T.P modélisation mathématique  - 11, Exercices de Modélisation mathématique et simulation

T.P modélisation mathématique - 11, Exercices de Modélisation mathématique et simulation

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Exercices sur la modélisation mathématique sur l'isométrie vectorielle de E. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les nombres complexes, la suite réelle définie.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C juin 1982 Toulouse \

EXERCICE 1 4 points

Soit E un espace vectoriel euclidien de dimension 3 rapporté à une base orthonor-

mée B = (

−→ ı ,

−→ ,

−→ k )

; on considère l’endomorphisme f de E défini par

f ( −→ ı ) = −

−→ ı ,

f ( −→ ) = (sinθ) ·

−→ + (cosθ) ·

−→ k ;

f ( −→ k ) = (−cosθ) ·

−→ + (sinθ) ·

−→ k .

avecθ ∈ [0 ; 2π[

1. Démontrer que f est une isométrie vectorielle de E.

2. Démontrer l’existence d’une valeur unique de θ telle que f soit une symétrie orthogonale par rapport à un plan vectoriel ; on précisera ce plan.

EXERCICE 2 4 points

1. Résoudre dans l’ensemble C des nombres complexes l’équation

z2− 4

sin t z+

13

sin2 t −9= 0.

z désigne l’inconnue, t désigne un paramètre réel de l’intervalle ]0 ; π[.

2. Dans le plan affine euclidien, muni d’un repère (

O, −→ ı ,

−→ )

orthonormé, on

considère le point M mobile d’affixe

z = 2

sin t +3icotg t , t décrivant l’intervalle ]0 ; π[.

a. Soit T la trajectoire du mobile ; démontrer que T est une partie d’une courbe dont on précisera les éléments caractéristiques.

Préciser et construire T.

b. Calculer les coordonnées du vecteur vitesse −→ V à l’instant t et déterminer

t pour que ∥

−→ V ∥

∥= 3.

PROBLÈME 12 points

Soit F l’ensemble des fonctions réelles continues sur R. On sait que (F , +, ·) est un espace vectoriel sur R et que tout élément de F est intégrable sur tout intervalle borné de R. À toute fonction f , élément de F , on associe la suite réelle définie surN par

U0( f )= ∫1

−1 f (x)dx

et, pour n> 1,

Un( f )= ∫1

−1 xn f (x)dx.

Partie A

Terminale C A. P. M. E. P.

Dans cette partie on note f la fonction exponentielle de base e

f : R → R 7−→ f (x)= ex ,

g la fonction, élément de F , définie par

f : R → R 7−→ g (x)= xex ,

et on désigne par E l’ensemble des fonctions

h = a f +bg où(a, b) ∈R2.

1. CalculerU0( f ), puisU1( f ) grâce à une intégration par parties.

2. Établir, pour n> 1, la relation (- 1)3 .

Un+1( f )= e+ (−1)n

e − (n+1)Un( f ).

3. Démontrer que E est un sous-espace vectoriel de l’espace vectoriel (F , +, ·) et que B = ( f , g ) est une base de E .

4. Établir que, quelle que soit la fonction h élément de E , il existe une fonction H telle que

x ∈R H(x)= ∫1

−1 h(x+ t)dt .

Démontrer queH appartient à E et queH est l’image de h par une application linéaire de E dans E dont on précisera la matrice dans la base B.

(Cette partie est indépendante des deux suivantes).

Partie B

Dans cette partie, on désigne par ϕ la fonction

ϕ : ]

π

2 ; π

2

[

→ R

y 7−→ ϕ(y)= tg y.

1. Démontrer que ϕ admet une fonction réciproque notée Φ dont on donnera l’ensemble de définition (on ne cherchera pas à expliciter Φ(x)).

2. Démontrer queΦ est dérivable sur R et que sa fonction dérivée Φ′ vérifie

x ∈R Φ′(x)= 1

1+ x2 .

3. Montrer que Φ′ appartient à F et calculerU0(Φ′),U1(Φ′) etU2(Φ′).

4. a. Montrer que, si n est impair,Un(Φ′)= 0.

b. Montrer que, si n est pair,

Un(Φ ′)6

2

n+1

et en déduire lim n→+∞

Un(Φ ′).

Partie C

Toulouse 2 juin 1982

Terminale C A. P. M. E. P.

1. f étant un élément quelconque de F , on considère la fonction F de R dans R définie par

x ∈R, F (x)= ∫x

0 f (t)dt .

a. Montrer que F est un élément de F .

b. Montrer queU0( f )= F (1)−F (−1).

c. CalculerUn(F ) en fonction de F (1), de F (−1) et deUn+1( f ).

2. Soit Φ la fonction définie au B

a. Montrer que, si n est pair,Un(Φ)= 0.

b. CalculerU1(Φ) sans nouvelle intégration.

c. Calculer lim n→+∞

U2n+1(Φ).

Toulouse 3 juin 1982

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