Théorie de calcul - exercitation 1, Exercices de Théorie de calcul
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Eusebe_S10 April 2014

Théorie de calcul - exercitation 1, Exercices de Théorie de calcul

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la théorie de calcul - exercitation sur 1 sur la fonction f. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Étudier les variations de f, Déterminer un rang n.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C Groupe 1 septembre 1984 \

EXERCICE 1 5 points

On considère la fonction f de R+ dans R définie par :

{ f (x) = 2x x lnx six > 0 f (0) = 0

1. f est-elle continue en 0 ?

f est-elle dérivable en 0 ?

2. Étudier les variations de f et construire sa courbe représentative dans un re- père orthonormé (on prendra un centimètre comme unité).

EXERCICE 2 5 points

Une suite est définie par :

u0 = 1 ; u1 = 5,5 ; un+2−un+1+0,25un = 0.

1. Donner l’expression de un en fonction de n.

2. Déterminer un rang n0 tel que pour tout n > n0 on ait un < 10−6.

PROBLÈME 5 points

On considère dans le plan affine euclidien orienté un triangle ABC. On désigne sui- vant une habitude ancienne par Â, B̂ , les mesures des angles géométriques du triangle. Â, B̂ , sont donc trois réels positifs tels que Â+ B̂ + =π.

Le triangle ABC est direct, c’est à dire que les angles orientés ( −−→

AB , −−→

AC ) , ( −−→

BC , −−→

B A ) ,

( −−→

C A , −−→

CB ) ont leurs mesures principales respectivement égales à Â, B̂ , .

On se propose d’étudier l’existence d’un point M , intérieur strictement au triangle ABC , tel que les droites (M A), (MB), (MC ) possède la propriété suivante : les angles orientés des couples de droites (AB, AM), (BC , B M), (C A, C M) ont la mêmemesure principale notée α, α> 0.

Partie A

1. Montrer que si M existe, alors 06α6 π

3 .

Montrer que le point M est sur le cercle tangent à (BC ) en B et passant par A. En déduire une construction de M .

2. Déduire des relationsmétriques (proportionnalité des côtés et des sinus) dans les triangles AB M , B MC , C M A, la relation :

sin3α= sin(Â−α)sin(B̂ −α)sin(Ĉ −α).

3. Calculer α lorsque le triangle ABC est équilatéral. Calculer cotα (ou tanα) lorsque la triangle ABC est isocèle et rectangle, et donner une valeur appro- chée de α.

Terminale C A. P. M. E. P.

Partie B

Étant donné un réelα,α ∈ ] 0 ;

π

3

[ , on cherche à quelle condition on peut lui associer

un triangle ABC et un point M correspondant.

1. Démontrer que si un triangle ABC et un point M conviennent, alors le triangle AB C ′ et tout point M ′ déduits de la figure ABC M par une similitude directe conviennent aussi.

2. On reprend la relation du A 2. et on pose :

a = Â−α,b = α,c = αavec a +b +c =π?3α.

La relation du 2. s’écrit alors :

sin3α= sina ·sinb ·sinc = 1

2 sinc [cos(3α+c)−cos(2b +c +3α)] .

Si α et c sont donnés, cette relation permet de calculer b et .

Lorsque α= π

6 , montrer que b est donné par :

sin(2b +c)= sinc + 1

4sinc .

Déterminer les valeurs de c pour lesquelles le secondmembre est inférieur ou égal à 1.

Montrer qu’il n’y a qu’un seul triangle admettant un angle α égal à π

6 et indi-

quer lequel (à une similitude près).

Groupe 1 2 septembre 1984

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