Théorie de calcul - exercitation 10, Exercices de Théorie de calcul
Eusebe_S
Eusebe_S10 April 2014

Théorie de calcul - exercitation 10, Exercices de Théorie de calcul

PDF (37.8 KB)
2 pages
192Numéro de visites
Description
la théorie de calcul - exercitation sur 10 sur les complexes. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les conditions initiales, les variations de f.
20points
Points de téléchargement necessaire pour télécharger
ce document
Télécharger le document
ParisCseptembre1984.dvi

Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C Paris septembre 1984 \

EXERCICE 1 5 points

1. Les complexes a1, a2, a3, a4 sont donnés.

Résoudre l’équation :

(z1, z2, z3, z4) ∈C4

z1+ z2 = 2a1 z2+ z3 = 2a2 z3+ z4 = 2a3 z4+ z1 = 2a4

2. Dans le plan, on considère un quadrilatère A1A2A3 A4.

a. Montrer qu’il existe un quadrilatère M1M2M3 M4 dont les milieux des côtés sont les points A1 A2A3 A4 si et seulement si le quadrilatère A1A2A3 A4 est un parallélogramme.

b. Montrer que, s’il en est ainsi, le point de concours des diagonales du parallélogramme A1A2A3 A4 est l’isobarycentre des points M1, M2, M3 et M4.

EXERCICE 2 4 points

1. Déterminer la solution f de l’équation différentielle :

y ′′+2y ′+5y = 0

vérifiant les conditions initiales : f (0)= 0 et f ′(0)= 1.

2. On désigne par F la primitive de f sur R qui s’annule en 0. Justifier l’existence de F .

À l’aide de deux intégrations par parties, déterminer F .

PROBLÈME 11 points

Les parties A et B sont indépendantes

Dans tout le problème, P est le plan muni d’un repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

.

Partie A

1. Soit f la fonction définie sur R+ par :

{

f (0) = 0 f (x) = −x lnx x ∈R⋆+.

a. Étudier les variations de f et tracer sa courbe représentative (Γ) dans P .

b. Étudier, suivant les valeurs de x, les positions relatives de (Γ) et de la droite (D) d’équation y = x.

2. Soit g la fonction définie dans R par :

{

g (0) = 0 g (x) = −x ln |x| ∀x ∈R⋆+.

Terminale C A. P. M. E. P.

a. En utilisant les résultats de la question précédente, tracer la courbe re- présentative (C ) de g .

b. Soit T l’application définie dans P , qui à tout point M de coordonnées (x ; y) associe le point M1 de coordonnées

(

x1 ; y1 )

avec :

{

x1 = ex y1 = −ex+ey.

Quelle est l’image par T de la courbe (C ) ?

3. On définit une suite (un )n∈N par :

{

u0 ∈ ]

0 ; [

un+1 = g (un ) ∀n ∈N.

Démontrer que la suite (un )n∈N est majorée et strictement croissante.

En déduire qu’elle est convergente et calculer sa limite.

Partie B

Dans cette partie, x ∈ [0 ; 1] et n ∈N⋆. Soit fn la fonction définie sur [0 ; 1] par :

fn (0)= 0

fn (x)= x

(

ln 1

x

)

,∀x ∈]0 ; 1]

1. Étudier la continuité et la dérivabilité de fn sur [0 ; 1].

2. Démontrer que fn admet un maximum d’abscisse an = e−n .

On pose bn = fn (an) ; calculer bn en fonction de n.

3. Donner le tableau de variations de fn sur [0 ; 1] (on ne demande pas de courbe représentative).

4. a. Démontrer que la suite (an)n>1 est convergente et calculer sa limite.

b. Démontrer l’inégalité : ∀x ∈ [0 ; e−n] , fn (x)> bn

an x.

5. On pose In = ∫1

0 fn (x)dx, Jn =

∫e−n

0 fn (x)dx.

a. Démontrer que ∀n> 1, In > Jn > 1

2 nne−2n .

b. En déduire que la suite (In )n>1 est divergente.

Paris, Créteil, Versailles 2 juin 1985

commentaires (0)
Aucun commentaire n'a été pas fait
Écrire ton premier commentaire
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Docsity n'est pas optimisée pour le navigateur que vous utilisez. Passez à Google Chrome, Firefox, Internet Explorer ou Safari 9+! Téléchargez Google Chrome