Théorie de calcul - exercitation 5, Exercices de Théorie de calcul
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Eusebe_S10 April 2014

Théorie de calcul - exercitation 5, Exercices de Théorie de calcul

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la théorie de calcul - exercitation sur 5 sur la fonction numérique. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Étudier la continuité et la dérivabilité de f en zéro, Tracer la courbe C.
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[ Baccalauréat C Montpellier juin 1984 \

EXERCICE 1 4 POINTS

On se propose d’étudier une fonction numérique f et de préciser sa courbe repré-

sentative C dans un repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→ )

.

ln désigne la fonction logarithme népérien. f est la fonction numérique définie sur R+ par :

f (x) = x ln

(

x+ 1

x

)

x ∈R⋆+

f (0) = 0.

1. Étudier la continuité et la dérivabilité de f en zéro.

2. On considère la fonction g pour x appartenant à [1 ;+∞[ par g (x) = x lnx et

on appelle Γ sa courbe représentative dans le même repère (

O, −→ ı ,

−→ )

.

Étudier g et tracer Γ.

3. Étudier la limite de f quand x tend vers +∞.

Montrer que les courbes Γ et C sont asymptotes et préciser leurs positions relatives.

4. Déterminer f ′ et f ′′ puis étudier le sens de variation de f ′ et montrer que f

est positive.

Achever l’étude de la fonction f .

Tracer la courbe C sur la même figure que Γ.

EXERCICE 2 4 POINTS

Dans P, plan orienté muni d’un repère orthonormé direct (

O, −→ u ,

−→ v )

deux points A

et B ont pour coordonnées respectives (−a ; 0) et (a ; 0). (a réel strictement positif.)

rA est la rotation de centre A, d’angle de mesure π

3 .

rB est la rotation de centre B, d’angle de mesure

(

− 2π

3

)

.

Pour tout point M du plan P, on note MA = rA(M) et MB = rB(M).

1. M étant un point donné de P, construire les points MA et MB : justifier la construction.

2. Démontrer que le milieu du segment [MAMB] est un point fixe indépendant du choix deM .

a. en composant les applications r−1A puis rB ;

b. en utilisant les nombres complexes.

3. Démontrer, par le procédé de votre choix, que lorsque M 6=MA etM 6=MB,

mes (

−−−−→ MMA ,

−−−−→ MMB

)

=mes (

−−→ MA ,

−−→ MB

)

+ π

2 +k2π, k ∈Z.

En déduire

mes(MMA, MMB)=mes(MA, MB)+ π

2 +, k ∈Z.

Quel est l’ensemble des pointsM duplan P tels queM ,MA,MB soient alignés ?

Construire cet ensemble.

N.B. : Les mesures des angles sont exprimées en radians.

Le baccalauréat de 1984 A. P. M. E. P.

PROBLÈME 12 POINTS

On recense une population tous les 40 ans. Le but de cet exercice est d’étudier l’évolution de cette population suivant un modèle

particulier que l’on précise à partir de trois recensements.

Partie A Présentation concrète

La population, pour la tranche d’âge de 0 à 80 ans, a été recensée en 1900, 1940 et 1980, en séparant les deux classes d’âges suivantes :

– la classe A constituée par tous les individus d’âge inférieur ou égal à 40 ans ; – la classe B constituée par tous les individus d’âge strictement supérieur à 40

ans et d’âge inférieur ou égal à 80 ans. Les recensements de 1900, 1940, 1980 ont donné les résultats suivants (effectifs en millions d’habitants) :

Années Classe A Classe B Total 1900 a0 = 30 h0 = 20 t0 = 50 1940 a1 = 28 h1 = 24 t1 = 52 1980 a2 = 28,8 h2 = 22,4 t2 = 51,2

On suppose que les classes ont évolué de telle sorte qu’il existe trois coefficients fixes α, β, γ tels que :

{

a1 = αa0+b0 b1 = γa0

et

{

a2 = αa1+b1 b2 = γa1

1. Avec les données ci-dessus, calculer α, β, γ.

2. On note an l’effectif de la classe A au recensement de l’année (1900+40n).

On note bn l’effectif de la classe B au recensement de l’année (1900+40n).

On suppose que le modèle exposant le renouvellement des classes A et B se conserve pour tous les recensements avec les mêmes coefficients α, β, γ.

Exprimer an+1 et bn+1 en fonction de an , bn , α, β, γ.

Partie B

On se propose d’étudier les suites v et w vérifiant :

(1) ∀n ∈N

{

vn+1 = αvn +βwn wn+1 = γvn .

α, β, γ sont trois réels donnés dans l’intervalle ]0 ; 1[,

1. Montrer que vn+2 =αvn+1βγvnpour tout n deN.

En déduire que si q1 et q2 sont deux réels distincts de somme α et de produit (−βγ), alors les suites

(

vn+1−q1vn )

n∈N et (

vn+1−q2vn )

n∈N

sont géométriques et de raisons respectives q2 et q1.

En déduire vn+1−q1vn , vn+1−q2vn , puis vn en fonction de v0, v1, q1, q2, n.

(On ne cherchera pas ici à calculer q1 et q2)

Exprimer de même wn .

2. Calculer q1 et q2 puis lim n→+∞

vn et lim n→+∞

wn dans le cas particulier suivant :

α= 0,6, β= 0,5, γ= 0,8.

3. Dans les notations de la première partie, en déduire an et bn en fonction de n. Préciser aussi tn = an +bn et lim

n→+∞ tn .

Que pensez-vous de l’évolution à long terme (on peut dire : n tendant vers l’infini) de la population décrite dans la première partie ?

Montpellier 2 juin 1984

Le baccalauréat de 1984 A. P. M. E. P.

Partie C

α, β, γ sont toujours trois réels dans l’intervalle ]0 ; 1[,

1. On suppose que les suites v et w ont des limites finies non nulles.

Montrer en utilisant les relations (1) que nécessairement α+βγ= 1.

2. Réciproquement, si α+βγ = 1, montrer que les suites v et w sont conver- gentes. (on pourra vérifier que q1 et q2 prennent les valeurs 1 et (α−1).

Remarque ne faisant l’objet d’aucune démonstration

La condition α+βγ = 1 est donc un critère permettant, pour ce modèle, de prévoir l’existence à long terme d’un équilibre pour la population,

Si cette condition n’est pas vérifiée, on peut montrer que la population est :

– soit en voie d’expansion α+βγ> 1, – soit en voie d’extinction α+βγ< 1.

Montpellier 3 juin 1984

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