation 1 : la droite D est strictement parallèle au plan P. 2. Dans l’espace rapporté à un repère orthonormal ( ; , , )O i j k , on considère le point A(1 ; 9 ; 0) et le plan P d’équation cartésienne : 4 3 0x y z    . Affirmation 2 : la distance du point A au plan P est égale à 3 2 . 3. Soit la fonction f définie pour tout réel x par :   2 3 1 x f x e   . On note  la courbe représentative de la fonction f dans un repère du plan. Affirmation 3 : la courbe  admet deux asymptotes parallèles à l’axe des abscisses. 4. Pour tout réel x, on pose     1 2 x tF x t e dt  . Affirmation 4 :  F x est négatif ou nul quelle que soit la valeur du réel x supérieur à 1. 5. On considère l’intégrale 2 1 ln e I t tdt  . Affirmation 5 : la valeur exacte de l’intégrale I est : 32 1 9 e  . 2. Exercice 2 (5 points, non spécialistes) Le plan est muni d’un repère orthonormal direct ( ; , )O u v . On note r la rotation de centre O et d’angle 6  . On considère le point A, d’affixe A 3z i   , le point A1 d’affixe A A1z z où Az désigne le conjugué de zA. On note enfin B image du point A, par la rotation r et zB l’affixe du point B. 1. a. Écrire le nombre complexe zA sous forme exponentielle, puis placer les points A et A1, dans le repère. On prendra 2 cm comme unité graphique. b. Vérifier que 2 3 B 2 i z e    sous forme exponentielle, puis écrire le nombre complexe zB sous forme algébrique. Placer alors le point B dans le même repère. 2. On considère le vecteur unitaire w , tel que  ; 12 u w   , et la droite  passant par O et de vecteur directeur w . a. Démontrer que le triangle OAB est rectangle isocèle en O. b. Tracer la droite  , puis démontrer que  est la bissectrice de l’angle  OA ; OB . En déduire que les points A et B sont symétriques par rapport à la droite  . 3. On note B1 le symétrique de B par rapport à l’axe (O ; )u et B’ l’image de B1 par la rotation r. Démontrer que B’ = A. 4. Dans cette question, toute trace de recherche ou d’initiative, même non aboutie, sera prise en compte dans l’évaluation. Soit C le point d’affixe  2 1 i et D le symétrique de C par rapport à la droite  . Construire les points C et D, puis calculer l’affixe du point D. 3. Exercice 2 (5 points, spécialistes) Le plan est muni d’un repère orthonormal direct ( ; , )O u v . Partie A - Détermination d’une similitude directe On considère les points A et B d’affixes respectives : A 1 3 2 2 z i   et B 3z i   . 1. a. Écrire les nombres complexes zA et zB sous forme exponentielle. b. Placer les points A et B dans le repère. On prendra 1 cm comme unité graphique. 2. a. Déterminer l’écriture complexe de la similitude directe f de centre O qui transforme le point A en B. b. Préciser les éléments caractéristiques dc la similitude f. Partie B - Étude d’une transformation Le but de cette partie est d’étudier la transformation g s f où f désigne la similitude définie dans la partie A et s la réflexion d’axe (O ; )u . 1. Soit M un point quelconque du plan. On désigne par M’ l’image du point M par la transformation g. On note z et z’ les affixes respectives des points M et M’, et z celle du conjugué de z. a. Démontrer l’égalité : 6' i z e z    . b. On pose C = g(A) et D = g(C). Calculer les affixes respectives des points C et D, puis placer les points C et D sur la figure. c. Quelle est la nature du triangle OAC ? d. Démontrer que les vecteurs OA et OD sont colinéaires. 2. Dans cette question, toute trace de recherche ou d’initiative, même non aboutie, sera prise en compte dans l’évaluation. Déterminer la nature de la transformation g g et préciser ses éléments géométriques. 4. Exercice 3 (5 points) Soit k un entier naturel supérieur ou égal à 2. Une urne contient k boules noires et 3 boules blanches. Ces k + 3 boules sont indiscernables au toucher. Une partie consiste à prélever au hasard successivement et avec remise deux boules dans cette urne. On établit la règle de jeu suivante : – un joueur perd 9 euros si les deux boules tirées sont de couleur blanche ; – un joueur perd 1 euro si les deux boules tirées sont de couleur noire ; – un joueur gagne 5 euros si les deux boules tirées sont de couleurs différentes ; on dit dans ce cas là qu’il gagne la partie. Partie A Dans la partie A, on pose k = 7. Ainsi l’urne contient 3 boules blanches et 7 boules noires indiscernables au toucher. 1. Un joueur joue une partie. On note p la probabilité que le joueur gagne la partie, c’est-à-dire la probabilité qu’il ail tiré deux boules de couleurs différentes. Démontrer que p = 0,42. 2. Soit n un entier tel que n > 2. Un joueur joue n parties identiques et indépendantes.