Théorie de calcul - exercitation 12, Exercices de Théorie de calcul
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Eusebe_S10 April 2014

Théorie de calcul - exercitation 12, Exercices de Théorie de calcul

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la théorie de calcul - exercitation sur 12 sur les éléments caractéristiques. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l’application S, les images des points d’intersection.
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[ Baccalauréat C Toulouse juin 1984 \

EXERCICE 1 4 POINTS

Soit, dans un repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

, la courbe (E) d’équation 4x2+y2−4= 0

et les points A(1 ; 0) et B(0 ; 2).

1. Reconnaître (E) et en donner les éléments caractéristiques (centre, sommets, foyers, directrices). Tracer (E).

2. M étant unpoint quelconquede (E),montrer que l’isobarycentreM ′ des points A, B etM est l’image deM par une transformation que l’on précisera.

3. Quel est l’ensemble (F) des points M ′ quand M décrit (E).

Préciser ses éléments caractéristiques. Tracer (F).

N.B. : Toute solution, analytique ou non, sera acceptée.

EXERCICE 2 4 POINTS

Dans le plan affine euclidien P rapporté au repère orthonormé direct (

O, −→ u ,

−→ v

)

, on

considère l’application S qui, au point M d’affixe z fait correspondre le point M

d’affixe z ′ telle que

z ′ = (1+ i)z+2.

1. Reconnaître cette application ; montrer qu’elle a un point invariant I.

Donner une construction géométrique du point M ′ image deM par S.

Quelle est la nature du triangle (I , M , M ′) ?

2. Quel est l’ensemble C1 des points M de P tels que

−−−→ OM

∥=

−−−→ OM

∥?

3. Quel est l’ensemble C2 des points M de P tels que

−−−→ OM ·

−−−→ OM ′ = 0?

4. Déduire des questions précédentes une construction géométrique des images des points d’intersection deC1 et C2.

PROBLÈME 12 POINTS

Partie A

1. En étudiant le sens de variation de la fonction de R vers R telle que

t 7−→ t − ln t −1

montrer que, pour tout réel t strictement positif on a ln t 6 t −1.

2. Soit f la fonction de R vers R telle que

f (x)= x

x− lnx .

a. Étudier le sens de variation de f , les limites aux bornes de l’ensemble de définition.

Le baccalauréat de 1984 A. P. M. E. P.

b. Soit f1 la fonction définie par f1(x)= f (x) si x > 0 et f1(0)= 0.

Montrer que f1 est le prolongement par continuité de f en zéro.

Construire la représentation graphique de f1 dans un repère orthonormé (unité de longueur : 2 cm). Onprécisera la demi-tangente au point d’abs- cisse zéro ainsi que la tangente au point d’abscisse 1.

c. Dans cette question x est un réel fixé de l’intervalle [1 ; +∞[.

Calculer, en justifiant son existence, la limite de la suite définie par

n ∈N⋆, un = 1+ lnx

x + (lnx)2

x2 +·· ·+

(lnx)n

xn .

Partie B

On se propose d’étudier la fonction F définie sur R⋆+ =]0 ; +∞[ par

F (x)= ∫x

1

t

t − ln t dt .

1. Justifier l’existence et la dérivabilité de F sur R. Étudier le sens de variation de F . (On n’étudiera pas les limites de F dans cette question).

2. Déterminer le signe de F (x) suivant les valeurs de x. Quelle signification géo- métrique peut-on donner du réel F (x) ?

3. Étude de la limite de F en zéro.

Démontrer que, pour x appartenant à ]0 ; 1] on a

x

x− lnx 6 x.

En déduire que, pour x appartenant à ]0 ; 1] on a

x2−1

2 6 F (x)6 0.

En déduire que F (x) admet une limite λ comprise entre − 1

2 et 0 quand x tend

vers 0. (On ne cherchera pas à calculer λ).

4. Étude de lim x→+∞

F (x).

Montrer que, pour tout x de [1 ; +∞[, f (x)> 1.

En déduire que lim x→+∞

F (x)=+∞.

5. On se propose d’encadrer la fonction F par deux fonctions, lorsque x est su- périeur à 1.

a. Calculer ∫x

1 (1+ ln t)dt pour x appartenant à R⋆+.

Montrer que si t est supérieur à 1 alors

t

t − ln t 6 1+ ln t .

En déduire que, pour x supérieur à 1, on a

F (x)6 x lnx.

b. Calculer ∫x

1

(

1+ ln t

t

)

dt pour x appartenant à R⋆+.

Montrer que, pour tout x supérieur à 1, on a

x+ 1

2 (lnx)2−16 F (x).

Toulouse 2 juin 1984

Le baccalauréat de 1984 A. P. M. E. P.

c. Écrire l’encadrement de F (x) pour x supérieur à 1.

Partie C

Pour chaque réel i de l’ensemble {1, 2, 3, 4, 5}, prendre pour valeur approchée de F (i ), la moyenne arithmétique des deux valeurs qui encadrent F (i ). On note yi cette valeur approchée, que l’on donnera avec deux chiffres après la virgule. Présenter les résultats obtenus dans un tableau et placer, dans un repère ortho- normé, les points Mi de coordonnées

(

i ; yi )

avec i appartenant à {1, 2, 3, 4, 5}. Déterminer le point moyen du nuage et donner une équation de la droite d’ajuste- ment en utilisant la méthode des moindres carrés. Tracer cette droite dans le repère orthonormé.

Toulouse 3 juin 1984

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