T.P modélisation mathématique  - 2, Exercices de Modélisation mathématique et simulation

T.P modélisation mathématique - 2, Exercices de Modélisation mathématique et simulation

PDF (42.2 KB)
3 pages
70Numéro de visites
Description
Exercices sur la modélisation mathématique sur les entiers relatifs. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le repère orthonormé direct, l’ensemble E.
20points
Points de téléchargement necessaire pour télécharger
ce document
Télécharger le document
PoitiersCjuin1982.dvi

Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C juin 1982 Poitiers \

EXERCICE 1 4 points

1. a. En supposant que a = 9p+4q et b = 2p+q , démontrer que les entiers a et b d’une part ; p et q d’autre part ont le même PGCD.

b. Démontrer que les entiers 9p+4 et 2p+1 sont premiers entre eux. Quel est leur PPCM?

2. Déterminer le PGCDdes entiers relatifs 9p+4 et 2p−1 en fonction des valeurs de p.

EXERCICE 2 4 points

Unplan affine euclidienorienté est rapporté à un repère orthonormédirect (

O, −→ u ,

−→ v

)

.

On se propose de déterminer l’ensemble E des points M de ce plan dont les affixes z = x+ iy (x et y réels) vérifient

|(1+ i)z−2i| = 2.

Les deux questions proposent chacune une méthode et peuvent être résolues de façon indépendante l’une de l’autre.

1. Calculer le carré dumodule du complexe (1+i)z−2i en fonction des coordon- nées (x ; y) de M . Déterminer E par une équation cartésienne. Reconnaître E puis le dessiner.

2. On note s la similitude directe de centre O, de rapport p 2, d’angle de mesure

π

4 et t la translation de vecteur −2−→v .

a. Un point M ayant pour affixe z, calculer l’affixe du point s(M) puis l’af- fixe du point t s(M).

b. Soit C l’ensemble des points M ′ d’affixe z ′ tels que ∣

z ′ ∣

∣ = 2. Reconnaître C et le dessiner. Déterminer l’ensemble t s(E) ; en déduire l’ensemble E.

PROBLÈME 12 points

Un plan affine est rapporté à un repère (

O, −→ ı ,

−→

)

orthonormé ; pour exécuter les

figures on prendra pour unité de longueur 2 cm. On donne le point A de coordonnées (1 ; 1).

Partie A

1. α étant un réel donné non nul, soit D la droite d’équation x =α. Montrer qu’il existe une application affine , et une seule, que l’on détermi- nera, qui satisfait aux deux conditions

(0)=A et ∀M ∈D −−−−−−−→ M fα(M) =

−→ ı .

2. On considère l’application f qui, au point M de coordonnées (x ; y) fait cor- respondreM ′ = f (M) de coordonnées

(

x′ ; y ′ )

telles que

x′ = x+1 et y ′ = x+ y +1.

Terminale C A. P. M. E. P.

Vérifier que f = dans le casα=−1. Montrer que f est une bijection du plan affine.

Y a+il des points invariants par f ? Quelle est la matrice de l’endomorphisme ϕ associé à f ?

3. a. Vérifier que, quel que soit le réel λ, les vecteurs (−→ ı +λ

−→

)

et ϕ (−→ ı +λ

−→

)

forment une famille libre.

b. Soit∆ une droite affine du plan : donner une condition nécessaire et suf- fisante pour qu’elle soit parallèle à son image f (∆) ?

4. Chercher l’image f (∆) de la droite ∆ dans chacun des cas suivants :

a. ∆ a pour équation x = k. Montrer que, siM appartient∆, le vecteur −−−−→ MM

est égal à un vecteur constant −→ uk dont on donnera les coordonnées.

b. ∆ a pour équation y = k ′. c. ∆ a pour équation y = t x ; calculer dans ce cas les coordonnées du point

P d’intersection des droites ∆ et f (∆) en fonction de t . Quel est l’en- semble Π décrit par P lorsque t décrit R ?

Figure : représenterΠ. Tracer les droites ∆ et f (∆) dans le cas des droites L ayant respectivement pour équation x =−1, y =−1, y =−2x.

5. Faire une nouvelle figure.

On appelle M0 l’origine du repère et l’on pose

M1 = f (M0) et ∀n ∈N⋆, Mn = f (Mn−1) .

Soit (

xn ; yn )

les coordonnées deMn . Calculer les coordonnées deM1,M2,M3. Exprimer xn et yn en fonction de xn−1 et yn−1.

En déduire xn et yn en fonction de n.

Vérifier que ∀n ∈N, Mn appartient à la courbe C d’équation y = x(x+1)

2 . Re-

connaître C et la dessiner.

6. a. Soit g une application continue de R dans R. En utilisant une primitive G de g , établir l’égalité

λ2

λ1

g (x)dx = ∫λ2+1

λ1+1 g (x−1)dx.

λ1 et λ2 réels donnés.

b. Si une courbe Γ a pour équation y = h(x), montrer que son image f (Γ) a pour équation y = h(x−1)+ x. Quelle est l’image de la courbeC du 5. ?

c. Cas particulier : soit En la région du plan comprise entre la courbe C et le segment [Mn−1Mn] ; hachurer sur la figure les régions E1, E2 ,E3 ,E4.

Déduire du a. et du b. ci-dessus que l’aire de En est indépendante de n. Quelle est sa valeur ?

Partie B

On considère l’application h0 de R dans R définie par

h0(x)= e−x −1;

soitΓ sa représentation graphique.Montrer que son image f (Γ) est la représentation de l’application h1 de R dans R définie par

h1(x)= e−x −1+ x.

Poitiers 2 juin 1982

Terminale C A. P. M. E. P.

Étudier les applications h0 et h1 ; représenter sur la même figure Γ et f (Γ), en dessi- nant soigneusement l’asymptote de chacune d’elles. λ étant un réel, supérieur à 1, calculer en fonction de λ l’aire A (λ) de la partie du plan dont les frontières sont les droites x = 1 et x = λ, la courbe f (Γ) et son asymp- tote. Montrer que, lorsque λ tend vers +∞, A (λ) a une limite à déterminer.

Poitiers 3 juin 1982

commentaires (0)
Aucun commentaire n'a été pas fait
Écrire ton premier commentaire
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Docsity n'est pas optimisée pour le navigateur que vous utilisez. Passez à Google Chrome, Firefox, Internet Explorer ou Safari 9+! Téléchargez Google Chrome