T.P modélisation mathématique  - 8, Exercices de Modélisation mathématique et simulation

T.P modélisation mathématique - 8, Exercices de Modélisation mathématique et simulation

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Exercices sur la modélisation mathématique sur l’équation d’inconnue. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les couples, la projection vectorielle.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C juin 1982 Rouen \

EXERCICE 1 4 points

1. Résoudre l’équation d’inconnue (x ; y) élément de Z2 :

661x−991y = 1.

On pourra remarquer que

1982= 2×991 et 1983 = 3×661.

2. On considère deux suites arithmétiques (un ) et (vn) définies par

{

u0 = 3, v0 = 2 un+1 = un +991, vn+1 = vn +661 ∀n ∈N.

Indiquer tous les couples (p ; q), avec p et q entiers naturels inférieurs à 2000, tels que up = vq .

EXERCICE 2 4 points

Soit V un espace vectoriel réel, de dimension 2 ou 3, A et B deux sous-espaces vectoriels supplémentaires dans V , chacun distinct de {0} et de V . On désigne par p la projection vectorielle sur A , de direction B q la projection vectorielle sur B, de direction A , e l’identité dans V . On rappelle que l’ensemble L (V ) des endomorphismes de V est un espace vectoriel réel pour l’addition des endomorphismes et la multiplication d’un endomorphisme par un réel. Soit F = {ap+bq ; (a ; b) ∈R2}.

1. Démontrer que F est un espace vectoriel réel. Démontrer que (p ; q) est une base de F .

2. Démontrer que F est stable pour la composition des endomorphismes.

3. Soit ϕ un élément de F . On pose ϕ0 = e et, pour tout n élément de N, ϕn+1 = ϕϕn .

Calculer ϕn .

4. Déterminer l’ensemble des projections vectorielles éléments de F . Donner leurs éléments caractéristiques.

PROBLÈME 12 points

Le plan P affine euclidien est rapporté à un repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

. On dé-

signe par P⋆ le plan P privé du point O.

Unpoint quelconqueM ayant pour coordonnées x et y par rapport au repère (

O, −→ ı ,

−→

)

a pour affixe le nombre complexe z = x+ iy ; on note z le conjugué de z ; on désigne par [r, θ] le nombre complexe qui s’écrit r (cosθ+ i sinθ) avec r élément de R+ et θ élément de R.

Terminale C A. P. M. E. P.

Partie A

Étant donné un nombre complexe a non nul, on considère l’application ϕa de P⋆

dans P⋆ qui à chaque pointM d’affixe z fait correspondre le pointM ′ d’affixe z ′ = a

z .

1. Cette application est-elle bijective ?

Déterminer suivant les valeurs de a l’ensemble des points invariants par ϕa .

2. Déterminer la nature de l’application composéeϕb ϕa , a etb étant des nombres complexes non nuls.

Montrer que ϕa ϕa est la restriction à P⋆ d’une isométrie de P dont on déter- minera la nature et les éléments remarquables en fonction de l’argument de a.

Quelle condition nécessaire et suffisante doit vérifier a pour que ϕa soit invo- lutive ?

Partie B

Dans cette partie, a est un réel strictement positif.

1. En utilisant la partie A, répondre aux questions suivantes :

ϕa est -elle bijective ?

Quel est l’ensemble des points invariants par ϕa ?

b étant aussi un réel strictement positif, quelle est la nature de ϕb ϕa ?

ϕa est-elle involutive ?

2. M ′ étant l’image deM par l’application ϕa calculer les coordonnées x′ et y ′ de M ′ en fonction des coordonnées x et y de M , puis les coordonnées x et y de M en fonction des coordonnées x′ et y ′ de M ′. z ′ étant l’affixe de M ′, on pose z ′ = [r ′, θ′], calculer r ′ et θ′ en fonction de r et θ.

Dans la suite du problème, on se servira, suivant les questions, soit de la re-

lation z ′ = a

z , soit des relations donnant x′ et y ′ en fonction de x et y , soit

celles donnant x et y en fonction de x′ et y ′, soit de celles donnant r ′ et θ′ en fonction de r et θ.

3. Montrer que les points O, M etM ′ =ϕa(M) sont alignés.

Soit une droite (D) passant par O ; déterminer l’image par ϕa de (D) privée de O.

4. Soit un cercle (C) passant par O et centré sur l’axe des abscisses en un point d’abscisse c.

Déterminer l’image par ϕa de (C) privé de O. En déduire l’image par ϕa d’une droite parallèle à l’axe des coordonnées et distincte de celui-ci.

Partie C

Soit (H) la courbe d’équation

x2− y2+2x = 0

par rapport au repère (

O, −→ ı ,

−→

)

.

1. Montrer que (H) est une hyperbole dont on indiquera centre, axes de symétrie, sommets, foyers, asymptotes. Dessiner (H) en prenant 4 cm pour unité sur chacun des deux axes.

2. Montrer que (H) est l’ensemble des pointsM d’affixe z = [r, θ] tels que r = f (θ)

ou f (θ)= −2cosθ

cos2θ , θ décrivant un sous-ensemble de [0 ; 2π].

En étudiant le signe de f (θ) suivant les valeurs de θ, vérifier que (H) se trouve située dans trois régions du plan limitées par des demi-droites d’origine O ; sur la figure, on hachurera les autres régions.

Rouen 2 juin 1982

Terminale C A. P. M. E. P.

3. À partir de cette question, on suppose a = 1.

Soit (

Γ ⋆ )

l’image par ϕ1 de (H) privée de O et soit (Γ)= (

Γ ⋆ )

∪ {O}.

Montrer que (Γ) est l’ensemble des pointsM d’affixe z = [r, θ] tels que r = g (θ) avec θ ∈ [0,2π] ; calculer g (θ).

4. Montrer que (Γ) se trouve dans les mêmes régions que celles définies au 2. et qui contiennent (H).

Montrer que (Γ) admet l’axe des abscisses pour axe de symétrie.

Placer les points invariants de (H) et calculer leurs coordonnées.

5. Soit A le point de (H) appartenant à l’axe des abscisses et dont l’abscisse est strictement négative.

Déterminer A′ =ϕ1(A).

Soit (∆) la tangente en A à (H) ; déterminer l’image (

∆ ′ )

de (∆) par ϕ1 en utili- sant la question B 4.

Construire (

∆ ′ )

.

6. Montrer qu’une équation cartésienne de (Γ) est

y2 = x2 (

1+2x

1−2x

)

.

Soit (Γ1) l’ensemble des points du plan P de coordonnées x et y telles que

y = x

1+2x

1−2x .

En étudiant la fonction

F : R → R

x 7−→ x

1+2x

1−2x

et en utilisant les questions précédentes, construire (Γ1) sur le même gra- phique que (H), puis en déduire (Γ). Préciser les tangentes en O et en A′ à (Γ1). Vérifier que (Γ) et

(

∆ ′ )

ont la même tangente en A′.

Rouen 3 juin 1982

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