Théorie de calcul - exercitation 11, Exercices de Théorie de calcul
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Eusebe_S10 April 2014

Théorie de calcul - exercitation 11, Exercices de Théorie de calcul

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la théorie de calcul - exercitation sur 11 sur l’application bijective. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le plan complexe, la fonction définie sur l’intervalle I.
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[ Baccalauréat C Polynésie juin 1984 \

EXERCICE 1 5 POINTS

Soit A, B, C trois points non alignés du plan, et C′ le point défini par −−→ CC′ =

−−→ AB . On

désigne par f l’applicationn affine définie par :

f (A)= A f (B)=B f (C)=C′.

1. Montrer que l’application f est bijective. Déterminer l’ensemble des points invariants par f . Se peut-il que f soit une isométrie ?

Montrer que toutes les droites parallèles à la droite (AB) sont globalement in-

variantes par f .

2. Ondésigne par G l’isobarycentre des points A, B et C et par G′ l’image de G par f .

Exprimer le vecteur −−→ GG′ en fonction du vecteur

−−→ AB .

Montrer que le point G′ appartient à la droite (BC).

3. Soit M un point du plan. Donner une construction géométrique de son image M′ par l’application f .

EXERCICE 2 5 POINTS

Soit P (

O, −→ u ,

−→ v

)

le plan complexe et f l’application de C dans C défmie par :

f (z)= 2z2−2(cosθ+ i sinθ)z− sinθ(sinθ− icosθ)

θ est un réel de l’intervalle [0 ; 2π].

On pose z = x+ iy avec x et y réels et on appelle M l’image de z dans le plan P.

1. Calculer la partie réelle de f (z) en fonction de x et y .

2. Déterminer l’ensemble Γθ des points M de P pour lesquels f (z) est un imagi- naire pur.

On montrera que Γθ est une conique dont on précisera la nature et le centre

θ .

3. Quel est l’ensemble des points Ωθ quand θ décrit [0 ; 2π] ?

4. Représenter Γθ pour θ = 3π

4 et préciser les éléments caractéristiques (foyers,

directrices, ... ).

PROBLÈME 5 POINTS

Aux notations près, les parties A, B et C sont largement indépendantes.

Partie A

Soit f la fonction définie sur l’intervalle I =]−1 ; +∞[ par :

{

f (x) = 1

x ln(1+ x), ∀x 6= 0

f (0) = 1.

1. a. Montrer que la fonction ϕ définie sur I par :

ϕ(x)= x− (x+1) ln(x+1)

présente un maximum absolu en 0.

Le baccalauréat de 1984 A. P. M. E. P.

b. En déduire le signe de ϕ(x) sur l’intervalle I.

2. a. Montrer que f est continue et dérivable en 0 et que l’on a : f ′(0)=− 1

2 .

b. Faire le tableau de variations de la fonction f (on utilisera la question 1.).

c. Dans un plan rapporté à un repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

représenter la

courbe représentative (C ), de la fonction f en prenant pour unité 4 cm.

Partie B

1. a. Montrer que l’équation f (x)− x = 0 admet une unique solution notée α.

b. Donner un encadrement de α dans un intervalle de longueur 10−3 ?

2. On propose, dans cette question, de démontrer que pour tout x > 0, on a ∣

f ′(x) ∣

∣6 1

2 .

a. On considère la fonctionψ définie sur R+ par :

ψ(x)= x− (x+1) ln(x+1)+ x3

2 +

x2

2 .

Calculer ψ′(x) et ψ′′(x) et en déduire le signe de ψ(x) sur l’intervalle

[0 ; +∞[.

b. Montrer queψ(x) et f ′(x)+ 1

2 sont de même signe.

En déduire que, pour tout x> 0, ∣

f ′(x) ∣

∣6 1

2 .

3. On définit par récurrence une suite (un )n∈N par :

{

u0 = 5

un+1 = f (un ) pour toutn ∈N.

a. Démontrer que : ∀n ∈N on a :

|un+1−un |6 1

2 |un un−1| ů

En déduire que : lim n→+∞

|un+1−un | = 0.

b. Démontrer par récurrence que la suite (

u2p )

p∈N est décroissante et que

la suite (

u2p+1 )

p∈N est croissante.

c. Démontrer en utilisant a. et b. que la suite (un )n∈N est convergente et a pour limite α défini au 1. a.

Partie C

Pour tout entier p > 1, on pose : p+l fP

Ip =

p+1

p f (x)dx et Sp =

p

1 f (x)dx.

1. a. Démontrer les inégalités :

ln(p+2)

p+1 6 Ip 6

ln(p+1)

p .

b. En déduire la limite de la suite (

Ip )

p∈N⋆ quand p tend vers plus l’infini.

2. a. Montrer que la suite (

Ip )

p∈N⋆ est décroissante.

b. Exprimer Sp en fonction des Ik .

c. Démontrer que Sp tend vers l’infini quand p tend vers plus l’infini.

Polynésie 2 juin 1984

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