T.P modélisation mathématique  - 6, Exercices de Modélisation mathématique et simulation

T.P modélisation mathématique - 6, Exercices de Modélisation mathématique et simulation

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Exercices sur la modélisation mathématique sur la fonction numérique de la variable réelle. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le rapport avec le repère orthonormé, le plan vectoriel euclidien.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C juin 1982 Rennes \

EXERCICE 1 4 points

Soit f la fonction numérique de la variable réelle x définie par

f (x)= x+1

x + lnx− ln(x+1)

(ln désigne le logarithme népérien).

1. Étudier les variations de f et tracer sa courbe représentative (C ) dans un plan

(P) rapporté au repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→ )

.

2. Soit λ un réel supérieur à 1 et

k =

{

M(x ; y)

1 6 x 6 λ 1 6 y 6 f (x)

}

Calculer l’aire A (∆k ) de ∆k .

Étudier la limite de A (∆k ) quand λ tend vers +∞.

EXERCICE 2 4 points

1. Étudier, suivant les valeurs de l’entier naturel n, le reste de la division eucli- dienne de 7npar 10.

2. Dans le système de numération décimale déterminer, suivant les valeurs de l’entier naturel n, le chiffre des unités de l’entier A(n) défini par

A(n)= 1+7+72 +·· ·+7n .

PROBLÈME 12 points

Soit P le plan vectoriel euclidien muni de la base orthonormée B = (

−→ ı ,

−→ )

, P le

plan affine euclidien muni du repère (

O, −→ ı ,

−→ )

, (∆) la droite affine d’équation x

2y = 0, (D) la droite vectorielle de base −→ .

Dans toute la suite du problème S désigne la symétrie affine par rapport à la droite (∆), suivant la droite vectorielle (D) ; σ est l’endomorphisme associé à S. On appelle F l’ensemble des applications affines bijectives f de P dans P telles que f S = S f .

Partie A

1. Démontrer que F n’est pas l’ensemble vide et que F est stable pour la loi de composition des applications, notée ◦.

Montrer que (F , ◦) est un groupe.

2. Au point M(x ; y), la symétrie affine S associe un point M0 (

x0 ; y0 )

. Donner x0 et y0 en fonction de x et y .

Terminale C A. P. M. E. P.

3. Soit g l’applicationdePdansP qui aupointM(x ; y) associe le pointM ′(x′ ; y ′) :

x′ = − 1

2 x+1

y ′ = − 3

4 x+ y +

1

2

Montrer que g ∈F .

4. Soit f une application affine bijective de P dans P d’endomorphisme associé ϕ.

Démontrer que f est élément de F si, et seulement si, les trois conditions suivantes sont réalisées simultanément :

f (0) ∈ (∆)

a ∈R⋆, ϕ (

2 −→ ı +

−→ )

= a (

2 −→ ı +

−→ )

b ∈R⋆, ϕ (

−→ )

= b −→

Écrire alors en fonction de a et b la matrice M de ϕ dans la base (

−→ ı ,

−→ )

.

Vérifier ce résultat dans le cas particulier étudié au 3.

5. a. Préciser les couples (a, b) pour que f soit une homothétie (caractériser géométriquement f ).

b. Préciser les couples (a, b) pour que f soit une translation. Caractériser f .

6. On appelle F1 le sous-ensemble des éléments de F dont l’endomorphisme

associé ϕ vérifie ϕ (

−→ )

= −→ .

a. Montrer que (F1, ◦) est un groupe.

b. Soit f1 un élément de F1.

Démontrer queM(x ; y) a pour image f1(M)=M ′ de coordonnées (

x′ ; y ′ )

:

x′ = ax+2α

y ′ = a−1

2 x+ y +α

avec

a ∈R⋆

α∈R

Quel est l’ensemble des points invariants par f1 ? (On discutera selon les valeurs de a et de α).

c. Vérifier que l’application g proposée au 3. est un élément deF1. On note M ′ = g (M).

Déterminer l’ensemble (E) des points invariants par g . Si M n’est pas invariant, la droite (MM ′) garde une direction indépendante de M que l’on précisera.

Calculer alors les coordonnées du point M1 commun à la droite (MM ′)

et à (E). Comparer −−−−→ M1M

′ et −−−−→ M1M ; en déduire une construction géomé-

trique deM ′.

Partie B

1. Soit F la fonction de R dans R définie par

F (x)= ex + 1

2 x.

Étudier et représenter F dans le repère (

O, −→ ı ,

−→ )

.

On désigne par (C ) la courbe représentative de F .

Rennes 2 juin 1982

Terminale C A. P. M. E. P.

2. a. Soit f1 unélément quelconquedeF1 . Déterminer une équationde l’image de (C ) par f1.

b. Soit (m, p) ∈R⋆×R et (

Cm, p )

la courbe d’équation

y = emx+p + 1

2 x

dans le repère (

O, −→ ı ,

−→ )

.

Montrer que (

Cm, p )

est l’image de (C ) par une application appartenant à F1.

3. Soit Γ la courbe d’équation

y = e−2x+2+ 1

2 x.

En utilisant les résultats de la partie A, reconnaître l’application élément de F1 qui transforme (C ) en Γ.

Dessiner Γ à partir du tracé de (C ).

4. Construire l’image (

C ′ )

de (C ) par g S.

5. (

m′, p ′ )

∈ R ⋆ ×R, montrer, en utilisant A 6. a. que toute autre courbe

(

Cm′, p′ )

est l’image de la courbe (

Cm, p )

par une application appartenant à F1.

Rennes 3 juin 1982

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