T.P modélisation mathématique  - 1, Exercices de Modélisation mathématique et simulation

T.P modélisation mathématique - 1, Exercices de Modélisation mathématique et simulation

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Travaux pratiques sur la modélisation mathématique sur les entiers naturels. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le cardinal, l'espace vectoriel euclidien, l’axe de rotation.
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[ Baccalauréat C juin 1982 Paris Créteil et Versailles \

EXERCICE 1 4 points

Pour chaque couple (a, q) d’entiers naturels tels que 16 q 6 a on note bq le quo- tient dans la division euclidienne de a par q . On appelle Sq l’ensemble des entiers naturels non nuls b tels que s soit le quotient dans la division euclidienne de a par b.

1. On suppose dans cette question que a = 1982. a. Déterminer b1 ; b8 ; b9 ; b1982.

b. Soit b un entier naturel non nul. Démontrer que b 6 b8 si, et seulement si, 8b6 1982, démontrer que b > b9 si, et seulement si, 9b > 1982.

c. En déduire que S8 = {b ∈N ; b9 < b6 b8}. Déterminer le cardinal de S8. 2. On suppose que a est quelconque et que 16 q < a.

a. Démontrer que Sq = {b ∈N ; bq+1 < b6 bq }. b. Démontrer que ∀a> 1

a

q=1 Card.

(

Sq )

= a

où Card (

Sq )

désigne le cardinal de Sq .

EXERCICE 2 4 points

Soit E un espace vectoriel euclidien de dimension trois, muni d’une base orthonor-

mée (−→ ı ,

−→ ,

−→ k )

et E un espace affine associé muni du repère (

O, −→ ı ,

−→ ,

−→ k )

.

On donne l’application de E dans E qui au point M de coordonnées (x ; y ; z) associe le point (M)=M ′ de coordonnées

(

x′ ; y ′ ; z ′ )

définies par

x′ = −z+α y ′ = −x z ′ = y −2

α est un réel donné,

1. Montrer que est un déplacement que l’on caractérisera.

2. Pour quelle valeur de α ce déplacement est-il une rotation ?

Préciser dans ce cas l’axe de rotation.

3. On suppose dans cette question que α= 1. Montrer que f1 est un vissage dont on précisera l’axe.

PROBLÈME 12 points

Pour chaque entier k strictement positif, on définit une application fk de R dans R

qui à tout x associe fk (x)= xk

p x2+1

.

On appelle f0 l’application de R dans R qui à tout x associe f0(x)= 1

p x2+1

.

Terminale C A. P. M. E. P.

1. a. Démontrer que pour chaque k > 1, la fonction fk est croissante sur R+ ; en déduire, suivant la parité de l’entier k, le sens de variation des fonc- tions fk .

b. Étudier, en discutant suivant les valeurs de k > 1, les limites de fk (x) et

de fk (x)

x quand x tend vers +∞.

Que peut-on en déduire pour les branches infinies des courbes repré- sentatives Ck des fonctions fk ?

c. Démontrer que les courbes Ck passent par deux points fixes ; construire sur une même figure et dans un plan affine euclidien muni d’un repère

orthonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

les courbes C1, C2, C3.

On précisera, s’il y a lieu, les asymptotes. (On prendra 2 cm pour unité.)-

2. Soit (Ik )k∈N la suite réelle définie par

Ik = ∫1

0 fk (x)dx.

a. Démontrer que la fonction x 7−→ Log (

x+ p x2+1

)

est une primitive de

la fonction x 7−→ 1

p x2+1

(Log désigne la fonction logarithme népérien).

En déduire la valeur de I0.

b. Calculer I1.

c. Démontrer que, pour tout entier k > 2, on a la relation

k.Ik = p 2− (k−1)Ik−2.

En déduire I2 et I3.

d. Démontrer que Ik 6 1

k+1 et en déduire la limite de la suite Ik quand k

tend vers +∞.

3. Soit u0 un nombre réel tel que 0 < u0 < 1 ; on définit par récurrence une suite infinie (un )n∈N en posant

pourk > 0fixéu1 = fk (u0) , un = fk (un−1) pourn> 1.

a. Démontrer par récurrence que la suite (un )n∈N est décroissante.

b. On suppose que k > 2.

Vérifier que pour tout entier n> 1, on a un < un−1p

2 .

En déduire que la suite (un )n∈N a une limite (que l’on précisera) quand n tend vers +∞.

4. Pour chaque entier k strictement positif on définit une application gk de [0 ; 1]

dans

[

0 ; 1 p 2

]

par gk (x)= fk (x).

a. Démontrer que pour chaque entier k > 1, la fonction gk admet une fonc- tion réciproque g−1

k .

b. Construire sur la figure précédente les courbes représentatives des fonc- tions g−1

k pour k = 1, 2, 3.

c. Donner l’expression des fonctions g−11 et g −1 2 .

Paris Créteil et Versailles 2 juin 1982

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