T.P modélisation mathématique  - 3, Exercices de Modélisation mathématique et simulation

T.P modélisation mathématique - 3, Exercices de Modélisation mathématique et simulation

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Exercices sur la modélisation mathématique sur la fonction définie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le plan affine euclidien rapporté au repère orthonormé, l’addition et de la multiplication des matrices...
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C Polynésie française \ juin 1982

EXERCICE 1 4 points

1. Résoudre dans Z :

493λ+10 ≡ 2 modulo5.

2. Soit N = xyzt un entier naturel écrit dans le système décimal, x étant non nul. Déterminer ce nombre sachant que les restes de la division de N par 17 et par 29 sont égaux à 10, et que les restes de la division deN par 5 et par 9 sont égaux à 2.

EXERCICE 2 4 points

Soit f la fonction définie par

f (x)= 3ex +5 ex +2

.

1. Étudier f .

2. Montrer que f est bijective et déterminer sa fonction réciproque f −1.

3. Onconsidère le plan affine euclidien rapporté au repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→ )

(unité : 2 cm).

Calculer l’aire du domaine D limité par les droites d’équations x = 1, x = 3, y = 5

2 et la courbe C d’équation y = f (x).

PROBLÈME 12 points

Partie A

1. Pour tout (a,b) de R2 on pose

M(a, b)= (

a b

−5b a+2b

)

On considère l’ensemble M des matricesM(a, b) où (a, b) appartient à R2.

a. Montrer que, muni de l’addition et de la multiplication par un réel, M est un espace vectoriel sur R. En déterminer une base. Quelle est la di- mension de M ?

b. Montrer que, muni de l’addition et de la multiplication des matrices, M a une structure de corps commutatif.

2. a. Montrer que (1, 1+2i) est une base de C, espace vectoriel de dimension 2 sur IR. En déduire que tout nombre complexe peut se mettre de façon unique sous la forme a + b (1 + 21).

b. À tout nombre complexe z s’écrivant a+b(1+2i) on associe la matrice M(a, b) que l’on notera ϕ(z).

Montrer que l’application ϕ de C dans M ainsi définie est un isomor- phisme de Cmuni de l’addition dans M muni de l’addition.

Terminale C A. P. M. E. P.

c. Montrer que l’on a aussi

(∀(z, z ′) ∈C2, ϕ (

z, z ′ )

=ϕ(z)ϕ (

z ′ )

.

Quelle conclusion peut-on en tirer ?

3. a. Montrer que

ϕ

(

1

2 + i

p 3

2

)

=

1

2 − p 3

4

p 3

4

− 5 p 3

4

1

2 + p 3

4 .

b. De façon générale montrer que pour tout n dansN⋆

[

ϕ

(

1

2 + i

p 3

2

)]n

=

cos

3 − 1

2 sin

3

1

2 sin

3

− 5

2 sin

3 cos

3 + 1

2 sin

3

Partie B

Soit E un espace affine euclidien d’espace vectoriel associé E rapporté au repère

orthonormé (

O ; −→ e1 ,

−→ e2

)

.

SoitΨ l’application affine de E dans E qui laisse O invariant et qui a pour endomor-

phisme associé l’endomorphisme dematrice ϕ

(

1

2 + i

p 3

2

)

.

Soit A0 le point de coordonnées (1 ; 1) dans le repère (

O ; −→ ǫ1 ,

−→ ǫ2

)

.

On considère la suite de points A1 =Ψ (A0), et (

n ∈N⋆ )

, An =Ψ (An−1). 1. Déterminer les coordonnées xn et yn du point An .

2. Montrer que les suites xn et yn sont périodiques.

3. Déterminer l’isobarycentre des points A0, A1, A2, A3, A4, A5.

Partie C

On considère dans E l’application affine g définie par

{

x′ = x y ′ =

xy 2

On désigne par F son endomorphisme associé.

1. Pour tout réel λ on appelle Eλ l’ensemble des vecteurs −→ u tels que F

(−→ u )

=λ −→ u .

Montrer que Eλ est un espace vectoriel sur R.

2. Montrer qu’il existe deux valeurs distinctes λ1 et λ2 de λ pour lesquelles Eλ n’est pas réduit à {0}. Déterminer une base de Eλ1 et une base de Eλ2 .

3. a. On considère −→ U = 3

−→ ǫ1 = ǫ2 et

−→ V = ǫ2. Montrer que

(−→ U ,

−→ V

)

est une base

de E. Est-elle orthonormée ?

b. Quelle est la matrice de F dans la base (−→ U ,

−→ V

)

?

c. Si un pointM a pour coordonnées (X ; Y ) dans le repère (

O ; −→ U ,

−→ V

)

, ex-

primer les coordonnées (

X ′ ; Y ′ )

de g (M) dans ce même repère en fonc- tion de (X ; Y ).

4. Soit p la projection affine sur la droite passant par O de vecteur directeur −→ U ,

de direction la droite vectorielle engendrée par −→ V .

Montrer que (∀M ∈ E ), −−−−−−−−−→ p(M)g (M) =−

1

2

−−−−−−→ p(M)M .

Endéduire la constructionde g (M) connaissantM , la constructiondeM connais- sant g (M).

Polynésie française 2 juin 1982

Terminale C A. P. M. E. P.

5. Représenter les points g (A0) , g (A1) , · · · g (A5) puis les points A0, A1, A2, A3, A4, A5 dans le plan rapporté au repère

(

O ; −→ ǫ1 ,

−→ ǫ2

)

.

Polynésie française 3 juin 1982

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