Théorie de calcul - exercitation 2, Exercices de Théorie de calcul
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Eusebe_S10 April 2014

Théorie de calcul - exercitation 2, Exercices de Théorie de calcul

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la théorie de calcul - exercitation sur 2 sur l’équation dans C. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Achever la résolution de (E), Étudier la fonction x, calculer la valeur approchée de t.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C Groupe I bis septembre 1984 \

EXERCICE 1 4 points

On considère l’équation dans C :

z 4 −6(1+ i)z3+27iz2+27(1− i)z −22+6i= 0 (E).

1. Démontrer que les solutions de l’équation :

z 2 − (1+2i)z +2i= 0

sont aussi solutions de (E).

2. Achever la résolution de (E) en la mettant sous la forme :

[

z 2 − (1+2i)z +2i

][

z 2 +az +b

]

= 0,

a et b étant deux éléments de C.

3. Quel est le polygone formé par les images des quatre racines de (E) ?

EXERCICE 2 4 points

On considère un triangle ABC rectangle en A et le point H pied de la hauteur sur (BC). Montrer que le triangle ABH est l’image de CAH dans une similitude directe que l’on déterminera (centre, rapport et angle). Montrer que le triangle HAC est l’image de ABC dans le produit d’une similitude directe par une symétrie axiale que l’on déterminera. Par quelle transformation peut-on passer du triangle ABC au triangle HBA ?

PROBLÈME 12 points

On note :

P1(x) = 1+ x

P2(x) = 1+ x + x 2

2!

P3(x) = 1+ x + x 2

2! +

x 3

3!

Partie A

Étudier les sens de variation des trois fonctions définies sur R par P1, P2, P3 et tracer leurs courbes représentatives C1, C2 et C3 sur un même graphique. On précisera les positions relatives de ces trois courbes ainsi que leurs points d’in- tersections deux à deux.

Partie A

1. On se propose de calculer la racine de l’équation P3(x) = 0. On note r cette racine.

Montrer que r existe et est unique. Donner un encadrement de r d’une lon- gueur égale à 10−2.

Montrer que si t =−r, t vérifie la relation : t = 3 · 2+ t2

6+ t2 .

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

2. Étudier la fonction ϕ définie sur R par :

ϕ(x)= 3 ·

(

2+ x2 )

6+ x2 .

Tracer sa courbe représentative sur l’intervalle [0 ; 3].

Chercher le maximum de la dérivée ϕ′ de ϕ lorsque x est positif.

3. Pour calculer une valeur approchée de t on construit la suite :

u0 = 1,59, un+1 =ϕ (un ) .

a. Calculer un+1− t en fonction de un et de t .

b. Montrer que : • un t est de signe constant, • un appartient à l’intervalle [1 ; 1,6],

• |un+1− t | < 12

7×8,5

u 2 n t

2 ∣

∣< 12×3,2

7×8,5 |un t |,

• |un+1− t | < 12

8,52 ∣

u 2 n t

2 ∣

∣< 0,532 |un t

En déduire que la suite (un ) converge vers t .

c. Comparer la formule obtenue à la majoration que l’on peut déduire de l’inégalité des accroissements finis appliquée à :

|un+1− t | = ∣

ϕ (un )−ϕ(t) ∣

∣ .

d. Calculer u1 et u2 ainsi qu’une majoration de |un t | pour chacun d’eux.

En déduire un encadrement de t après chaque calcul. Combien faut-il calculer de termes un pour connaître t avec une erreur inférieure à 10−6.

Groupe I bis 2 septembre 1984

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