Théorie de calcul - exercitation 4, Exercices de Théorie de calcul
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Eusebe_S10 April 2014

Théorie de calcul - exercitation 4, Exercices de Théorie de calcul

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la théorie de calcul - exercitation sur 4 sur les valeurs de x. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l’équation, la fonction.
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[ Baccalauréat C Lille juin 1984 \

EXERCICE 1 4 POINTS

Soit, dans le plan affine euclidien P , un carré ABCD, de côté de longueur c, où c ∈R⋆+. On considère un réel α et l’application du plan dans lui-même

: P P M 7−→M

tel que −−−−→ MM ′ =α

−−→ MA +

−−→ MB +

−−→ MC +α

−−−→ MD .

1. Déterminer, suivant les valeurs deα, la nature et les éléments caractéristiques de .

2. Déterminer, puis construire l’ensemble E1 des points M du plan P tels que :

MA2+MB2+MC2+MD2 = 4c2.

3. Déterminer, puis construire l’ensemble E2 des points M du plan P tels que :

(

−−→ MA −

−−→ MB −

−−→ MC +

−−−→ MD

∥=

−−→ MA +

−−→ MB +

−−→ MC +

−−−→ MD

4. Déterminer, puis construire l’ensemble E3 des points M du plan P tels que :

(

−−→ MA −

−−→ MB −

−−→ MC +

−−−→ MD

)

·

(

−−→ MA +

−−→ MB +

−−→ MC +

−−−→ MD

)

= 2c2.

EXERCICE 2 4 POINTS

Dans l’ensemble C des nombres complexes, on considère l’équation :

2z3− (7+2i)z2+ (11+ i)z−4= 0. (E)

1. Montrer que cette équation admet une solution réelle unique α ; la détermi- ner.

2. Résoudre l’équation (E) et représenter, dans le plan rapporté à un repère or- thonormal direct, les images A, B, C des solutions.

A désigne l’image de la racine réelle et C l’image de la racine qui a le plus grand module.

3. I étant le point du plan d’affixe i, montrer qu’il existe une similitude de centre I qui transforme A en C.

Donner les éléments caractéristiques de cette similitude.

PROBLÈME 12 POINTS

Partie A

Soit f la fonction f définie par :

x ∈R⋆+, f (x)= e −x lnx.

1. Déterminer la fonction dérivée de f et vérifier que f ′(x) a même signe que

g (x)=− lnx+ 1

x .

Le baccalauréat de 1984 A. P. M. E. P.

2. Étudier les variations de la fonction g , et en déduire que l’équation g (x) = 0

admet une solution unique, notée α, comprise entre 3

2 et 2. Quel est le signe

de g (x) sur l’intervalle ]α ; +∞[ ?

3. Vérifier l’égalité : f (α)= e−α

α et déduire, de l’inégalité

3

2 <α < 2, un encadre-

ment de f (α).

4. Achever l’étude de la fonction f et tracer sa représentation graphique dans un

repère (

O, −→ ı ,

−→

)

.

Partie B Recherche d’une valeur approchée de α

1. Montrer que l’équation g (x)= 0 est équivalente à l’équation h(x)= x, où h est définie par

x ∈R⋆+, h(x)= e 1 x .

2. Calculer h′(x) et vérifier que

x

[

3

2 ; 2

]

, − 4

9 e

2 3 6h′(x)6−

1

4 e

1 2 .

En déduire qu’il existe un réel k ∈]0 ; 1[ tel que

x

[

3

2 ; 2

]

, ∣

h′(x) ∣

∣6 k.

3. Prouver que, pour tout couple de réels distincts x et y compris entre 3

2 et 2,

|h(x)−h(y)|6 k|xy |.

4. Soit u la suite définie par son premier terme u0 = 2 et la relation de récurrence ∀n ∈N, un+1 = h (un

a. Montrer que

n ∈N, un

[

3

2 ; 2

]

b. En appliquant au couple (un ; α) l’inégalité du 3., prouver que

n ∈N, |un+1−α|6 |un α| ,

c. En déduire, par un raisonnement par récurrence, l’inégalité

n ∈N, |un α|6 k n |u0−α| ,

et montrer que la suite u converge vers α.

5. Montrer, en utilisant les variations de h que un+1−α et un α sont de signes contraires, en déduire que α est compris entre les nombres un et un+1.

En justifiant votre méthode, donner une valeur approchée de α à 10−2 près.

Partie C

On se propose de déterminer toutes les fonctions définies et dérivables deux fois sur R ⋆

+, solutions de l’équation différentielle

(E) : y ′′+3y ′+2y = x−1

x2 e−x .

1. Vérifier que la fonction f définie en A est solution de cette équation.

Lille 2 juin 1984

Le baccalauréat de 1984 A. P. M. E. P.

2. Résoudre l’équation différentielle

(E′) : y ′′+3y ′+2y = 0.

3. Soit g une fonction dérivable deux fois sur R⋆+. Montrer que g est solution de (E) si, et seulement si, g f est solution de (E′).

4. En déduire toutes les solutions de l’équation (E).

N.B. : On notera lnx le logarithme népérien de x.

La partie C est indépendante des deux autres parties.

Lille 3 juin 1984

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