T.P modélisation mathématique  - 5, Exercices de Modélisation mathématique et simulation

T.P modélisation mathématique - 5, Exercices de Modélisation mathématique et simulation

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Exercices sur la modélisation mathématique sur l’ensemble U des entiers relatifs. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les solutions de l’équation, les valeurs de cos.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C juin 1982 Reims \

EXERCICE 1 4 points

1. Déterminer l’ensemble U des entiers relatifs n tels que n+2 divise 2n−1. 2. Montrer que pour tout entier relatif, les nombres n + 2 et 2n2 + 3n − 1 sont

premiers entre eux.

3. Déterminer l’ensembleVdes entiers relatifsn 6= −2 tels que (2n−1)

(

2n2+3n−1 )

(

n2−2 )

(n+2) soit un entier relatif.

EXERCICE 2 4 points

1. Déterminer, sous forme trigonométrique, les solutions de l’équation

z3 = 4 p 2(−1+ i)

dans l’ensemble des nombres complexes.

2. En utilisant les racines cubiques de l’unité, écrire les solutions de cette équa- tion sous forme algébrique.

3. Déduire des questions précédentes les valeurs de cos 11π

12 et sin

11π

12 .

PROBLÈME 12 points

Soit E un plan vectoriel euclidien orienté rapporté à une base orthonormée directe (−→ ı ,

−→

)

. Onmunit l’ensembleL (E) des endomorphismes deEde sa structure usuelle

d’espace vectoriel. Pour chaque endomorphisme f de E, on note M( f )= (

a c

b d

)

sa

matrice relativement à la base (−→ ı ,

−→

)

et T ( f ) le réel a+d . L’application identique de E sera notée Id.

On appelle F l’ensemble des endomorphismes f de E tels que M( f ) soit de la forme (

a b

b d

)

avec (a, b, d) réels quelconques.

Partie A

On note f1, f2, f3 les endomorphismes de E dematrices (

1 0

0 0

)

,

(

0 1

0 0

)

,

(

0 1

0 0

)

respectivement dans la base (−→ ı ,

−→

)

.

1. Montrer que F est un sous-espace vectoriel de L (E) de base (

f1, f2, f3 )

2. Trouver deux éléments f et g de F tels que g f ne soit pas dans F. 3. Montrer qu’il existe un endomorphisme r de F, et un seul, vérifiant

r (

f1 )

= 1

2

(

f1− f2+ f3 )

r (

f2 )

= f1− f3 r (

f3 )

= 1

2

(

f1− f2+ f3 )

.

Terminale C A. P. M. E. P.

Soit un élément f de F tel queM( f )= (

a b

b d

)

; calculer (en fonction de a,b,d)

M (

f ′ )

f ′ = r ( f ).

Partie B

Soit t la restriction de T à F.

1. Montrer que t est une application linéaire de F dans R.

2. Montrer que le noyau de t , noté Kert est un plan vectoriel de F contenant toutes les symétries orthogonales par rapport aux droites vectorielles de E.

3. Pour tout vecteur −→ u non nul de E, on note S−→

u ; la symétrie orthogonale par

rapport à la droite vectorielle de base −→ u .

Soit −→ u et

−→ v deux vecteurs non nuls de E et soit α la mesure de l’angle du

couple (−→ u ,

−→ v )

.

Quelle est la nature de la transformation R = S−→ v S−→

u ?

Calculer T (R) en fonction de α.

Partie C

Soit ϕ : F×F→R l’application définie par ϕ( f , g )= T (g f 1. Montrer que ϕ est un produit scalaire sur F.

2. a. Calculer ϕ( f , Id) pour tout f F . b. En déduire l’orthogonal de Ker t pour ϕ.

3. On reprend l’endomorphisme r de F défini à la question 3. de la première par- tie.

a. Montrer que r est une isométrie vectorielle de F pour le produit scalaire ϕ.

b. Calculer r (Id) et en déduire que r (Kert)=Kert . c. Calculer ϕ( f , r ( f )) pour tout f élément de Kert .

d. En déduire que r est une rotation de F. Que peut-on dire de son angle ?

Reims 2 juin 1982

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