Théorie de calcul - exercitation 3, Exercices de Théorie de calcul
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Eusebe_S10 April 2014

Théorie de calcul - exercitation 3, Exercices de Théorie de calcul

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la théorie de calcul - exercitation sur 3 sur le plan affine euclidien P. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Déterminer l’ensemble des points M de P, Déterminer l’ensemble E des points Mde P.
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Guyane C sept. 1984.dvi

Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C septembre 1984 Guyane \

EXERCICE 1

Dans le plan affine euclidien P, on considère un triangle isocèle ABC de sommet A tel que AB = AC = 3a et BC = 2a (a étant un réel strictement positif). On appelleG le barycentre des points A, B, C affectés respectivement des coefficients 2, 3 et 3. Soit I le milieu de [BC], J le milieu de [AI].

1. Montrer que G est le milieu de [IJ].

2. M étant un point de P, calculer 2MA2+3MB2+3MC2 en fonction deMG et de a.

3. Déterminer l’ensemble des points M de P tels que

2MA2+3MB2+3MC2 = 18a2.

4. Déterminer l’ensemble E des points M de P tels que

2MA2+3MB2+3MC2 = 22a2.

5. Démontrer que les droites (BC), (AB) et (AC) ont, chacune, un unique point commun avec E.

Que représente le point G pour le triangle ABC?

EXERCICE 2

Dans le plan affine euclidien,muni d ?un repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

, (unité 1 cm)

on considère les courbes C et C ? d ?équations respectives :

C : 16x2−9y2−64x−54y −161 = 0 C ′ : 16x2+49y2−16x+294y +261 = 0

1. Trouver les équations réduites des deux courbes. Préciser leur nature et véri- fier qu ?elles ont le même centre.

2. Trouver les éléments remarquables de C et C ′ (sommets, foyers, directrices, asymptotes éventuelles).

3. Tracer C et C ′.

PROBLÈME

Partie A

1. Étudier les variations de l’application g de l’intervalle ]−1 ; +∞[ dans R telle que

g (x)= x

x+1 − ln(x+1).

En déduire que pour tout x réel strictement supérieur à −1, g (x)< 0.

Terminale C A. P. M. E. P.

2. Soit f l’application de l’intervalle ]−1 ; +∞[ dans R telle que :

f (x) = ln(x+1)

x six 6= 0

f (0) = 1 six = 0.

a. Étudier la continuité et la dérivabilité de f en 0.

b. Étudier les variations de la fonction f et tracer sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère orthonormé (unité 2cm).

Partie B

On désigne par E l’ensemble des fonctions définies sur R+ par

x 7−→ ax+b

cx+d

a,b,c,d sont des nombres entiers positifs vérifiant |ad bc| = 1. Soit F un élément de E.

1. Montrer que, pour tout x réel strictement positif :

F (x) ∈

]

a

c ; b

d

[

ou F (x) ∈

]

b

d ; a

c

[

et que

F (x)− a

c

∣6 1

cd ,

F (x)− b

d

6 1

cd .

2. Pour tout x réel strictement positif, on considère

m(x)= 1

x

x

0

F (t)− a

c

∣ dt .

a. Montrer que 06m(x)6 1

cd .

b. Calculerm(x).

c. Reconnaîtrem dans le cas où c = d = 1.

Partie B

On considère la fonction R définie pour tout x strictement positif par

R(x)= x+1

x .

On pose F1 = R R et pour tout entier n non nul Fn+1 = Fn R.

1. a. Exprimer F1(x) en fonction de x.

b. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n non nul Fn(x) s’écrit sous la forme :

Fn (x)= anx+bn

cnx+dn .

an ,bn ,cn ,dn sont des entiers naturels strictement positifs, termes gé- néraux de suites définies surN⋆ vérifiant :

{

an+1 = an +bn , bn+1 = an , cn+1 = cn +dn , dn+1 = cn .

Guyane 2 septembre 1984

Terminale C A. P. M. E. P.

c. Montrer que pour tout entier naturel n non nul, Fn appartient à E.

2. On note In l’intervalle ouvert d’extrémités an

cn et

bn

dn .

3. a. Montrer par récurrence que : pour tout entier naturel n non nul, cn >n.

En déduire que la longueur de In ,

[

an

cn bn

dn

]

, tend vers 0 quand n tend

vers +∞.

b. Montrer que la suite (cndn ), définie pour tout n de N⋆ est croissante et trouver un entier n tel que

an

cn bn

dn

< 10−3.

4. Déterminer le réel positif Φ tel que R(Φ)=Φ.

Montrer que pour tout entier naturel n non nul on a

Φ= Fn(Φ).

En utilisant la question B 1., montrer que, pour tout entier naturel n non nul, on aΦ élément de In .

N. B. : dans tout le problème, les fonctions considérées sont des fonctions numé- riques d’une variable réelle x. ln désigne la fonction logarithme népérien.

Guyane 3 septembre 1984

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